Gasdruk; afgeleide/primitieve

Thomas stelde deze vraag op 16 december 2013 om 09:23.

Beste lezer,

Voor mijn profielwerkstuk bereken ik onder andere de mondingsnelheid van een luchtdrukkanon. Ik heb een artikel gevonden dat een aannemelijk model maakt voor de snelheid van de bal.

http://www.kiledjian.elac.org/phys%20001/Ballistics%20of%20Air%20Gun.pdf

Ik heb ook een bijlage toegevoegd.

Tot de eerste vergelijking van 3 snap ik de werkwijzen, maar daarna maken ze gebruik van "Newtons dot notation for time derivative" om tot vergelijking 4 te komen.

Bij 4 wordt de kinetische energie van de bal gelijk gesteld aan de arbeid door de resulterende kracht .Vergelijking 3 geeft de res. kracht F voor de lengte x, en W = F? x, dus heeft het iets met de primitieve te maken.

Ik weet hoe ik moet integreren en primitiveren, maar ik zou graag willen weten hoe de auteur tot de rechterhelft van vergelijking 4 komt. Ik hoop dat jullie de werkwijze zoals in het artikel beschreven  zouden kunnen toelichten. Dit zou ik erg waarderen.

Met vriendelijke groet,

Thomas

Reacties

Theo op 16 december 2013 om 11:48

Hier vindt enige gegoochel plaats in de differentiaalrekening.

De dot- of fluxy notatie van Newton is niets anders dan afgeleide nemen naar de tijd.

Zo is  v = Δx/Δt = dx/dt = x'  (in limietgeval Δt nadert naar 0)
Evenzo  a = Δv/Δt = dv/dt = d(dx/dt)/dt = d2x/dt2 = (x')' = x"

Je kunt de uitdrukking voor x" of a herschrijven door de uitdrukking met 1 te vermenigvuldigen (1 = h/h = x/x maar ook dx/dx):

a = x" = d(dx/dt)/dt = d/dt . 1 .  dx/dt
    = [d/dt dx/dx] dx/dt== d/dt dx/dx x'
    = [d/dx (dx/dt)] . x' = dx'/dx . x' =  x' d(x')/dx

Als je dit aan de linkerkant invult voor F = m.a = m.x'. d(x')/dx dan kun je alle v- of x'-afhankelijke delen van de vergelijking naar links halen en alle x-afhankelijke delen rechts plaatsen, incl. de 1/dx van links.

Zo ontstaat links een integraal naar x':  mx' d(x') die als primitieve 1/2 m(x')2 geeft ofwel 1/2 mv2 (+ constante).

En rechts een breuk van de vorm 1/(b + ax) als je teller en noemer door A deelt en de constante pV buiten de breuk haalt (a=1 en b = V/A)

De integraal van deze breuk wordt gegeven door ∫dx/(b+ax) = 1/a ln (ax + b) + constante. Deze laatste zocht ik op in een integralen-lijst maar is ongetwijfeld af te leiden (en te bewijzen door weer te differentieren).

Zo kom je uiteindelijk op de 
1/2 mv2 = PV ln (x + V/A) = PV ln (Ax/V + 1) +  fx
waarbij snelheid v nu een functie van x geworden is (op elke positie een andere snelheid).

Thomas op 19 december 2013 om 12:25

Beste Theo,

Bedankt voor je reacte, de uitleg heeft me geholpen met het begrijpen van de vergelijking. Mijn excuses voor de late reactie.

Met vriendelijke groet,

Thomas

Jan van de Velde op 03 juni 2023 om 13:02
zijweg over E=mc² afgesplitst naar:
https://www.natuurkunde.nl/vraagbaak/89461

Plaats een reactie

+ Bijlage

Bevestig dat je geen robot bent door de volgende vraag te beantwoorden.

Noortje heeft achtentwintig appels. Ze eet er eentje op. Hoeveel appels heeft Noortje nu over?

Antwoord: (vul een getal in)