Ludwig Boltzmann (een Oostenrijks natuurkundige die leefde van 1844-1906) bedacht
dat bij een bepaalde toestand van het gas, vastgelegd door grootheden als temperatuur, druk
en volume, zeer veel toestanden horen, als je kijkt naar de afzonderlijke atomen. Bij de
grootheid temperatuur bijvoorbeeld, gaat het om de gemiddelde snelheid van de moleculen.
Bekijk je een gas dat slechts uit 100 atomen bestaat (het is de vraag of je dit een gas mag
noemen), dan is al duidelijk dat je elk atoom vele verschillende snelheden kan geven zonder
dat de snelheidsverdeling en daarmee de gemiddelde snelheid en dus de temperatuur verandert.
Op het ene moment heeft atoom A een grote snelheid en atoom B juist een kleine snelheid.
Even later kan juist atoom A een kleine snelheid hebben en atoom B een grote snelheid. De
toestand op beide momenten levert dezelfde temperatuur op.
Als je kijkt naar de atomen spreek je van microtoestanden, kijk je naar het gas op
“gewone”, alledaagse schaal waarbij je grootheden meet, dan spreek je van een macrotoestand
Boltzmann keek naar het aantal mogelijkheden waarop je een bepaalde macrotoestand kunt realiseren. Bij een bepaalde macrotoestand kunnen veel of weinig microtoestanden horen. Door het aantal microtoestanden te tellen dat hoort bij één bepaalde macrotoestand kon hij iets zeggen over de waarschijnlijkheid van een bepaalde macrotoestand. Hij koppelde als eerste het begrip entropie aan waarschijnlijkheid. Om te wennen een aantal voorbeelden:
- een spel kaarten
- een pokerspel
- vat met atomen in voorkeurcellen
Een spel kaarten
Het kaartspel spreekt tot de verbeelding. Er wordt verschil gemaakt tussen zogenaamde macro- en microtoestanden. De macrotoestand is de verschijningsvorm. Een microtoestand is een configuratie die hoort bij een bepaalde macrotoestand. Koop je een spel kaarten dan liggen ze op kleur en volgorde. Dit is een duidelijke onderscheidbare macrotoestand: “ongeschud spel kaarten”. Nu worden de kaarten geschud. De macrotoestand die hier bij hoort is “geschud spel kaarten”. De kaarten worden weer geschud. Er is verschil tussen de volgorde van de kaarten na de eerste keer schudden en de tweede keer schudden maar de macrotoestand blijft “geschud spel kaarten”. Er horen dus veel microtoestanden bij de macrotoestand “geschud spel kaarten” terwijl bij de macrotoestand “ongeschud spel kaarten” slechts één microtoestand hoort. De macrotoestand “ongeschud spel kaarten” is dus veel onwaarschijnlijker dat de macrotoestand “geschud spel kaarten”.
Een pokerspel
Hoe zit het bij het pokerspel? Bij poker krijgen de spelers vijf kaarten. Deze set van vijf kaarten is de macrotoestand. Een serie opeenvolgende kaarten van dezelfde kleur, een “straatje”, is veel waard. Er zijn verschillende mogelijkheden om een “straatje” te realiseren. Maar er zijn veel meer mogelijkheden, microtoestanden dus, om de macrotoestand van “niet-straatje” te realiseren.
Bij een slechte hand horen veel meer microtoestanden dan bij een goede hand. Ook hier geldt weer: als er meer microtoestanden horen bij een bepaalde macrotoestand is de kans dat deze macrotoestand optreedt groter. Anders gezegd de kans op een geordende set kaarten een “straatje” is kleiner dan de kans op een niet geordende set kaarten: een “niet-straatje”
Vat met atomen in voorkeurcellen
s het mogelijk dat atomen in een vat zich spontaan begeven naar een bepaalde, van tevoren gekozen hoek van het vat en dat de rest van het vat leeg is? Is het mogelijk dat er spontaan een ordening is het vat met atomen plaatsvindt? We komen hierachter door te kijken naar de kans dat alle atomen zich in 1 cm van een vat van 1 m ophopen. Als deze kans klein is, betekent dat, dat het aantal microtoestanden behorend bij “alle atomen in 1 cm ” veel kleiner is dan het aantal microtoestanden dat hoort bij de macrotoestand “alle atomen in 1 m ”.
Het vat wordt – denkbeeldig - verdeeld in bijvoorbeeld 500 cellen. Zie onderstaand figuur. De met dikke lijnen aangegeven rechteronderhoek, die 50 cellen groot is, stelt de vooraf gekozen hoek voor. Deze 50 cellen noemen we de voorkeurcellen. Dit figuur staat dus symbool voor de situatie dat 1 op de 10 cellen voorkeurcel is.
In onderstaande tabel is aangegeven hoe groot bij een
- bepaald aantal atomen (m)
- bepaald aantal cellen (10n)
- - bepaald aantal voorkeurcellen (n)
de kans is dat alle atomen zich in het gebied van de voorkeurcellen bevinden.
| kans op alle atomen in de voorkeurcellen | aantal atomen m | aantal cellen 10n | aantal voorkeurcellen n | |
|---|---|---|---|---|
| 1/10 | 1 | 10 | 1 | Lees A |
| 1/10 | 1 | 20 | 2 | A |
| 1/10 | 1 | groot | groot:10 | A |
| 1/190 | 2 | 20 | 2 | Lees B |
| 1/110 | 2 | 100 | 10 | B |
| 1/100=1/10 | 2 | groot | groot:10 | B |
| 1/4060 | 3 | 30 | 3 | Lees C |
| 1/1000=1/10 | 3 | groot | groot:10 | C |
| 1/10 | 3 | groot | groot:10 | C |
| 1/10 | m | groot | groot 10 | Lees D |
Kans op alle atomen in het gebied van de voorkeurcellen bij gegeven m en n.
A
Als 1 op de 10 cellen voorkeurcel is en er is 1 atoom dan is de kans 1/10 dat het atoom in de voorkeurcel terechtkomt.
B
Bij 2 atomen en 20 cellen met 2 voorkeurcellen is voor het eerste atoom de kans 2/20 = 1/10 dat deze in een voorkeurcel komt. Dan blijven er nog 19 lege cellen over. Eén cel daarvan is een voorkeurcel. De kans dat het atoom daarin terechtkomt is dus 1/19. De totale kans om de 2 atomen in de 2 voorkeurcellen terug te vinden is 1/10 * 1/19 = 1/190.
Doe je hetzelfde voor 2 atomen en 100 cellen met 10 voorkeurcellen dan is de kans 1/10 * 9/99 = 1/110. Als het aantal cellen toeneemt dan blijkt de kans steeds dichter in de buurt te komen van 1/100, dus van 1 gedeeld door 10 tot de macht 2, bij 2 atomen.
C
Bekijk je de kans dat 3 atomen in 3 voorkeurcellen terechtkomen bij een totaal van 30 cellen dan vind je een kans van 3/30 * 2/29 * 1/28 = 1/4060. Bij een groot aantal cellen komt deze kans steeds dichter in de buurt van 1/1000, dus van 1/10.
In het algemeen zal bij veel cellen en bij m atomen de kans steeds dichter in de buurt van 1/10m komen.
D
Als je de kans wilt uitrekenen dat in een hoek met een grootte van 1 cm in een vat met een grootte van 1 malle atomen terechtkomen dan is maar 1 op 10 vakje een voorkeurcel. ( in 1 m zitten 1 miljoen = 10 cm). Bij het berekenen van de kans ontstaan er dan geen machten van 10 maar machten van 10.
Bij veel atomen zal de kans niet naderen tot 1/10 maar tot 1/10.
Nu de echte getallen. In een ruimte van 1 m bevinden zich bij normale omstandigheden zo’n 10atomen of moleculen. Dus m is 10 en 6m is gelijk aan 6 * 10.
De kans dat al deze moleculen zich in 1 cmvan de totale ruimte van 1 m bevinden is dan
1/ 10 = 1/ 10 = 1/6 . 10
(60 000 000 000 000 000 000 000 000 = 6 .10)
Een onvoorstelbaar klein getal. Dit getal geeft de kans aan dat de atomen bij toeval in de hoek ter grootte van 1 cm terecht zouden komen. “Normale mensen” noemen deze kans 0.
Je kunt ook zeggen dat het aantal microtoestanden behorend bij alle atomen in één hoek van het gas zeer klein is, terwijl het aantal microtoestanden behorend bij alle atomen gelijkmatig verdeeld over het hele vat zeer groot is.
