Numerieke modellen gaan vaak over botsende of remmende voorwerpen, planeetbewegingen of een geworpen bal. Bij deze mechanicamodellen zijn de zogenaamde toestandsvariabelen de plaats (x) en de snelheid (v) van het voorwerp. Deze toestandsvariabelen veranderen steeds doordat een resulterende kracht (Fres) voor een versnelling (a) zorgt.
Het model begint meestal met een bepaling van de resulteren kracht gebruikmakend van randvoorwaardes en aannames.
Dan komt de kern van het model, die er dan vaak zo uitziet:
| a = Fres/m | |
| dv = a.dt | (dit komt van v = dv/dt) |
| v = v + dv | |
| dx = v.dt | (dit komt van v = dx/dt) |
| x = x + dx | |
| t = t + dt |
En na deze laatste stap weet het model dat ie weer bovenaan moet beginnen met een nieuwe waarde van t.
Algemener
Algemener gesproken loopt in een numeriek model de tijd in kleine stapjes vooruit en gaat het er dan om dat het model (bijna infinitesimaal) kleine veranderingen (dN) in een toestandsvariabele (N) berekent. Op die manier krijgt de variabele een nieuwe waarde, waarvan je dan weer door de tijd te laten toenemen een kleine verandering berekent, enzovoort. Dit is wat we noemen een iteratieve berekening, het gaat in een loop.
We schrijven dat zo op: N = N + dN
De dubbele streep betekent hier niet ‘is gelijk’ want dat zou betekenen dat dN = 0 en dat willen we juist niet. Het betekent ‘wordt’ (soms ook aangeduid met := ). Oftewel: je berekent de grootte van de verandering (dat is dN) die tel je op bij de waarde van N en dat wordt de nieuwe waarde van N. Deze systematiek komt uit het programmeren van computers.
Voorbeelden
Er zijn tal van mooie uitgewerkte modellen te vinden bij de opgaven van het centraal schriftelijk examen. Bijvoorbeeld: Het uitrijden van een auto, uit het vwo-examen van 2018, zie figuur 1. Andere voorbeelden zijn: Jupiter ‘fly-by’ (vwo-examen 2016) en Kayak-jumping (vwo-examen 2021)
Radioactief verval
Modelleren van radioactief verval gaat grotendeels op dezelfde manier. Alleen de toestandsvariabele is nu niet v of x, maar N, het aantal radioactieve kernen. En de bepaling van dN gaat anders. Bij mechanica zie je dat de ene toestandsvariabele de andere bepaalt: v zorgt voor de verandering in x, namelijk dx = v.dt. Bij radioactief verval bepaalt N zijn eigen verandering. Dat wordt weergeven door de relatie met activiteit A:
$A=dN/dt$
Nu gebruiken we het verband tussen de activiteit en het aantal deeltjes:
$A=\frac{0,693}{\tau}\cdot N$
Waarin $\tau$ (tau) de halveringstijd is, ook vaak geschreven als $t_{1/2}$ . Omdat deze constant is, kunnen we dat schrijven als
$dN=k\cdot N\cdot dt$
Een voorbeeld maakt het duidelijker:
Hieronder staat het model van het verval van een radioactieve stof, gemaakt met het programma Coach7.
Dit is het model
En dit is de grafiek.
Met opzet heb ik geen specifieke getallen gebruikt van een echt verval met waardes uit BINAS. Probeer die zelf eens te vinden en maak dan een grafiek.
Banksaldo
Als je deze bepaling van dN te ingewikkeld vind klinken, denk dan eens aan een bankrekening waar je iedere maand rente op krijgt. De toestandsvariabele is dan het saldo (S) dat iedere maand verhoogd wordt met een kleine bedrag dS. Ofwel S = S + dS. In dit specifieke geval is die toename het rentepercentage (R) vermenigvuldigd met het saldo, ofwel dS = R.S
Vervalreeks
Bovenstaand voorbeeld is niet zo erg spannend en vertelt je eerlijk gezegd niets nieuws. Dit heb je allemaal al op school gehad. Deze formules en deze grafiek komen dan ook min of meer rechtstreeks uit je leerboek.
Leuker wordt het als je een vervalreeks gaat modelleren. Dat is iets wat je vrijwel nooit ziet. Even het geheugen opfrissen: een vervalreeks is een keten van meerdere radioactieve stoffen die naar elkaar vervallen, allemaal met een eigen halveringstijd, zie figuur 4.
Het is lastig voor te stellen hoe de hoeveelheden van de isotopen in de tijd verlopen, want ze groeien doordat het verval van de voorgaande isotoop zorgt dat er meer van komt, maar tegelijk krimpen ze, omdat ze zelf ook vervallen. Alleen die van de moederkern (Th-232) heeft de vorm van figuur 3. Maar met een numeriek model kunnen we dit wel eenvoudig in beeld brengen.
Hieronder staat een aanzet tot dat model. Het gaat om drie isotopen met hoeveelheden N1, N2 en N3 en halveringstijden tau1, tau2 en tau3. N1 vervalt naar N2, en die vervalt weer naar N3.
De kern van met model is dit:
En de grafiek is:
Met deze kennis gewapend kun je nu eens proberen de vervalreeks met echte waardes te maken. Probeer die zelf eens te vinden en maak dan een grafiek.
