Uitrijden van een auto (VWO examen, 2018-1, opg 1)

Onderwerp: Kracht en beweging, Modelleren, Rechtlijnige beweging

Examenopgave VWO, natuurkunde, 2018 tijdvak 1, opgave 1: Uitrijden van een auto

Een auto (m = 1520 kg) rijdt met een snelheid van 33,3 ms-1 (= 120 kmh-1) over een vlakke weg bij windstil weer. Op t = 0 s trapt de bestuurder het koppelingspedaal in, zodat de motor niet meer met de wielen verbonden is. Nu ‘rijdt de auto uit’ en komt de auto een tijdje later tot stilstand. Het (v,t)-diagram van het uitrijden staat in figuur 1.

figuur 1.

De uitrij-afstand is de afstand die de auto aflegt vanaf het moment dat het uitrijden begint tot het moment dat hij stilstaat.

Opgaven

a) Bepaal met behulp van een print van figuur 1 de uitrij-afstand.

De afgelegde afstand volgt uit een (v,t)-grafiek door de oppervlakte onder de grafiek te bepalen. Hier zijn meerdere methodes voor mogelijk.

Je zou bijvoorbeeld het aantal hokjes onder de lijn kunnen tellen. Je komt dan op ongeveer 18 hokjes. Elk hokje komt overeen met 5 seconde lang 20 m/s rijden, oftewel 100 m. De afgelegde afstand is dan s = 18 . 5 . 20 = 1,8 km.

Een andere methode zie je in de onderstaande figuur.

De oppervlakte onder de rode lijn is ongeveer even groot als de oppervlakte onder de gestippelde lijn. Deze oppervlakte is:

s = 1/2 . 28 . 139 = 1946 = 1,9 km.

Beide antwoorden verschillen een klein beetje, dat komt door de onnauwkeurigheid in de gebruikte methode.

Om inzicht te krijgen in de beweging van de auto, is een computermodel
gemaakt. Het model is weergegeven in figuur 2.

figuur 2.
b) Leid de eenheid van de evenredigheidsconstante k af in basiseenheden (grondeenheden) van het SI, zoals ze staan in BiNaS-tabel 3A en ScienceData-tabel 1.3a.

$F_{\mathrm{lucht}} &=& k v^2 \rightarrow [F_{\mathrm{lucht}}] &=& [k] [v]^2 \rightarrow \mathrm{N} = [k](\mathrm{ms}^{-1}) ^2$

Er geldt: N = kgms-2, en dus:

$[k] = \frac{\mathrm{kgms}^{-2}}{\mathrm{m}^2\mathrm{s}^{-2}} = \mathrm{kgm}^{-1}$

De resultaten van dit model zijn weergegeven in figuur 3. In figuur 3 staat ook de grafiek van figuur 1.

figuur 3.

De waarden van de parameters k en Frol zijn nog niet goed gekozen, zodat de grafiek met de resultaten van het model niet goed overeenkomt met de gemeten grafiek van figuur 1.

c) Voer de volgende opdrachten uit:
- Leg uit of de startwaarde van k groter of kleiner gekozen moet worden om de waarden wel goed overeen te laten komen.
- Leg uit of de startwaarde van Frol groter of kleiner gekozen moet worden om de waarden wel goed overeen te laten komen.

Het afremmen vindt plaats onder invloed van de lucht- en rolwrijving. In het begin rijdt de auto nog hard, en zal de luchtwrijving de grootste invloed hebben op de beweging. We zien in figuur 3 dat de modelberekening in het begin te snel afremt. De luchtwrijvingskracht zal dus kleiner moeten zijn. De startwaarde van k moet kleiner gekozen worden.

Op het einde is de snelheid erg klein en zal de rolwrijving de grootste invloed hebben op de beweging. We zien dat de modelberekening niet snel genoeg afremt. De rolwrijving zal dus groter moeten zijn en Frol moet dus groter gekozen worden.

Het model van figuur 2 kan worden uitgebreid om ook de uitrij-afstand te berekenen, waarbij het model stopt als de uitrij-afstand bereikt is.

d) Voer de volgende opdrachten uit:
- Beschrijf welke modelregel(s) moet(en) worden toegevoegd.
- Beschrijf welke stopvoorwaarde moet worden toegevoegd.

- Om de uitrij-fstand x te berekenen voeg je toe:

$\displaylines{\begin{aligned}\\ dx &= v \cdot t \\ x &= x + dx\end{aligned}}$

- De berekening moet stoppen als de snelheid kleiner dan of gelijk aan 0 is:

$\mathrm{als}~v \leq 0~\mathrm{dan~stop~eindals}$
v
figuur 4.

Uit deze figuur is het vermogen te bepalen dat de auto moet leveren om met een bepaalde constante snelheid te rijden.

e) Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage het vermogen dat de motor moet leveren bij een constante snelheid van 25 ms-1 (= 90 kmh-1).

Voor het vermogen geldt: P = Fv. Hierin is F de kracht die de motor moet leveren. Aangezien hij met een constante snelheid rijdt is de nettokracht 0 en zal de motorkracht gelijk zijn aan de wrijvingskrachten. Deze kunnen we uit figuur 4 halen, aangezien dit een figuur is voor een berekening met alleen maar wrijving. Om uit een (v,t)-diagram de kracht te krijgen moeten we eerst de versnelling bij v = 25 m/s bepalen uit een raaklijn. Zie onderstaande figuur:

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{22 - 26,8}{21,8 - 11}=0,444~\mathrm{ms}^{-2}$

De kracht is dan:

$F = ma = 1520\cdot 0,444=675,56~\mathrm{N}$

En voor het vermogen geldt:

$P=Fv=675,56\cdot 25 = 16889 = 17~\mathrm{kW}$