Dag Sophie en Inez,
• Hebben de drie bovenstaande diagrammen betrekking op de beweging van de knikker op een horizontaal oppervlak van pvc?
• In je formules a=F/m en F=–Frw–Flw staat geen Crr. Hoe is dan de grafiek van Crr als functie van de tijd bepaald? Welke formules bij voorbeeld?
Heb je een bepaalde waarde voor de luchtweerstandscoëfficiënt gebruikt, en zo ja welke?
Hoe groot is de massa van de knikker?
Hoe kan Crr volgens het diagram negatief zijn?
• Je schrijft: 'Aan de andere kant vinden we het ook onlogisch als de rolweerstand wel altijd gelijk is, want als het balletje bijvoorbeeld stil ligt, gaat deze niet opeens versnellen.'
De theorie zegt niet dat de rolweerstandskracht F_w,rol altijd even groot is. De theorie gaat over de maximale waarde van F_w,rol; die kan kleiner zijn dan de maximale waarde.
Stel dat de maximale F_w,rol op de knikker 5 mN en dat de knikker in rust is op een horizontaal oppervlak.
Als je niet zijwaarts tegen de knikker duwt, is F_w,rol=0 en blijft de knikker in rust.
Als je zijwaarts duwt met 3 mN, is F_w,rol=3 mN en blijft de knikker in rust.
Als je zijwaarts duwt met 6 mN, is F_w,rol=5 mN → versnelde beweging.
• Een zekere Inez heeft reacties gekregen op een verwante vraag:
https://www.natuurkunde.nl/vraagbaak/85081/warmte-door-luchtweerstand-berkenen
Het zou charmant zijn als Inez liet weten of die vraag voldoende beantwoord is.
Groet, Jaap

Dag Jaap,
bedankt voor uw snelle reactie. 

We hebben inderdaad de horizontale verplaatsing van het balletje gemeten.
De formule die we hebben gebruikt voor de luchtweerstand is Flw=0.5*p*Cw*A*v^2. A kunnen we natuurlijk uitrekenen met de straal (0.0075 m), p hebben we als 1,293 kg/'m^3, en de Cw waarde van een ronde bal is 0,47. De massa van de knikker is ongeveer 5 gram.
De Crr,t-grafiek hebben we vergkregen dmv de formule Crr=Frr/Fn.
We denken dat Crr negatief is in het diagram omdat er misschien wat mis is gegaan met de minnen in Ftot=-Flw-Frr, omdat a natuurlijk ook negatief is in de beweging.

Uw uitleg dat de rolweerstand een maximale waarde is maakt veel duidelijk. Kan dat ook verklaren waarom de Crr eerst een rechte lijn is, en dat deze verminderd naarmate de snelheid afremt? Dus dat de waarde van Frr aan het begin de maximale Frr is?

Dan willen we u toch nog vragen of u denkt dat de aanpak van het filmpje een goede aanpak is om de rolweerstandscoëfficient te bepalen, of dat het beter anders kan.

Alvast bedankt,
Sophie en Inez 

P.S.
we hadden in het programma inderdaad een fout gemaakt met een plus ipv een min. Zo ziet het er nu uit:

Dag Sophie, Inez,
• Klopt de indruk dat C_rr als functie van de tijd bepaald is met
F_res=–F_rw–F_lw → F_w,rol=–F_res–F_lw → F_w,rol=–m·a–constante·v²
waarna C_rr=F_w,rol/(m·g)?
• Hoe is bij de berekening van F_w,rol in het diagram gezorgd dat op elk tijdstip de waarde van v en a van dat tijdstip zijn gebruikt?
• Kun je als bijlage het Coach-bestand met de waarden van t, x, v, a, F_w,rol plaatsen?
De bestandsnaam eindigt waarschijnlijk op .cmr7 of .cma7
Met de ruwe meetwaarden kan ik beter zien of de aanpak van het filmpje een goede aanpak is om de rolweerstandscoëfficiënt te bepalen.
• Heb je in Coach 7 ervaring met modelleren (numerieke of dynamische modellen)?
Groet, Jaap

Dag Sophie, Inez,
• Ja, je kunt de waarde van C_rr op jullie bovenstaande manier bepalen.
• Heb je inmiddels bedacht er ook een eenvoudiger manier is?
• Bezie de laatste 1,4 s van het (v,t)-diagram. De luchtweerstandskracht is daar bij benadering te verwaarlozen, zodat de versnelling a alleen voor rekening komt van de constante F_w,rol. De (v,t)-grafiek is in de laatste 1,4 s bij benadering recht en dalend tot nul.
Uit de afgelegde afstand Δx in de laatste 1,4 s voordat de knikker tot stilstand komt (of uit de snelheid op 1,4 s voor stilstand), bereken je a en vervolgens F_w,rol en C_rr. Zo vind je een waarde van C_rr die overeenkomt met de laatste 1,4 s van je (C_rr,t)-diagram.
• Waarom kun je deze manier niet toepassen op de eerste 1,4 s van de beweging?
• Hoe controleer je experimenteel of de ondergrond echt horizontaal is?
Groet, Jaap

Dag Jaap,
Bedankt voor uw reacties. Ik heb geprobeerd het bestand up te loaden maar dat gaat moeilijk aangezien ik onderweg ben in de auto op vakantie, dus het bereik is heel slecht.
.
We zien inderdaad dat de v,t-grafiek in de laatste 1,4 s vrijwel recht is. We denken dat dat komt doordat de snelheid dan al zo laag is, dat de luchtweerstandskracht heel klein is (kwadraat van een klein getal wordt nog veel kleiner). 
Klopt het dat we dan gewoon -dx/t*m=Frr kunnen doen, en dan Crr=Frr/9,81/m?

Het is inderdaad goed om zeker te weten dat het oppervlak recht is, dus zullen we met een dit met een waterpas nameten; goede tip, dank u.

We hebben zelf nog steeds geen andere manier bedacht om de rolweerstandscoëfficient te bepalen. We hebben wel op internet gekeken, maar daar stonden vrijwel alleen voorbeelden voor banden of wielen van auto's of fietsen, die je vanuit de as een bepaalde voorwaartse kracht kan geven (en dan de afstand die het voertuig aflegt tot stilstand meten, etc) maar dat werkt niet bij ons, omdat het een balletje is en geen wiel. Wel hadden we ergens wat gelezen over een proef met een helling (balletje los laten boven aan de helling van een bepaalde hoek), maar dat leek ons ingewikkelder, want dan moet je alsnog mbv een videa de snelheid van het balletje meten.

Maar het is dus fijn om te horen dat onze manier geschikt is voor hetgene wat we willen bepalen! Dank u wel

Vriendelijke groet,
Sophie en Inez

Dag Sophie en Inez,
• Om te verifiëren of het oppervlak horizontaal is: twee videometingen waarbij de knikker de eerste keer naar rechts rolt en de tweede keer naar links. Immers, 'één proefje is géén proefje'. De waarde van a in de laatste seconde voordat de knikker tot stilstand komt, zou in beide gevallen even groot moeten zijn. Is dat het geval volgens de metingen?
Je schrijft 'om zeker te weten dat het oppervlak recht is'. Je bedoelt vermoedelijk 'om zeker te weten dat het oppervlak horizontaal is'.
• Nee, voor de afgelegde afstand in de laatste 1,4 s geldt niet jouw –dx/t*m=Frr.
In de eerste plaats zegt de tweede wet van Newton dat F_res=F_w,rol=m·a en a is niet jouw dx/t.
Hoe kun je a bepalen in het laatste stuk van je (v,t)-grafiek?
Alternatief: 'draai de film in gedachten terug' vanaf het eind van de beweging. De knikker begint dan in gedachten eenparig versneld te rollen vanuit stilstand. Voor de afgelegde afstand Δx geldt de vertrouwde Δx=½·a·(Δt)². Hieruit volgt de waarde van a. Zo hoeft Coach niet de afgeleide van x te bepalen.
In de tweede plaats geldt F_res=m·a voor een translatie zonder rotatie. Je wilt juist de rotatie onderzoeken. Je moet een slimme variant van F_res=m·a bedenken voor de knikker die behalve translatie-energie E_k=½·m·v² ook rotatie-energie E_rot=½·I·ω². verliest. Dat wordt zoiets als F_res=(breuk)·m·a.
• Een andere manier om de rolweerstandscoëfficient te bepalen: laat de knikker vanuit rust een gemeten afstand Δx langs een flauwe helling met een gemeten verticaal verval Δy rollen. Meet de tijdsduur Δt van begin tot eind met je stopwatch. Met behulp van een numeriek model van Coach kun je de waarde van de rolweerstandscoëfficiënt bepalen. De meerwaarde van deze methode vergeleken met 'uitrollen tot stilstand op een horizontale ondergrond' is mijns inziens beperkt.
Groet, Jaap

Beste Jaap,
Oja, natuurlijk, want dx/t=v en niet a. Ik bedoel dan Frr=dv/t*m.
Verder weten we dat het traagheidsmoment van een balletje 2/5*m*r^2 is, en dat w=v/r, dus de formule voor rotatie en translatie energue van het balletje is E=1/2mv^2 +2/5mv^2=9/10mv^2. Maar, hoe we daarmee bij Fres=(breuk)·m·a uit moeten komen, zouden we niet weten. Wij dachten altijd dat de formule Fres=m*a voor elk soort beweging werkte.
Bedankt hoor uw reactie,
Sophie en Inez

Dag Sophie en Inez,
De arbeid die de rolweerstandskracht moet verrichten om de knikker te stoppen, is zonder rotatie W=ΔE_k → F_w,rol·Δx=½·m·v² met Δx is de afgelegde afstand in de laatste 1,4 s en v is de snelheid op 1,4 s voordat de knikker tot stilstand komt.
Inclusief de rotatie-energie wordt de benodigde arbeid in totaal W=F_w,rol·Δx=(…)·m·v²
Dat is (breuk) maal zoveel als ½·m·v² zonder rotatie → W=F_w,rol·Δx=(breuk)·½·m·v²
Inclusief rotatie telt in F_res=m·a niet de gemeten m=5 gram, maar effectief (breuk)·m
Groet, Jaap

 dag Inez,

daar hebben jullie een rekenfout gemaakt
I = ²/₅*m*r^2 (correct)
ω=v/r (correct) 
E_rot= ½Iω²

Groet, Jan

Dag Sophie en Inez,
Een eenvoudiger manier om de rolweerstandscoëfficiënt te bepalen…
Laat de knikker vanaf een hoogte van een centimeter op een flauwe helling vallen en kijk zonder videometing of hij na stuiteren stil blijft liggen. Rolt de knikker omlaag, dan is de helling te steil → maak de helling minder steil en herhaal de proef. Blijft de knikker liggen, dan is de helling niet steil genoeg → maak de helling steiler en herhaal. Zo zoek je de steilste helling waarbij de knikker nog blijft liggen. Bepaling van de hellingshoek: meet de lengte L van het hele stuk pvc en meet het verticale verval h over die lengte L.
Ter controle: laat de knikker sloom over een helling rollen en ga met een videometing na of de snelheid constant is. Neemt de snelheid toe, dan is de helling te steil → maak de helling minder steil en herhaal de proef. En omgekeerd. Zo zoek je de hellingshoek waarbij de snelheid even groot blijft. Aanname: bij zo'n lage snelheid is de luchtweerstand bij benadering verwaarloosbaar ten opzichte van de rolweerstand.
Nadat je zo via probeer-en-verbeter de juiste hellingshoek hebt gevonden, bereken je de rolweerstandscoëfficiënt met de eerste wet van Newton.
Groet, Jaap

Dag Jaap,
Bedankt voor uw reactie.
We zien inderdaad dat we een rekenfout hadden gemaakt. De energie van rotatie en translatie moet zijn (1/2+1/5)mv^2=7/10mv^2 (ipv 9/10mv^2).
7/10 is 14/10 maal zo veel als 1/2. Dus dat zou dan betekenen dat Frr=14/10*m*a. Klopt dat? Want dat denken we alleen vanwege uw tip; maar we snappen niet waarom Frr*dx=14/10*1/2*mv^2 zou zorgen voor Frr=14/10m*a. Kunt u dat uitleggen?
Groeten,
Sophie en Inez

Dag Jaap,
Bedankt voor de tip met de hellingshoek. Het klinkt als een makkelijkere manier dan hoe we het nu hadden gedaan. We zullen het proefje waarschijnlijk gaan proberen zodra het schooljaar is begonnen. Misschien is het ook goed om de rolweerstandscoëfficient op twee manieren bepaald te hebben, dus met de videometing en de hellingproef.
Groet,
Sophie en Inez

P.S. 
U zegt 'Nadat je zo via probeer-en-verbeter de juiste hellingshoek hebt gevonden, bereken je de rolweerstandscoëfficiënt met de eerste wet van Newton.' 
Bedoelt u daarmee dat, wanneer de knikker stil ligt op de steilste helling waarop hij nog blijft liggen, de evenwijdige component van de zwaartekracht gelijk is aan de rolweerstandskracht? Omdat de knikker dan nog net niet versnelt, dus Ftot=Fz//-Frw=0*m

Dag Sophie en Inez,
Je uitleg-vraag van 10.43 uur betreft de beweging op een horizontaal oppervlak.
• Stel je eerst voor dat de knikker slipt: hij beweegt opzij zonder te rollen. Dan hoeft de resulterende kracht F_res van het pvc op de knikker alleen de kinetische energie E_k=½·m·v² tot nul te laten afnemen. Daartoe moet F_res remarbeid W=F_res·Δx op de knikker verrichten.
Volgens de 'wet van arbeid en energie' (Binas tabel 35A4) is de arbeid even groot als de verandering van de kinetische energie van de knikker: W=ΔE_k → F_res·Δx =½·m·v².
• Je vraagt naar het verband met F_res=m·a. De versnelling a is de afgeleide van de snelheid naar de tijd. Laten we daarom maar eens differentiëren. Nemen we aan dat F_res niet verandert in de loop van de tijd, dan hebben we
links van het gelijkteken d/dt[F_res·x]=F_res·(dx/dt)=F_res·v
en rechts d/dt[½·m·v²]=½·m·[2·v·(dv/dt)]=m·v·a
zodat F_res·v=m·v·a → F_res=m·a
Zo zie je het verband tussen W=ΔE_k en F_res=m·a
• Vervolgens brengen we in rekening dat de knikker niet slipt, maar rolt. F_res moet nu bovendien de rotatie-energie E_rot=½·I·ω² tot nul laten afnemen. Dat is ook een vorm van kinetische energie, zodat we mogen optellen:
ΔE_k+ΔE_rot=½·m·v²+1⁄5·m·v²=7⁄10·m·v²=7⁄5·(½·m·v²)
De arbeid die F_res op de rollende knikker moet verrichten, is 7⁄5 maal zo groot als op de slippende knikker.
De wet van arbeid en energie geeft nu F_res·Δx =7⁄5·(½·m·v²)
Onder verwaarlozing van de luchtweerstandskracht in het laatste, slome stuk van de beweging bestaat F_res alleen uit F_w,rol, zodat F_w,rol·Δx =7⁄5·(½·m·v²)
Ga na: differentiëren geeft op dezelfde wijze F_w,rol=7⁄5·m·a
• De versnelling a is de steilheid van het laatste, 'rechte' stuk van de (v,t)-grafiek.
Om de rollende knikker een even grote versnelling te geven als de slippende knikker, moet F_res een factor 7⁄5 groter zijn. Anders gezegd: voor de tweede wet van Newton F_res=m·a telt bij de rollende knikker niet de gemeten massa van 5 gram, maar effectief een massa van 7⁄5 maal 5 gram.
• Duidelijk zo?
Groet, Jaap

Dag Sophie en Inez,
• Aangaande 11.29 uur: nagaan of twee methoden dezelfde waarde van C_rr geven, is een goed idee. Mits dat nuttig bijdraagt aan je hoofddoelstelling (iets met een looping?) en uitvoerbaar is in de beschikbare tijd.
• Aangaande 11.41 uur: je vraagt 'Bedoelt u daarmee dat…?'
Ja. Een versie van de eerste wet van Newton luidt 'Als de resulterende kracht op een ding nul is, blijft het ding in rust of voert het een eenparige, rechtlijnige beweging uit. En omgekeerd.' Hoc loco: zie je dat de knikker stil blijft liggen of dat de snelheid constant is, dan geldt F_res=F_z,//–F_w,rol=0
'stijlste helling'? 'nog net niet versneld'? Verbeterpunt voor je verslag: correcte spelling maakt een verzorgde indruk.
Groet, Jaap
(typo's intussen verbeterd, Moderator)

Beste Jaap,
Bedankt voor uw uitleg van het verband tussen W=ΔEk en Fres=m·a. Het was even diep nadenken maar we snappen het nu. Het is altijd ook wel leuk om te weten waar bepaalde formules vandaan komen.
We zullen uw manier met de hellingproef gaan proberen. We hebben zelfs al materialen uitgezocht. Als u de proef van de helling zo aan ons uit legt klinkt het heel logisch, maar zelf zouden we er nooit op gekomen zijn.
U heeft ons dus heel ver op weg geholpen, dank u!
Groeten,
Sophie en Inez

Dag Inez, Sophie,

"In theorie is er geen verschil tussen theorie en praktijk. In de praktijk echter wel.... "

Ik voorzie trouwens nog wel wat (meet)problemen met die hellingproef. 
We gaan natuurlijk nergens de rolweerstandscofficient van glas op PVC vinden, dat soort onderzoek doe je alleen als je dat voor een of andere technische toepassing gaat gebruiken, maar zoekend met "coefficient of rolling friction" vind je zat tabellen van allerlei materiaalcombinaties. Zoek daar eens naar wat combinaties van harde materialen op een harde ondergrond, dan geeft dat een idee van welke ordegrootte  µ_rol  je zou mogen verwachten. 

Met de gevonden waarde valt dan prima uit te rekenen bij welke hellingshoek je knikker nog net (of net niet meer) stil zou moeten blijven liggen. Ik ben benieuwd of je denkt dat soort hellingshoeken te kunnen meten.  

Ik ben ook benieuwd of de meetfouten die je in de rest van je proef onvermijdelijk gaat maken niet vele malen groter gaan zijn dan een verwaarlozing van de rolweerstand. Maar goed, dat ga je dan vast in een foutendiscussie bespreken. Bedenk daarbij dat het helemaal geen schande is te concluderen dat een (deel van een) experiment geen valide resultaten oplevert. Dat is vele malen te prefereren boven wat kritiekloos meten en noteren. 

Kijk trouwens ook eens kritisch naar de baan die je knikker volgt als je die met een zacht duwtje een eindje over een vlak hard oppervlak laat rollen. Ik heb helaas maar één knikker in huis, maar die gedraagt zich op de vlakste oppervlakken die ik in mijn huis kan vinden bij lage snelheden een beetje als een lichtjes dronken tor. Dus, niet netjes rond en/of niet helemaal homogeen qua dichtheid en/of vrijwel onzichtbare oneffenheden op het oppervlak en/of ..... . 

Groet, Jan

Dag Jan,
Bedankt voor uw reactie. Met een berekening komen we erop uit dat de hoek heel klein zal zijn, kleiner dan 5 graden misschien wel. Maar, we gaan de helling methode toch proberen.
Wij denken ook dat de kans groot is dat er meetfouten/onnauwkeurigheden zullen optreden in de proef, maar zoals u zegt, kunnen we dat goed gaan bespreken in de foutendiscussie.
Groeten,
 Sophie en Inez 

 Dag Sophie en Inez,

reality check: we tillen een gewone tafel aan één kant een centimeter of tien op, dan krijgt het tafelblad ongeveer zo'n hoek met de horizontaal. Zien jullie kans om daar een knikker op te laten liggen? 
Dus dan zit er denk ik een fout in jullie zoekwerk of rekenwerk, want ik zou het inschatten op  0,1^o (nul-komma-een) of minder.

Groet, Jan