Normaalverdeling
De normaalverdeling kun je zelf maken. Neem tien munten. Gooi deze twintig keer op tafel en tel per worp het aantal keren kop en het aantal keren munt. Maak een staafdiagram met als 1e vakje de combinatie “tien keer kop”, als tweede vakje de toestand “negen keer kop één keer munt”, etc.
De combinatie “vijf keer kop en vijf keer munt zal vaak voorkomen. “Tien keer kop” zeer zelden. Na twintig worpen heb je een nog wat rommelig staafdiagram. Als je steeds meer worpen doet en opneemt in je staafdiagram zul je zien dat het diagram steeds meer gaat lijken op de onderstaande vorm.
Als je uitrekent op hoeveel manieren je de combinatie “vijf keer kop en vijf keer munt” kunt maken dan blijkt dat er 256 manieren zijn. Terwijl de combinatie “tien keer kop” slechts op 1 manier gemaakt kan worden. Je ziet dat hoe groter de kans is dat een bepaalde combinatie voorkomt, hoe meer manieren er zijn om deze combinatie te maken.
De formule voor de normaalverdeling bevat een e-macht. De exponent van deze e-macht bevat de volgende term: -(v-u)2 / 2σ2. Waarbij v de snelheid, u de gemiddelde waarde van de snelheid en σ de spreiding is.
Snelheidsverdeling van de atomen volgens Maxwell
In 1859 poneert Maxwell een bepaalde verdeling van de snelheden. Hij stelt voor om voor de verdeling de zogenaamde Gauss-kromme te gebruiken. Waarschijnlijk werd hij daarbij geinspireerd door de Belgische socioloog Adolphe Quetelet (1796-1874). Quetelet paste statistische methoden toe op de variëteit van lichaamslengte en gewicht van mensen. De Quetelet-index herinnert hieraan.
Maxwell nam aan dat de snelheden van de atomen in een gas volgens een normaalverdeling verdeeld zijn. Hij verwerkte in de exponent slechts de evenredigheid met v2 dus hij gebruikte -C. v2, met C een constante. Met deze verdeling wist hij de gemiddelde snelheid van de gasatomen uit te rekenen bij bijvoorbeeld kamertemperatuur. Hij vond hiervoor de waarde van 10 m/s.
Maxwell-Boltzmannverdeling
In 1868 vervolmaakte Boltzmann (1844 – 1906) het resultaat van Maxwell, zoals Sparnaay in zijn boek “Van spierkracht tot warmtedood” schrijft.
Boltzmann heeft een formule voor de energie per atoom gevonden
E = kT,
waarin k de constante van Boltzmann is (k = 1.38 10-23J/K) en T de absolute temperatuur in Kelvin.
De e-macht krijgt nu als exponent: -mv2/2kT. Doordat de snelheid een vector is en het bij de verdeling van de snelheid alleen om de absolute grootte gaat moet de e-macht vermenigvuldigd worden met 4πv2. Tenslotte moet de verdeling voor N moleculen zo genormeerd worden dat, als je integreert over de verdeling, je N terugvindt. De Maxwell-Boltzmannverdeling is dus als volgt
f(v) = 4πv2(m/2πkT)3/2e-mv2/2kT. Plotten van de verdeling levert de onderstaande grafiek op.
Verdere uitleg en applets over de Maxwell-Boltzmann verdeling, kortweg MB, kun je vinden op http://lorax.chem.upenn.edu/index.html onder “JAVA”.
