In het artikel 'Hoe modelleer je radioactief verval' bespreekt Johan Bordewijk, redactie van Natuurkunde.nl, op een elementair niveau hoe je de verandering van het aantal kernen van een radioactieve kernsoort met een numeriek model kunt volgen en met een $N(t)$-diagram in beeld kunt  brengen.
https://www.natuurkunde.nl/artikelen/3956/hoe-modelleer-je-radioactief-verval

Bij zo'n numeriek model leest het modelleerprogramma eerst de startwaarden (begincondities) en rekent het daarna een aantal modelregels (formules) herhaaldelijk door. Met zo'n iteratieve werkwijze kan de verandering van het aantal radioactieve kernen $N$ en hun activiteit $A$ in de loop van de tijd $t$ worden gevolgd.
Na de bespreking van een enkelvoudig verval schrijft de auteur:
'Leuker wordt het als je een vervalreeks gaat modelleren'.
In figuur 4 zijn de vervalreacties afgebeeld van de thoriumreeks, die begint met thorium-232.
Onder figuur 4 lezen we
'Het is lastig voor te stellen hoe de hoeveelheden van de isotopen in de tijd verlopen [...]. Alleen die van de moederkern (Th-232) heeft de vorm van figuur 3. Maar met een numeriek model kunnen we dit wel eenvoudig in beeld brengen.'
Het artikel besluit met een aansporing:
'Met deze kennis gewapend kun je nu eens proberen de vervalreeks met echte waardes te maken. Probeer die zelf eens te vinden en maak dan een grafiek.'
De enige vervalreeks die de auteur bij naam noemt, is de thoriumreeks, beginnend met thorium-232. Het enige modelleerprogramma dat hij noemt, is Coach7.
Zo wordt de suggestie gewekt dat de lezer met een iteratief model van Coach 7 eenvoudig met $N(t)$-grafieken in beeld kan brengen hoe de hoeveelheden van de kernsoorten van de thoriumreeks in de tijd verlopen. 

Vraag
Hoe kan ik met een iteratief model van Coach de thoriumreeks met representatieve $N(t)$-grafieken in beeld brengen, met de echte halveringstijden?
Alle kernsoorten van de reeks gedurende veertien miljard jaar, dat is de halveringstijd van thorium-232? Of desnoods alleen radon-220 gedurende 180 jaar?

Als een leerling het iteratieve model eenmaal heeft gemaakt, wil zij vast en zeker met het model berekenen hoe het aantal kernen in de loop van de tijd verandert en dit weergeven in een $N(t)$-diagram. De auteur specificeert niet welke kernsoort(en) uit de thoriumreeks en gedurende welke tijd. Figuur 3 en 5 in het artikel wekken de suggestie dat de leerling meerdere kernsoorten in beeld kan brengen gedurende enkele malen de halveringstijd van de primaire kernsoort Th-232.

Er is echter een groot verschil tussen de halveringstijden van de elf instabiele kernsoorten. De halveringstijd is bij thorium-232 veertien miljard jaar, bij Rn-220 minder dan een minuut, bij Po-216 minder dan een seconde en bij Po-212 minder dan een microseconde.
Om een kernsoort met een iteratief model te volgen, zijn er ten minste 10 iteraties (tijdstappen dt) nodig in een halveringstijd.
Een iteratief model van Coach stopt na maximaal 500000 iteraties. Het model kan dus maximaal 500000 maal 1/10 halveringstijd simuleren.

Welke totale tijdsduur moet het model weergeven?
a. Kiezen we een tijdsduur gelijk aan de halveringstijd van Th-232, dan hebben we met maximaal 500000 iteraties een tijdstap van minimaal $\text{d}t=14\cdot10^9/500000=28000\,$ jaar. Dit is zo lang dat we met deze dt geen enkele andere instabiele kernsoort uit de thoriumreeks kunnen modelleren. De langste andere halveringstijd is de 5,75 jaar van radium-228.
b. Daarom kunnen we besluiten het model te beperken tot een kortere tijdsduur.
Doordat de halveringstijd van Th-232 veel langer is dan die van de andere instabiele kernsoorten, wordt vanaf $t=0$ tot ongeveer $t=180\,$ jaar een zogenoemd seculair evenwicht opgebouwd. Op dat moment is het aantal kernen van radium-228 tot en met thallium-208 en polonium-212 maximaal. De opbouwperiode van 0 tot 180 jaar is karakteristiek voor de thoriumreeks. Dat kan een motief zijn om deze tijdsduur te kiezen.
In de onderstaande tabel is $t_\text{max}$ het tijdstip (in dagen) waarop het aantal kernen van een kernsoort maximaal is. $N_\text{max}$ is het maximale aantal kernen, uitgaande van $10^{27}$ kernen thorium-232 op $t=0$, zonder andere kernsoorten op dat moment. De waarden van $t_\text{max}$ en $N_\text{max}$ heb ik berekend met hiervoor geldende formules, niet met een iteratief model.

In de eerste 180 jaar is de activiteit van het Th-232 vrijwel constant. Dat kunnen we gemakkelijk in het model zetten. Met de modelregels die de auteur beschrijft, modelleren we de overige kernsoorten. Een tijdsduur van 180 jaar leidt tot een minimale tijdstap dt=3 uur, zodat we kernsoorten kunnen modelleren met een halveringstijd van 30 uur of meer. In de thoriumreeks gaat dit al fout bij actinium-228 en daar strandt het schip. Een beperking tot 180 jaar helpt niet echt.
c. Een andere mogelijke vereenvoudiging is: doen alsof alle stappen met een korte halveringstijd onmiddellijk plaatsvinden, alsof die kernsoorten nooit ontstaan en vervallen. 'Th-232 vervalt via Ra-228 onmiddellijk tot stabiel Pb-208'. Geen Nobelprijs.
d. We kunnen met Coach 1900 maal de uitvoer van het model als nieuwe invoer te gebruiken en 500000 maal een tiende halveringstijd van radon-220 aaneenrijgen tot 180 jaar. Dat is praktisch ondoenlijk en het past niet bij het elementaire niveau waarop de auteur modellen van radioactief verval bespreekt. Het gaat nog veel fouter bij polonium-212.
e. Ik kan de thoriumreeks met het Coach-model in beeld brengen op basis van neppe halveringstijden die niet te veel van elkaar verschillen. Dan krijg ik strafpunten, want de auteur noemt uitdrukkelijk 'vervalreeks met echte waardes'.

Mijns inziens kunnen we met een iteratief model van Coach en de werkelijke halveringstijden slechts een zeer gering deel van de thoriumreeks met $N(t)$-grafieken in beeld brengen. Alleen enkele kernsoorten. Of meer kernsoorten gedurende een tijd waarin geen representatief beeld ontstaat.

Johan Bordewijk stelt 'Maar met een numeriek model kunnen we dit wel eenvoudig in beeld brengen.'
Als dit al mogelijk is, gaat het zijn elementaire behandeling van verval-modellen ver te boven. 
Hij schrijft: 'Met deze kennis gewapend kun je nu eens proberen de vervalreeks met echte waardes te maken. Probeer die zelf eens te vinden en maak dan een grafiek.'
Deze aansporing is een recept om met een grafiek te falen.

Of is het wel mogelijk? Graag zou ik enkele op die manier gemaakte $N(t)$-grafieken van de auteur zien. Bij voorbeeld radon-220 van $t=0$ tot 180 jaar. Laten we beginnen met $10^{27}$ kernen thorium-232. Dat is ongeveer een fictieve bol thorium met een straal van 20 cm.

Nauwkeurige $N(t)$-diagrammen maak ik op een andere manier, zonder iteratief model. Een enkele kernsoort of allemaal. Gedurende 180 jaar of 100 miljard jaar. Hierop kom ik terug in de vraagbaak-draad  radioactieve vervalreeks in beeld brengen, categorie atoom- en kernfysica.

In de tabel zijn $t_\text{max}$ en $N_\text{max}$ verwachtingswaarden, afgezien van het toevalskarakter van verval. Weggelaten is spontane splijting van Th-232 en de emissie van clusters zoals C-14 en Ne-20. Alfadeeltjes zijn niet geteld als heliumkernen. Het systeem is gesloten, zodat er geen radongas ontsnapt.
Groet, Jaap