Dag Sem,
De slingerbeweging van de kogel vergelijken met de op en neer gaande trilling van een bol aan een spiraalveer kan nuttig zijn. Inderdaad is de slingerbeweging een trilling.
Laten we wel recht doen aan een verschil tussen beide bewegingen. De kogel voert geen rechtlijnige beweging uit, de bol wel.

Laat je de kogel los, dan beweegt hij langs een cirkelboog rond het ophangpunt M.
Welke kracht is nodig voor een cirkelbeweging? (Feitelijk niet een extra kracht, maar een rol die wordt gespeeld door de enige werkzame krachten $F_\text{z}$ en $F_\text{span}$.)
Hoe groot is die kracht bij $\alpha=0^\circ$, onmiddellijk nadat de kogel is losgelaten, als de kogel nog vrijwel geen snelheid heeft?
Is die kracht bij $\alpha=30^\circ$, als het koord verticaal is, nul of omhoog of omlaag gericht?
Maak eens een vectortekening bij $\alpha=30^\circ$: hoe is het verband tussen die kracht en de spankracht en de zwaartekracht?
Groet, Jaap

''De kogel voert geen rechtlijnige beweging uit, de bol wel.''

Dat is een cruciaal inzicht waar ik even niet aan had gedacht...

''Welke kracht is nodig voor een cirkelbeweging? (Feitelijk niet een extra kracht, maar een rol die wordt gespeeld door de enige werkzame krachten _Fz en _Fspan.)''

De middelpuntzoekende kracht is dat. 

Maar omdat de spankracht altijd al naar het middelpunt is gericht, is de middelpuntzoekende kracht dan niet gewoon altijd gelijk aan de spankracht? Met als kanttekening dat er altijd een tegenwerkende kracht is, de zwaartekracht, die door de spankracht moet worden tegengewerkt, en waarvan de mate van tegenwerking afhangt van de hoek? 

''Hoe groot is die kracht bij alfa = 0 graden, onmiddellijk nadat de kogel is losgelaten, als de kogel nog vrijwel geen snelheid heeft?''

Op dat specifieke moment heeft de kogel nog geen snelheid en is de middelpuntzoekende kracht nul. Er is een even grote, maar tegengestelde kracht aan de spankracht, namelijk de component van de zwaartekracht in de werklijn van de spankracht. De andere component is er echter ook nog, en die levert de resulterende kracht waardoor de kogel gaat versnellen, lijkt me.

''Is die kracht bij alfa = 30 graden , als het koord verticaal is, nul of omhoog of omlaag gericht?
Maak eens een vectortekening bij alfa = 30 graden: hoe is het verband tussen die kracht en de spankracht en de zwaartekracht?''

Hier heeft de kogel dus snelheid, die heel even constant is (net als bij een verticale trilling), maar hij maakt een cirkelbeweging, dus is de resulterende kracht niet nul (zoals in een verticale trilling), maar gelijk aan F_mpz.

De zwaartekracht heeft nu nog maar één component, namelijk die in de werklijk van de spankracht. Omdat er een resulterende kracht naar het middelpunt nodig is, moet de spankracht dus wel groter zijn dan de zwaartekracht. 

Nog vier extra vragen:

1) Grafiek A is goed en D niet. Intuïtief lijkt D ook niet te kloppen, maar kun je dit ook aantonen?

2) Klopt het wel dat op den duur de situatie wordt zoals in grafiek B: de spankracht wordt steeds meer gelijk aan de zwaartekracht, totdat ze exact aan elkaar gelijk zijn als de kogel stilhangt?

3) De spankracht lijkt bij een specifieke hoek al groter te zijn dan de zwaartekracht, kun je hier iets over zeggen?

4) In de situatie waarbij je een massa aan een koord rondslingert in één horizontaal vlak (zie hieronder), is de spankracht dan wel constant?

Dag Sem,
Je denkt verder door dan een eerste ingeving. Dat heet 'goed bezig zijn'.
Inderdaad is hier een rol weggelegd voor de middelpuntzoekende kracht, anders dan bij de trilling op en neer.

Je schrijft: 'Maar omdat de spankracht altijd al naar het middelpunt is gericht, is de middelpuntzoekende kracht dan niet gewoon altijd gelijk aan de spankracht? Met als kanttekening dat er altijd een tegenwerkende kracht is, de zwaartekracht, die door de spankracht moet worden tegengewerkt, en waarvan de mate van tegenwerking afhangt van de hoek?'
Nee, $F_\text{mpz}$ heeft alleen dezelfde grootte (en tegengestelde richting) als $F_\text{z}$ als de kogel stil hangt. Zie onder: je extra vraag 2.
Ja, na loslaten heeft $\vec{F}_\text{z}$ altijd een component die $\vec{F}_\text{span}$ tegenwerkt.

Wat is nu het verband tussen $\vec{F}_\text{z}$ en $\vec{F}_\text{span}$ en $\vec{F}_\text{mpz}$ als het koord vertcaal is ($\alpha=30^\circ$)? Er is een belangrijke tip om zoiets te zien: maak plaatje. Maak een vectortekening van de 'drie krachten' met het koord verticaal.
Onze Nationale Filosoof Johan Cruijff heeft immers gezegd: 'Je gaat het pas zien als je het doorhebt.' Omgekeerd: 'Je gaat het doorhebben als je het plaatje ziet.'

Je schrijft: 'Op dat specifieke moment [...] de kogel gaat versnellen, lijkt me.'
Dat is juist.

Je schrijft: 'Hier heeft de kogel [...] groter zijn dan de zwaartekracht.'
Dat is juist. Op dit moment $\vec{F}_\text{res}=\vec{F}_\text{mpz}$.

Extra vraag 2
Hoe het 'op den duur' is, kan ik niet zien in de diagrammen A...F. Want op de horizontale as is $\alpha$ uitgezet, niet de tijd. In de praktijk eindigt het koord verticaal en is $\vec{F}_\text{span}=\vec{F}_\text{z}$ als gevolg van luchtweerstand enzovoort. (Maar in de opgave staat 'een slingerbeweging die we wrijvingloos veronderstellen'.)

Extra vraag 4
Bij zo'n 'kegelslinger' heeft $\vec{F}_\text{span}$ inderdaad een constante grootte (en blijft $\vec{F}_\text{mpz}$ gericht naar het middelpunt van de draaicirkel, niet naar het ophangpunt).
https://www.natuurkunde.nl/vraagbaak/87482/kegelslinger-cirkelbeweging
https://www.natuurkunde.nl/vraagbaak/51254/spankracht-bij-conische-pendule

Extra vraag 1 en 3: ja en ja, wordt vervolgd.
Groet, Jaap

Dag Sem,

Je extra vraag 1
De hoek die de kogel heeft doorlopen vanaf loslaten, heet  $\alpha$.
In de opgave begint de kogel bij  $\alpha=0^\circ$ (schuin koord) en volgen we de kogel tot  $\alpha=30^\circ$ (koord verticaal).
In de onderstaande figuur is niet hoek $\alpha$ maar de tophoek $\varphi$ getekend (bij $40^\circ$, niet de $30^\circ$ van de opgave).

Diagram A of D? We bekijken de situatie onmiddellijk na loslaten, als de kogel nog vrijwel geen snelheid heeft en de middelpuntzoekende kracht niet meedoet.

Dit lijkt op diagram A, waar $F_\text{span}$ bij $\alpha=0^\circ$ slechts weinig lager dan de horizontale streeplijn van $F_\text{z}$ begint.

Je extra vraag 3
Tijdens de slingerbeweging moet de spankracht niet alleen $F_\text{z,2}$ compenseren, maar ook de benodigde middelpuntzoekende kracht leveren.

De suffix B verwijst naar een punt ergens op de boog en de suffix A straks naar het loslaatpunt.
We vinden een uitdrukking voor de teller met de wet van behoud van energie:


De hoogte $h$ is ten opzichte van P.

Combineren met (2) geeft


Vergelijking (1) en (4) geven samen



De spankracht is dus een factor

maal groter dan de zwaartekracht.
Met je grafische rekenmachine kun je een diagram tekenen met de doorlopen hoek $\alpha$ horizontaal en de factor $3\cdot\cos(30^\circ-\alpha)-2\cdot\cos30^\circ$ verticaal. Zou zo'n plaatje lijken op diagram A?

Als de spankracht even groot is als de zwaartekracht, snijdt de grafiek de horizontale streeplijn en is de factor gelijk aan 1.


Groet, Jaap

Bedankt voor deze duidelijke uitleg. 

Die uitwerking op vraag 3 had ik eerlijk gezegd zelf niet kunnen bedenken, maar je stappen zijn in ieder geval duidelijk te volgen. Fijn. 

''(...) Zou zo'n plaatje lijken op diagram A?''

Ik heb de grafiek getekend, met de hoek horizontaal en de factor (dus niet de spankracht zelf) op de verticale as. 

Inderdaad dezelfde vorm en het snijpunt met de lijn y = 1 zit precies bij de hoek die je berekend hebt.

Overige opmerkingen over de grafiek:

• De grafiek is lijnsymmetrisch in x = 30. Dat is ook logisch.
• Het domein van de grafiek (wiskundig): D = R
• Het domein van de grafiek in deze opgave: D = [0, 60] (want ik neem aan dat de grafiek na 60 weer stijgt richting 1, en niet daalt richting de horizonale as...)

Leuk om zoiets 'simpels' als een kogeltje aan een koord helemaal tot op de bodem uit te pluizen. :)

>Leuk om zoiets 'simpels' als een kogeltje aan een koord helemaal tot op de bodem uit te pluizen. :)

Dat doet me herinneren aan een recent "ikkie" in het NRC:

:D