Onbepaaldheid
Erin stelde deze vraag op 15 februari 2023 om 13:43.Beste,
Ik heb eigenlijk twee vragen:
1. Wanneer mag je zeggen dat iets verwaarloosbaar is? Is dat als de orde van grootte van de onbepaaldheid meer negatief is?
"De onbepaaldheid in energie (E = 5,2728∙10−27 J) is verwaarloosbaar ten opzichte van de
fotonenergie (Ef = 3,027∙10−19 J). Dus er is geen meetbare verandering in de golflengte."
2. Waarom weet je nooit waar een lopende golf is, want als je alle absolute waardes van de lopende golf in het kwadraat doet dan krijg je toch twee bergparabolen en is de kans om een deeltje aan te treffen toch niet overal even groot?
"Kenmerk van een lopende golf is dat op alle plaatsen de uitwijking op een bepaald
moment gelijk wordt aan de amplitude. Dat betekent dat de waarschijnlijkheid |ψ(x)|2
om het vrije deeltje ergens aan te treffen overal even groot is. Met andere woorden: je
weet eigenlijk niet waar het deeltje is, de onbepaaldheid in plaats is erg groot."
Reacties
>1. Wanneer mag je zeggen dat iets verwaarloosbaar is? Is dat als de orde van grootte van de onbepaaldheid meer negatief is?
Zie https://www.natuurkunde.nl/vraagbaak/78696
Het heeft alles met orde-van-grootte te maken. Verwaarloosbaar is iets andere effecten een vele malen grotere impact hebben. Dat betekent niet dat verwaarloosbaar onbelangrijk is: naar mate je nauwkeuriger wil werken dienen meer en meer effecten in rekening gebracht te worden en dan is er weinig meer verwaarloosbaar.
>2. Waarom weet je nooit waar een lopende golf is
Omdat die golf loopt. Wat noem je "de golf"? Het begin? Het midden? Het uiteinde? Iets ertussenin?
>want als je alle absolute waardes van de lopende golf in het kwadraat doet dan krijg je toch twee bergparabolen
Dan heb je het dus over een staande golf. Dat is in werkelijkheid wel de combinatie van 2 lopende golven: dezelfde golf die zowel vooruit als achteruit loopt. Bij interfereren met elkaar ontstaat dan een stabiel lijkende golf met maxima en minima op vaste plekken. Zoiets noemen we een staande golf.
In de quantum mechanica is zo'n staande golf een weergave van de Schrodingergolf Ψ waarvan de uitwijking in het kwadraat, ψ2 een maat is voor de waarschijnlijkheid een deeltje op die plek aan te treffen.
Als een golf loopt (d.w.z. de amplitude van de meestal sinus-vormige golf beweegt zich voort) dan kun je niet stellen dat een deeltje een grotere kans heeft op een bepaalde plek aangetroffen te worden omdat de amplitude van die golf zich verplaatst van positie x naar positie x+een beetje.
Maar feitelijk wordt in de quantum mechanica hier niet met lopende golven maar met staande golven met een amplitude van vrijwel 0 gerekend. Het totale oppervlak onder de staande golf in het kwadraat grafiek (Ψ2) moet 1 zijn (de kans het deeltje "ergens" aan te treffen is 100%). Dus over een groot interval heb je of een golf wiens halve golflengte dat interval vult (en dan een amplitude heeft van vrijwel 0) of een golf die vele malen past in dat interval (een van de "boventonen") maar ook dan moeten alle "bergjes"/"hobbeltjes" van de Ψ2 functie samen een oppervlak van 1 (100%) hebben en dus ook een amplitude/berghoogte van vrijwel 0. De kans het deeltje aan te treffen ergens in het interval is dan vrijwel overal gelijk want de oplossing van de Schrodingervergelijking geeft overal vrijwel dezelfde kans.
Ik zag nu ook nog dit ineens in een uitwerking:
"De impuls van een foton bereken je met de formule van De Broglie."
Maar ik dacht dus dat je p = m v en λ = h/p alleen mag gebruiken voor materie.
Een materiedeeltje met hoge snelheid (maar beneden lichtsnelheid c) heeft een energie gelijk aan de rust-energie van het deeltje met rustmassa m plus diens kinetische energie die bij dergelijke snelheden wordt gegeven door E = E0 + K = γ mc2
Dat kan ook worden geschreven door E2 = (pc)2 + (mc2)2
De impuls p kan zo nodig uit de Broglie golflengte worden bepaald (p = h/λ)
Dus ik denk dat de uitwerking een foute opmerking maakt.
13
Een foton met een golflengte van 1,195 nm botst frontaal op een stilstaand elektron.
Hierdoor krijgt het elektron snelheid. Het foton dat terugkaatst, heeft een golflengte
van 1,200 nm.
a Leg uit waarom het teruggekaatste foton een grotere golflengte heeft.
b Bereken de golflengte van het bewegende elektron.
Voor interacties tussen voorwerpen en deeltjes geldt de wet van behoud van impuls:
de totale impuls voor de interactie is gelijk aan de totale impuls erna.
c Laat zien dat de wet van behoud van impuls ook geldt voor de botsing van een
foton met een elektron
Dit gaat over je vraag van 19.18 uur, opgave 13 van Systematische natuurkunde vwo 6, hoofdstuk 13.
Inderdaad is het ongebruikelijk om de betrekking λ = h/p aan te duiden als 'de formule van De Broglie'. De benaming De Broglie-golflengte gebruiken we alleen voor materiedeeltjes.
De betrekking λ = h/p geldt wel voor fotonen. Uit de theorie van Maxwell over elektromagnetisme volgt dat voor de energie en impuls van een foton geldt E=c·p. Ook geldt voor de energie van een foton E=h·f=h·c/λ. Combineren geeft c·p=h·c/λ zodat p=h/λ of λ=h/p.
Groet, Jaap
b) de energie van het elektron is bekend, met de Broglie vergelijking is diens golflengte te bepalen (rekening houdend met relativistische snelheden en impuls)
c) Elektron impuls voor de botsing nul, foton p = E/c . Na de botsing dient impuls behouden te zijn. Foton kaatst terug, blijkbaar dus 180 graden draai. Elektron schiet vooruit, 0 graden. Tezamen moet impuls in die richting gelijk zijn gebleven voor en na botsing. (Impuls loodrecht erop was 0 en blijft 0).
Ik zie in de opdracht niet dat een foton een de Broglie golflengte heeft of ernaar wordt gevraagd
'De impuls bereken je met de formule van De Broglie' staat in de uitwerking van opgave 13b, Systematische natuurkunde 6 vwo hoofdstuk 13.
https://www.studeersnel.nl/nl/document/hyperion-lyceum/wiskunde-b/sn8-vwo6-h13-uitwerkingen/27062720
Vraag 13b hoeft niet relativistisch: het elektron beweegt niet erg snel.
Groet, Jaap
Dit gaat over je eerste vraag van 13.43 uur.
Je inzicht is goed: 'orde van grootte ... meer negatief'.
Advies: verwoord het op een andere manier.
Bij de orde van grootte denken in dit verband we aan 'machten van 10'.
Hoeveel machten van 10? Dat 'tel' je met de logaritme met het grondtal 10.
Als A beweegt met 100 m/s, is zijn snelheid in de orde van grootte van 10log100=2.
Als B gaat met 100000 m/s, is haar snelheid in de orde van grootte van 10log100000=5.
De snelheid van B is 5–2=3 orden van grootte meer dan die van A.
Op dezelfde manier…
De onbepaaldheid in energie is in de orde van grootte van 10log(5,2728×10–27) = –26
De fotonenergie is in de orde van grootte van 10log(3,027×10–19) = –19
De orde van grootte van de onbepaaldheid is 'meer negatief' →
de onbepaaldheid is verwaarloosbaar ten opzichte van de fotonenergie →
op grond van 'Heisenberg' is er vrijwel geen spreiding in de energie van deze 'rode fotonen' te verwachten.
Let wel: bij getalwaarden groter dan 1 is de grootheid waarvan de orde van grootte minder positief is, verwaarloosbaar ten opzichte van een andere grootheid.
Groet, Jaap
