Hoe kun je in beeld brengen dat het aantal kernen bij een radioactieve vervalreeks in de loop van de tijd verandert? Daar gaat deze draad over.
Aan het eind komen vragen voor leerlingen, met name in de bovenbouw van het vwo.

Als een instabiele kernsoort A vervalt, is de dochterkern B in veel gevallen stabiel. B is niet radioactief en vervalt niet verder.
In andere gevallen vervalt kernsoort P tot een instabiele dochter Q, die op haar beurt vervalt tot een instabiele 'kleindochter' R enzovoort. Tot er een stabiele 'eindkern' Z ontstaat die niet radioactief is. Dit noemen we een vervalreeks. Aan het eind van tabel 25A van Binas worden de belangrijkste vervalreeksen genoemd:
• de thoriumreeks, beginnend bij thorium-232
• de actiniumreeks, beginnend bij uranium-235
• de uraniumreeks, beginnend bij uranium-238 en
• de neptuniumreeks, beginnend bij plutonium-241

In het artikel 'hoe modelleer je radioactief verval' beschrijft Johan Bordewijk hoe je zo'n vervalreeks in beeld kunt brengen. Maak een diagram met de tijd $t$ op de horizontale as en het aantal kernen $N$ op de verticale as. Bordewijk noemt de thoriumreeks en spoort de lezer aan om er een grafiek van te maken met de echte halveringstijden.
https://www.natuurkunde.nl/artikelen/3956/hoe-modelleer-je-radioactief-verval
Hieronder laat ik enkele $N(t)$-diagrammen van de thoriumreeks zien.

We laten de thoriumreeks beginnen bij thorium-232. Hieruit ontstaan achtereenvolgens radium-228, actinium-228 enzovoort, tot we komen bij de stabiele eindkern lood-208.

Figuur 1 (bron: https://commons.wikimedia.org/wiki/User:BatesIsBack )

De reeks telt twaalf kernsoorten. Bismut-212 kan op twee manieren vervallen. Sommige kernen Bi-212 vervallen tot thallium-208, de andere vervallen tot polonium-212. Beide dochters vervallen tot lood-208. In tabel 25A van Binas staat de halveringstijd $t_{1/2}$ van de eerste elf kernsoorten.

Stel dat een kernsoort P een halveringstijd van 2 jaar heeft, dan is telkens na 2 jaar nog de helft van het vorige aantal kernen P over. (Dit geldt als we beginnen met een voldoende groot aantal kernen P.) Als de halveringstijd van de instabiele dochter Q niet heel veel kleiner is, ziet het $N(t)$-diagram er ongeveer zo uit:

Figuur 2

Het aantal kernen van Q neemt eerst toe, bereikt een maximum en begint meteen weer te dalen.
Bij de vier genoemde vervalreeksen is het anders. De kernsoort waar de reeks mee begint, heeft een halveringstijd die zeer veel langer is dan die van de andere kernsoorten in de reeks. Thorium-232 heeft een halveringstijd van veertien miljard jaar. (Dat is ongeveer zo lang als het heelal nu bestaat...) De langste halveringstijd die we verder in de reeks tegenkomen, is de 5,75 jaar van radium-228.
In zo'n geval neemt het aantal kernen $N$ van de tweede en volgende kernsoorten eerst wel toe tot een maximum. Maar $N$ blijft daarna zeer lang op vrijwel dit grote aantal. Per seconde komen er evenveel kernen Q bij door het verval van P, als er kernen Q vervallen tot R. Dit heet een seculair evenwicht.
In de onderstaande tabel staat het tijdstip $t_\text{max}$ waarop het grootste aantal kernen van een kernsoort aanwezig is. $N_\text{max}$ is dat grootste aantal, als we beginnen met $10^{27}$ kernen thorium-232, bijna 400 kg, en geen andere kernsoorten aanwezig.

Opmerkelijk: terwijl de halveringstijden na Th-232 sterk verschillen, bereiken alle kernsoorten van Ra-228 tot en met Po-212 kort na elkaar hun maximum. Tussen 179 en 183 jaar na het begin.

Het $N(t)$-diagram van radium-228 tot $t_\text{max}$ ziet er zo uit:

Figuur 3

Bij het kortlevende radon-220 zien we:

Figuur 4

Zoals je kunt zien in de tabel en figuur 3 en 4, is er een groot verschil tussen $N_\text{max}$ van de verschillende kernsoorten. Om ze allemaal in een diagram te zetten, gebruiken we een logaritmische schaalverdeling op de verticale as. Met een gewone lineaire schaalverdeling zou je de kleinere aantallen niet kunnen onderscheiden: allemaal samen vrijwel op de horizontale as.

Figuur 5

In figuur 5 zien we de toename tot het seculair evenwicht. In deze korte tijd blijft het aantal kernen Th-232 nog vrijwel even groot. Daarom maken we ook een diagram dat maar liefst 20 maal de halveringstijd van Th-232 omvat. Dat is 280 miljard jaar. Hierna is nog slechts $(1/2)^{20}$, ongeveer een miljoenste deel van het oorspronkelijke aantal kernen Th-232 over.

Figuur 6

Helaas is er nu niets meer te zien van de opbouw van het seculair maximum in de eerste 180 jaar. Om zowel de korte als de lange tijdsduur af te beelden, kiezen we ook voor de horizontale as een logaritmische schaalverdeling.

Figuur 7

Het seculair evenwicht, dat in 'slechts' 180 jaar ontstaat, duurt zowat een miljard jaar. Dit komt doordat de halveringstijd van Th-232 zoveel langer is dan die van de andere kernsoorten.

Berekeningen voor de tabel de de diagrammen zijn niet gemaakt met een model van Coach, maar met formules die gelden voor $N$ als functie van $t$. Gevolgd is de rekenwijze van Ladshaw et al., equations (12), (7) en (9).
https://inis.iaea.org/records/zb3ey-42y03
Basis:
• aan het begin zijn er $10^{27}$ kernen Th-232, geen andere kernen
• we nemen verwachtingswaarden, afgezien van het toevalskarakter van verval
• alfadeeltjes zijn niet geteld als heliumkernen
• het systeem is gesloten, zodat er geen radongas ontwijkt
• spontane splijting van Th-232 is weggelaten
• emissie van clusters zoals C-14 en Ne-20 is weggelaten

Wordt vervolgd: vragen voor leerlingen.
Groet, Jaap