Verwaarlozen of wegstrepen of niet van belang/ niet relevant : wanneer?

Theo de Klerk stelde deze vraag op 08 juni 2021 om 22:19.

Bij allerlei vragen in de natuurkunde kunnen soms grootheden als massa verwaarloosd worden of is niet van belang.

Daar zit een groot verschil in.

  • bij "verwaarlozen" kun je de betreffende grootheid 0 stellen. Dat kan als de bijdrage tot een effect voor dat onderdeel nauwelijks de uitkomst beinvloedt. Bijvoorbeeld in berekeningen (energie bijvoorbeeld) bij een schip van 100 000 kg zal de berekening nauwelijks afwijken als je ook de massa van de kapitein en bemanning (stel samen 1000 kg) meetelt. Die vormen maar 1000/(100 000+1000) -ste deel (= 0,9%)  van de totale massa. Vind je die 0,9% bijdrage niet zo belangrijk? Dan mag je de massa van de bemanning verwaarlozen (en dus 0 kg stellen: je rekent met 100 000 kg)
    Typische voorbeelden van "verwaarlozen": katrollen (want anders telt hun rotatie-energie mee), massa van snaren en touwen (anders hebben ze een kinetische energie)
  • bij "niet van belang" betekent het dat de betreffende grootheid geen rol speelt, ongeacht hoe groot de waarde is. Dat is het geval als je in formules die grootheid kunt "wegstrepen" of "wegdelen". Bij voorbeeld als je zwaarte-energie en kinetische energie gebruikt bij een val van hoogte h: eerst zwaarte-energie mgh  en eenmaal beneden alleen kinetische energie 1/2 mv2. Dan kun je beide energieën gelijk stellen:   mgh = 1/2 mv2   Je ziet dat massa m aan beide kanten van de vergelijking voorkomt en dat je die dus kunt wegdelen of wegstrepen: dan houd je over  gh = 1/2 v2   zodat je snelheid v kunt berekenen als je de valhoogte h kent (en op aarde is g = 9,81 N/kg). Alle voorwerpen, ongeacht hun massa, vallen even snel.
    Zo kun je ook de baan van de aarde om de zon berekenen waarbij de massa van de aarde niet van belang is - maar zeker niet nul. Immers:  mv2/r = GMm/r2  ofwel  v2 = GM/r   met M = massa zon en r = baanstraal.  De massa van de aarde m is "weggedeeld". Zeker niet 0 gezet. En ook niet 1 kg (zoals sommige methoden (w.o. Pulsar) voorstellen al werkt vermenigvuldigen met 1 op zich prima (iets x1 = hetzelfde)
Bij "wegstrepen" of "wegdelen" moet je wel wiskundig correct te werk gaan. Delen door een factor betekent dat die factor aan beide kanten wordt gedeeld.

Soms verdwijnt daarmee de factor en is hij "niet van belang":
ax = bx + cx      kun je delen door x:    a = b + c

Maar soms is die factor niet in alle termen aanwezig en raak je hem dus niet kwijt bij deling (al zie ik enkele examenkandidaten dat toch stiekum doen en vervolgens de mist in gaan):
ax = bx + c      kun je delen door x:   a = b + c/x      en dus is "x" er nog steeds.
Dit laatste kom je vaak bij energie-berekeningen tegen. Stel dat je weer een valbeweging uitrekent.

In het ideale geval (als boven geschetst) geldt:
zwaarte-energie boven = kinetische energie beneden
mgh = 1/2 mv2  
gh = v2  
De snelheid is onafhankelijk van de massa. De massa is niet relevant.

Als je luchtwrijving moet meerekenen (die in totaal Q joules energie opslokt) dan wordt het een ander verhaal:
zwaarte-energie boven = kinetische energie beneden + luchtwrijvingsenergie
mgh = 1/2mv2 + Q
gh = 1/2 v2 + Q/m
Nu blijft m aanwezig en belangrijk. Oplossen naar snelheid v geeft

En zolang ook maar een beetje wrijving energie opneemt (Q is niet nul en niet verwaarloosbaar) dan is de eindsnelheid lager dan zonder luchtwrijving. Dat weet je intuitief ook wel.

Voor een hele grote massa m zal Q/m bijna nul zijn en de snelheid bijna weer met de ideale geval snelheid overeenkomen. De zwaarte-energie zal bij grote massa m vele malen groter zijn dan de wrijvingsenergie (bij mgh = 1/2 mv2 + Q  ofwel  mgh - Q = 1/2 mv2 zal met mgh >> Q  gelden dat mgh - Q ≈ mgh en dus mgh ≈ 1/2 mv2 wordt: het ideale geval ) 
  • We kunnen dan stellen dat voor grote massa's Q verwaarloosd kan worden (en Q = 0 J gesteld en daarmee Q/m = 0  J/kg).
  • We kunnen niet zeggen dat de massa verwaarloosd kan worden - immers een grote massa is een vereiste om de Q =0 J te mogen veronderstellen. En Q/0 zou bijna oneindig groot zijn!

Plaats een reactie

+ Bijlage

Bevestig dat je geen robot bent door de volgende vraag te beantwoorden.

Clara heeft negenentwintig appels. Ze eet er eentje op. Hoeveel appels heeft Clara nu over?

Antwoord: (vul een getal in)