Reacties
Dag Sam,
De logaritme glog(x) met het grondtal g is een wiskundige functie:
=a&space;\Leftrightarrow&space;g^a=x)
Voorbeeld met het grondtal g=10:
=3&space;\Leftrightarrow&space;10^3=1000)
Bij natuurkunde wordt dikwijls het grondtal g=10 gebruikt.
Op je rekenmachine kun de logaritme met grondtal g=10 invoeren als 'log(1000)'.
De uitkomst is 3. Lukt dat?
Bij radioactief verval kun je de logaritme soms gebruiken met de volgende eigenschap:
=n\cdot\log(x))
Stel dat er aan het begin 1600 kernen van een instabiele kernsoort aanwezig zijn.
En dat er op een onbekende tijd nog 200 van deze kernen over zijn.
Dan is het aantal kernen n=3 maal gehalveerd.
Want 1600:2=800 en 800:2=400 en 400:2=200.
Drie maal gehalveerd, dus er is drie maal de halveringstijd t½ verstreken.
Als het aantal kernen 1 of 2 of 3 of 4 of… een geheel aantal malen is gehalveerd, heb je geen logaritme nodig.
Maar stel dat er aan het begin 1600 kernen van een instabiele kernsoort aanwezig zijn.
En dat er op een onbekende tijd nog 300 van deze kernen over zijn.
Hoeveel maal is het aantal kernen dan gehalveerd?
Hiervoor gebruik je logaritmen.
=N_0\cdot\Big(\tfrac{1}{2}\Big)^n)
^n)
^n=\frac{300}{1600}=0,1875)
^n\Big)=\log(0,1875))
)
}{\log\tfrac{1}{2}}\to&space;n=2,415)
Het aantal instabiele kernen is 2,415 maal gehalveerd en de halveringstijd is 2,415 maal verstreken.
Is de halveringstijd bij voorbeeld 1000 s, dan is de verstreken tijd 2415 s.
Controle:
^{2,415}=300)
Het klopt.
Is het niet duidelijk? Geef dan je eigen voorbeeld.
Groet, Jaap
De logaritme glog(x) met het grondtal g is een wiskundige functie:
Voorbeeld met het grondtal g=10:
Bij natuurkunde wordt dikwijls het grondtal g=10 gebruikt.
Op je rekenmachine kun de logaritme met grondtal g=10 invoeren als 'log(1000)'.
De uitkomst is 3. Lukt dat?
Bij radioactief verval kun je de logaritme soms gebruiken met de volgende eigenschap:
Stel dat er aan het begin 1600 kernen van een instabiele kernsoort aanwezig zijn.
En dat er op een onbekende tijd nog 200 van deze kernen over zijn.
Dan is het aantal kernen n=3 maal gehalveerd.
Want 1600:2=800 en 800:2=400 en 400:2=200.
Drie maal gehalveerd, dus er is drie maal de halveringstijd t½ verstreken.
Als het aantal kernen 1 of 2 of 3 of 4 of… een geheel aantal malen is gehalveerd, heb je geen logaritme nodig.
Maar stel dat er aan het begin 1600 kernen van een instabiele kernsoort aanwezig zijn.
En dat er op een onbekende tijd nog 300 van deze kernen over zijn.
Hoeveel maal is het aantal kernen dan gehalveerd?
Hiervoor gebruik je logaritmen.
Het aantal instabiele kernen is 2,415 maal gehalveerd en de halveringstijd is 2,415 maal verstreken.
Is de halveringstijd bij voorbeeld 1000 s, dan is de verstreken tijd 2415 s.
Controle:
Het klopt.
Is het niet duidelijk? Geef dan je eigen voorbeeld.
Groet, Jaap
logaritmes dien je vooral via wiskunde lessen onder de knie te krijgen.
Maar in het kort is het "werken met exponenten". Daardoor worden vermenigvuldigingen simpeler doordat het optellingen van exponenten wordt.
Alle getallen zijn als veelvouden van factoren 10 te zien. Makkelijk is 10 = 101 en 100 = 102 maar ook 88 = 101,94 (vroeger zocht je dit soort exponentwaarden op in logaritme-tabellen, tegenwoordig druk je op de "log" toets van je rekenmachine).
Vermenigvuldigen wordt zo simpel optellen: 100 x 88 = 102 x 101,94 = 103,94 (optellen van exponenten) en dit kun je met je rekenmachine (of tabellenboek) weer terugrekenen als 8800 (namelijk 103 x 100,94 = 1000 x 8,8)
Bij halveringstijden bij radioactief verval zijn logaritmen ook nuttig: hier halveren (factor 0,5) waarden steeds. Een factor, 0,5 = 10-0,30 of, in factoren 2 geldt 0,5 = 2-1 . En daarbij kun je met logaritmen werken zoals Jaap illustreert.
Je begint met N actieve kernen, na een halfwaardetijd is dit N.2-1 (want 0,5 =1/2 = 2-1). En na nog een halveringstijd (N.2-1).2-1 (= N. 2-2) enz. Als je het beginaantal weet (N0) en het eindaantal (Nt) dan moet dus gelden Nt = N0 . 2-x waarbij x een exponent moet zijn zodanig dat die twee-macht vermenigvuldigd met N0 het huidige aantal Nt geeft. Het geeft het aantal (niet per se geheeltallige) halveringstijden aan.
Door logaritme te gebruiken kun je x makkelijk vinden:
Je begint met de aantallen vast te stellen: log Nt = log (N0.2-x).
Dan moet je een vermenigvuldig-eigenschap van logaritmen kennen: log ab = log a + log b en hoe exponenten tot factoren worden: log ab = b log a.
Toegepast: log Nt = log N0 - x log 2 = log N0 - 0,30 x (want log 2 =0,30 )
log Nt en log N0 zijn getallen - je rekenmachine geeft de waarden. Blijft x als onbekende over. Die kun je dan oplossen. En dan weet je dat er x halveringstijden voorbij zijn gegaan.
Bijvoorbeeld na 1 halveringstijd is nog maar de helft over. Dat kun je ook zonder rekenwerk bedenken, maar laten we het toch even doorrekenen:
Nt = 0,5 N0
log Nt = log( 0,5 N0 ) = log 0,5 + log N0 (vermenigvuldigregel toepassen) en
log Nt = log N0 - 0,30 x (algemene halveringsregel)
Die twee zijn aan elkaar gelijk dus
log 0,5 = - 0,30 x zodat -0,30 = - 0,30 x ofwel x = +1,0
Er is dus 1 halveringstijd voorbij.
Dat wist je zo ook wel, maar als Nt = 0,75 N0 dan is nog geen halveringstijd voorbij. Maar hoeveel wel laat zich moeilijk uit het hoofd vinden: logaritme lost het zo op:
log 0,75N0 = log 0,75 + log N0 = -0,12 + log N0 = log N0 - 0,30 x waarmee - 0,12 = - 0,30 x ofwel x = 0,42: er is pas 0,42 halveringstijd voorbij.
Logaritmische grafieken zijn ook veel gebruikt als waarden over een groot interval verspreid liggen, bijv. 1 - 10.000 . Veel waarden als 5, 8, 20, 50 zijn nauwelijks herkenbaar als verschillend van 0 in de grafiek als een waarde 9.000 ook getoond moet worden. Als je de logaritme gebruikt, dan heb je per factor 10 steeds een interval tussen 0-1 om te tonen. Zo worden 5 en 8 in het interval 1-10 getoond, (het zijn waarden tussen 0 x 101 en 1 x 101), 20 en 50 in een even groot interval 11-100 (waarden tussen 0-1 x 102) en 9.000 zit in het interval 1.001-10.000 (tussen 0-1 x 104). En dat maakt de kleine waarden beter zichtbaar net als de grote getallen: ze zijn allemaal een getal tussen 0 en 1 binnen een interval van 10, 100, 1000 enz.
in https://www.natuurkunde.nl/vraagbaak/92790/mensen-op-de-maan wordt de gravitatieversnelling getoond op allerlei plekken tussen de aarde en de maan. Op grote afstanden is die vrijwel nul vergeleken met de maximale waarden. Een logaritmische aanduiding toont ook de lage waarden duidelijk.
De logaritmische schaal geeft een veel beter overzicht dan de lineaire waarin de kleine waarden volledig platgedrukt zijn:
Maar in het kort is het "werken met exponenten". Daardoor worden vermenigvuldigingen simpeler doordat het optellingen van exponenten wordt.
Alle getallen zijn als veelvouden van factoren 10 te zien. Makkelijk is 10 = 101 en 100 = 102 maar ook 88 = 101,94 (vroeger zocht je dit soort exponentwaarden op in logaritme-tabellen, tegenwoordig druk je op de "log" toets van je rekenmachine).
Vermenigvuldigen wordt zo simpel optellen: 100 x 88 = 102 x 101,94 = 103,94 (optellen van exponenten) en dit kun je met je rekenmachine (of tabellenboek) weer terugrekenen als 8800 (namelijk 103 x 100,94 = 1000 x 8,8)
Bij halveringstijden bij radioactief verval zijn logaritmen ook nuttig: hier halveren (factor 0,5) waarden steeds. Een factor, 0,5 = 10-0,30 of, in factoren 2 geldt 0,5 = 2-1 . En daarbij kun je met logaritmen werken zoals Jaap illustreert.
Je begint met N actieve kernen, na een halfwaardetijd is dit N.2-1 (want 0,5 =1/2 = 2-1). En na nog een halveringstijd (N.2-1).2-1 (= N. 2-2) enz. Als je het beginaantal weet (N0) en het eindaantal (Nt) dan moet dus gelden Nt = N0 . 2-x waarbij x een exponent moet zijn zodanig dat die twee-macht vermenigvuldigd met N0 het huidige aantal Nt geeft. Het geeft het aantal (niet per se geheeltallige) halveringstijden aan.
Door logaritme te gebruiken kun je x makkelijk vinden:
Je begint met de aantallen vast te stellen: log Nt = log (N0.2-x).
Dan moet je een vermenigvuldig-eigenschap van logaritmen kennen: log ab = log a + log b en hoe exponenten tot factoren worden: log ab = b log a.
Toegepast: log Nt = log N0 - x log 2 = log N0 - 0,30 x (want log 2 =0,30 )
log Nt en log N0 zijn getallen - je rekenmachine geeft de waarden. Blijft x als onbekende over. Die kun je dan oplossen. En dan weet je dat er x halveringstijden voorbij zijn gegaan.
Bijvoorbeeld na 1 halveringstijd is nog maar de helft over. Dat kun je ook zonder rekenwerk bedenken, maar laten we het toch even doorrekenen:
Nt = 0,5 N0
log Nt = log( 0,5 N0 ) = log 0,5 + log N0 (vermenigvuldigregel toepassen) en
log Nt = log N0 - 0,30 x (algemene halveringsregel)
Die twee zijn aan elkaar gelijk dus
log 0,5 = - 0,30 x zodat -0,30 = - 0,30 x ofwel x = +1,0
Er is dus 1 halveringstijd voorbij.
Dat wist je zo ook wel, maar als Nt = 0,75 N0 dan is nog geen halveringstijd voorbij. Maar hoeveel wel laat zich moeilijk uit het hoofd vinden: logaritme lost het zo op:
log 0,75N0 = log 0,75 + log N0 = -0,12 + log N0 = log N0 - 0,30 x waarmee - 0,12 = - 0,30 x ofwel x = 0,42: er is pas 0,42 halveringstijd voorbij.
Logaritmische grafieken zijn ook veel gebruikt als waarden over een groot interval verspreid liggen, bijv. 1 - 10.000 . Veel waarden als 5, 8, 20, 50 zijn nauwelijks herkenbaar als verschillend van 0 in de grafiek als een waarde 9.000 ook getoond moet worden. Als je de logaritme gebruikt, dan heb je per factor 10 steeds een interval tussen 0-1 om te tonen. Zo worden 5 en 8 in het interval 1-10 getoond, (het zijn waarden tussen 0 x 101 en 1 x 101), 20 en 50 in een even groot interval 11-100 (waarden tussen 0-1 x 102) en 9.000 zit in het interval 1.001-10.000 (tussen 0-1 x 104). En dat maakt de kleine waarden beter zichtbaar net als de grote getallen: ze zijn allemaal een getal tussen 0 en 1 binnen een interval van 10, 100, 1000 enz.
in https://www.natuurkunde.nl/vraagbaak/92790/mensen-op-de-maan wordt de gravitatieversnelling getoond op allerlei plekken tussen de aarde en de maan. Op grote afstanden is die vrijwel nul vergeleken met de maximale waarden. Een logaritmische aanduiding toont ook de lage waarden duidelijk.
De logaritmische schaal geeft een veel beter overzicht dan de lineaire waarin de kleine waarden volledig platgedrukt zijn:
