dag Sofie,

aan die vergelijking 1-28 gaan 27 (of een paar meer, want ik zie bijv ook nog een 1-26a en een 1-26b) vergelijkingen vooraf: door combinatie en substitutie leiden ze uiteindelijk tot de gewenste vergelijking 1-28 .

De "duidelijke uitleg" staat dus ongetwijfeld in de pagina's die voorafgaan aan degene die je kopieerde. En veel duidelijker gaat dat niet kunnen worden denk ik, dit ziet er niet uit als een afleiding die van een eind in elkaar is geknoeid. Ze laten weliswaar weinig tot geen wiskundige tussenstappen zien om van twee of drie genoemde vergelijkingen tot een volgende vergelijking te komen. Dat zou de verhandeling die van vergelijking 1-1 e.v. uiteindelijk leidt tot die 1-28 waarschijnlijk nog wel een paar pagina's langer maken. 

Wat is het doel van deze opdracht, en voor welke opleiding/niveau/leerjaar is die bedacht? 

Groet, Jan

Ik zit in 6 vwo
De tussenstappen staan er niet in alleen de formulens die we moeten gebruiken. De tussenstappen moeten we uitwerken en  daarmee tot het eindantwoord komen. Ik zal de voorgaande pagina nog bijvoegen, want ik snap er helemaal niets van.

Ook moeten we uitleggen hoe je met vergelijking 1.28 de massa van een planeet kunt bepalen. Hierbij moet uitgelegd worden hoe de overige onbekende waarden dan bepaald zijn.

Vreemd dat op een school een pagina uit een Engels mechanicaboek wordt gehaald dat duidelijk niet voor de middelbare school bedoeld is. Reden ook waarom allerlei tussenformules er niet in staan - een beetje natuurkundestudent moet dat zelf kunnen doen.
"polar equations for an ellipse", r dΦ/dt - het is allemaal geen 6 vwo stof. 

die massa bepalen is nog wel te doen:
schrijf vergelijking 1-28 om tot de vorm m1=.....

maar uitleggen hoe al die andere waarden bepaald zijn....
tjonge :(
ga maar eens uitleggen hoe men de waarde van de universele gravitatieconstante heeft bepaald. 
ga maar eens uitleggen hoe je r, a en m₂ dan bepaalt. 
Dat wordt een compleet PWS++ sterrenkunde, trek er maar een weekje voor uit in de kerstvakantie.
Heb je jezelf een gigaportie strafwerk op de hals gehaald? Je zou het haast gaan denken.

 Groet, Jan

tjah, het komt uit een boek sterrenkunde op universitair niveau. Bedankt voor het helpen met bepalen van m1, maar hoe kun je de andere onbekendheden bepalen? Kun je dan ook de formulens omschrijven of heb je bepaalde gegevens nodig?en het bedenken van de tussenstappen is ook nog een raadsel voor mij

Het probleem hier is dat vooral een dosis wiskunde (lineaire algebra en analyse of calculus) bekend verondersteld wordt die op het vwo niet wordt behandeld. De tussen-formules uitwerken veronderstelt begrip hiervan. Anders blijft het hokus-pokus. Ik zou een onderwerp nemen dat wel behapbaar is of, als je dit erg interessant vindt, een aantal uitkomsten als gegeven beschouwen en daar dan op voortborduren.

dat lees ik als: om m1 uit te rekenen zal men de overige variabelen moeten kennen. 
dat kan natuurlijk dan niet met diezelfde formule, want dan zit je alleen maar in rondjes te rekenen. En om diezelfde formule voor elke aparte variabele om te gaan schrijven lijkt me dan echt weer een zinloze exercitie, "strafwerk".

dan zullen we eerst alle stappen moeten zien voordat we over tussenstappen kunnen gaan praten, en, zoals Theo zegt, daar zit dan wiskunde tussen die jij helemaal nog niet kent laat staan beheerst. 

Dus, Sofie, neem van Theo en mij aan dat dit er, ook voor VWO 6, vèr over is, tenminste als ........de letterlijke opdracht is, en niet jouw verkeerde interpretatie van een opdracht die heel anders is bedoeld. 

Als dit de letterlijke opdracht is, besteed er dan beter nu geen tijd meer aan. Stap ermee naar je docent en vraag hem/haar of hij/zij zeker weet dat hij/zij dit van een vwo-6 klas wil verwachten. Verwijs gerust naar deze discussie.

En neem ons niet kwalijk, ik heb er geen tijd voor om met jou alle stappen van vergelijking 1-1 tot en met 1-28 een voor een wiskundig door te gaan lopen, en jij ook niet. Dan zijn we nog avondenlang bezig. Dus ga geen 7 pagina's afleiding zitten fotograferen en uploaden. Er zijn veel nuttigere tijdsbestedingen te bedenken, zowel voor mij als voor jou, en in een onderwerp als sterrenkunde zijn er veel leukere èn nuttigere zaken te vinden.

Groet, Jan

maar allicht helpt https://en.m.wikipedia.org/wiki/Elliptic_orbit je wat verder. Waar de gebruikte μ voor jouw G(m₁+m₂) staat.

De r (afstand tussen beide massa's) en a (de lange as van de elliptische baan) moeten bekend zijn om de snelheid v op dat punt van de baan te berekenen. Afgezien van de grootte van de massa's wordt de variatie van de baansnelheid alleen bepaald door de lengte van de lange as a van de baan. Hoe groter, hoe hoger de snelheid (∝ 2/r - 1/a)
Voor een cirkelbaan (a=r) is dit een vaste snelheid (∝1/a=1/r)  voor sterk elliptisch (0 < r < 2a) sterk varierend en het snelst als de afstand klein is (2/r is dan heel groot) en langzaam ver weg (r nadert 2a zodat 2/r-1/a bijna 0 wordt): precies wat je ziet bij planeten versus kometen.

Op aarde kunnen we de eigen beweging van een tweetal om elkaar draaiende massa's bepalen met foto's waarop de sterren zich verplaatsen (Hubble en de GAIA satelliet van ESA doen dat). De nadering/verwijdering tov aarde volgt uit dopplerverschuiving van de spectraallijnen. Zo krijg je inzicht in beweging tov de aarde. Als de afstand tot de aarde bekend is (parallax of andere methode) dan zijn die gegevens om te rekenen (ook niet simpel) naar de baanbeweging van het stelsel zelf: de a en (veranderende) r van de baan.

Na een andere vraag over Kepler (niet Keppler - dat suggereerde twee vragen uit dezelfde bron) kwam ik erachter dat deze vraagstelling uit "Introductory Astronomy and Astrophysics" kwam van Zeilik en Gregory. Prima boek voor 1e/2e jaars natuur/sterrenkundestudenten. Niet voor vwo.

De betreffende pagina's als extract pdf in de bijlage voor wie denkt voldoende vector- en differentiaalrekening achter de kiezen te hebben.

https://www.amazon.co.uk/Introductory-Astronomy-Astrophysics-Saunders-Hardcover/dp/B00GOHMAQA/ref=sr_1_2?ie=UTF8&qid=1542728787&sr=8-2&keywords=Introductory+Astronomy+and+Astrophysics

Nu ik het boek ken, kan ik de uitwerking ook meer langs de denktrant van het boek uitvoeren. Het kostte wat tijd (rekenfoutjes zijn zo gemaakt), maar bijgesloten de pdf uitwerking. Geschreven want veel formules intypen in dit forum is een crime...

Heel erg bedankt als ik het zo zie snap ik van de meeste stappen ook waarom dit gedaan moet worden, maar zelf kom ik er helaas niet uit. Nogmaals heel erg bedankt!!!!

Zoals al eerder gezegd is dit ook geen vwo stof. Je moet goed kunnen (door)differentieren, weten dat sin a = a als a een kleine hoek in radialen is (< 10 graden) en de nodige "goocheltrucs" uithalen in algebra om zaken bijeen te voegen zodat ze zijn weg te strepen (d.w.z. waar nodig vermenigvuldigen met 1 (=r/r) of optellen van 0 (r - r)  )

Als de tekst nodig is voor een pws dan zou ik zeggen (want bij presentatie snappen de toehoorders het ook niet) "dit geldt voor een baan om een massa" en dan dat gewoon als uitgangspunt beschouwen. 
Dat gebeurt in de wetenschap ook: je gaat niet elke keer de stelling van Pythagoras bewijzen. Je weet hoe zijden van een rechthoekige driehoek te berekenen zijn en dat gebruik je gewoon. 
Het wordt pas een probleem als zo'n stelling niet blijkt te kloppen: dan valt jouw kaartenhuis ook in. Maar met de formules uit dat boek zit het wel snor.

Al vond ik wel op pag. 15 een veel voorkomende maar evenzogoed foute schrijfwijze:

v = H/r = 2A/Pr

waar duidelijk bedoeld wordt

v = H/r = 2A/(Pr)

want wat ze drukken zegt onterecht dat v = 2Ar/P

Overigens: ik heb wel netjes in boekvolgorde de formules aan elkaar geknoopt, maar natuurkunde is geen Hogere Formule Kunde. Ze zijn er om zaken compacter weer te geven en soms ook verbanden te leggen die in alleen woorden niet zo snel gezien worden. Maar hoofdzaak blijft dat je "snapt" wat er gebeurt (en dan wiskundig goochelt hoe het gebeurt). 
Dus die hele berekening en formule stroom... waar komt die vandaan.
Dan moeten we een beetje achteruit lezen of redeneren.

In het kort:
1. Snelheid heeft 2 componenten: langs de verbindingslijn brandpunt-positie en loodrecht erop (de verandering van de hoek).
2. Voor beide moeten we de poolcoordinaten-weergave van de ellips gebruiken
3. We kunnen de verandering van θ ook nog uitdrukken in de ellips-assen en excentriciteit
4. Met (2) en (3) kun je de snelheid berekenen
5. Er is een relatie tussen r en P (3e wet Kepler) afhankelijk van de zwaartekrachten dus we kunnen (4) ook nog bijwerken om de snelheid als functie van zwaartekracht te geven.

Uitgebreider:
1. We willen de baansnelheid berekenen en snappen dat die beweging deels in in de "gezichtsrichting" (vanuit een brandpunt bekeken) is en deels loodrecht erop (radiaal en θ).  Dat betekent dat werken vanuit een brandpunt (poolcoordinaten) handiger is dan met rechthoekige carthesische coordinaten. Van een ellipsbaan moet je dus even opzoeken hoe die wiskundig worden beschreven in poolcoordinaten (1-2 B)
2. Snelheid is v = ds/dt (verandering van plaats per tijdseenheid). En die s bestaat uit 2 delen: s_r en s_Θ . Dus ook de berekening: ds_r /dt en ds_Θ/dt.  Dat zegt 1-5 C
3. Om dat uit te rekenen moeten we de s_r en s_θ uitdrukken als functie van tijd, anders kun je niet de snelheid (afstand per tijdseenheid) berekenen. Je krijgt dan een dr/dt (r als afstand vanuit brandpunt, het s_r deel ) en r dθ/dt (de verandering van de hoek, het s_θ deel)
4. Allebei de delen hebben in hun snelheidsformule een a/P (a=halve lange as, P=periode) relatie. Die kun je laten staan, maar "toevallig" wordt in 1-5 B een relatie tussen beide gevonden (Kepler's 3e wet) die deze relatie in termen van zwaartekracht weergeeft. Handig, want zo kan de ellipsbaanvorm gekoppeld worden aan de massa's van beide om elkaar draaiende lichamen. Eentje van die twee laten we stilstaan en de ander eromheen bewegen (relatieve beweging, een ellips om de ander heen). Dus wordt in 1-5 D deze relatie uit 1-5 C ingevuld
5. Die dθ/dt is een deel van de berekening van v_θ. Is die niet om te schrijven als functie van ellips-eigenschappen als assen a en b en excentriciteit e?  Ja, dat leggen ze uit in 1-5 A om zo tot formule (1-25) te komen. 
6. Nu is het een kwestie van invullen: v_r volgt vooral uit de wiskundige ellips-beschrijving, v_Θ kostte wat meer tijd maar via (1-25) wordt het ook invullen.