Hier vindt enige gegoochel plaats in de differentiaalrekening.

De dot- of fluxy notatie van Newton is niets anders dan afgeleide nemen naar de tijd.

Zo is  v = Δx/Δt = dx/dt = x'  (in limietgeval Δt nadert naar 0)
Evenzo  a = Δv/Δt = dv/dt = d(dx/dt)/dt = d²x/dt² = (x')' = x"

Je kunt de uitdrukking voor x" of a herschrijven door de uitdrukking met 1 te vermenigvuldigen (1 = h/h = x/x maar ook dx/dx):

a = x" = d(dx/dt)/dt = d/dt . 1 .  dx/dt
    = [d/dt dx/dx] dx/dt== d/dt dx/dx x'
    = [d/dx (dx/dt)] . x' = dx'/dx . x' =  x' d(x')/dx

Als je dit aan de linkerkant invult voor F = m.a = m.x'. d(x')/dx dan kun je alle v- of x'-afhankelijke delen van de vergelijking naar links halen en alle x-afhankelijke delen rechts plaatsen, incl. de 1/dx van links.

Zo ontstaat links een integraal naar x':  mx' d(x') die als primitieve 1/2 m(x')² geeft ofwel 1/2 mv² (+ constante).

En rechts een breuk van de vorm 1/(b + ax) als je teller en noemer door A deelt en de constante pV buiten de breuk haalt (a=1 en b = V/A)

De integraal van deze breuk wordt gegeven door ∫dx/(b+ax) = 1/a ln (ax + b) + constante. Deze laatste zocht ik op in een integralen-lijst maar is ongetwijfeld af te leiden (en te bewijzen door weer te differentieren).

Zo kom je uiteindelijk op de 
1/2 mv² = PV ln (x + V/A) = PV ln (Ax/V + 1) +  fx
waarbij snelheid v nu een functie van x geworden is (op elke positie een andere snelheid).

Beste Theo,

Bedankt voor je reacte, de uitleg heeft me geholpen met het begrijpen van de vergelijking. Mijn excuses voor de late reactie.

Met vriendelijke groet,

Thomas