Opmerkingen:

- Wrijving speelt nergens een rol in het model.

- Het verlengde van de ophangstaven gaat door het middelpunt van de kogels.

- Alle stangen hebben een verwaarloosbare massa.

 

Eric, 5 apr 2011

Ik moet bij de volgende figuur vragen gaan bedenken en zelf proberen op te lossen. (zie bijlage)

Welke vragen kan ik zoal verwachten bij een centrifugaalregelaar?

 

Dag Eric,

ik snap niet wat je bedoelt met "Welke vragen kan ik zoal verwachten..//..? " als je ze zelf moet bedenken zoals je eerder zegt?

Stel nou dat je grootheden aan die regelaar wilt gaan meten, wat zou je dan zoal kunnen meten in een bepaalde toestand? Hoe zou je kunnen onderzoeken of er verbanden bestaan tussen die grootheden, en zo ja, welke verbanden dat dan zijn?

Als je er zo over nadenkt, wat komt er dan aan op te lossen vragen bovendrijven in je hoofd?

Groet, Jan

Ook al wat nuttige achtergrondinformatie over krachtevenwichten bij rotaties vind je hier:

http://www.natuurkunde.nl/vraagbaak/view.do?request.requestId=28013

Groet, Jan

Hallo,

de bedoeling is juist om zelf vragen te bedenken voor deze situatie (figuur) om mezelf voor te bereiden om het tentamen. Want momenteel heb ik alleen deze figuur en de gegevens, en bij de tentamen volgende week krijg ik pas de tentamenvragen. Dus er kunnen evt. nog extra gegevens bij komen...

Vragen die ik zelf kan bedenken voor deze situatie:

- met welke kracht leunen de kogels tegen elkaar? (stilstaand)

- wat moet de versnelling zijn zodat de kogels los komen van elkaar? (roteren)

- wat is de verrichte arbeid om de kogels te laten draaien in cirkelbaan?

- wat is de hoek- of baansnelheid bij een bepaalde toerental?

- nog meer vragen?

 

 

Eric, 5 apr 2011

mezelf voor te bereiden om het tentamen. Want momenteel heb ik alleen deze figuur en de gegevens, )

De tentamenvragen zullen vast anders zijn, maar tenminste zal bekend zijn over welke onderwerpen het tentamen gaat. Uit je tekening te zien omdat dat

• baanrotatie en draaien om eigen as
• energie en beweging
• krachten

Zoek eens uit wat de onderwerpen zijn, kijk in de overeenkomstige hoofdstukken van je boek of van "Samengevat" en probeer te snappen wat daar wordt uitgelegd. Dan volgen de vragen over je tekening bijna vanzelf... als dat dan nog nodig is voor je voorbereiding.

De opdracht "verzin vragen bij" lijkt mij meer een "als je de tentamen-onderwerpen kent, dan kun je ook vast situaties en praktijkvoorbeelden bedenken waarbij die onderwerpen een rol spelen." Uiteindelijk gaat het daar natuurlijk om: het geleerde ook in andere, maar erop lijkende, situaties kunnen toepassen.

Eric, 5 apr 2011

- wat moet de versnelling zijn zodat de kogels los komen van elkaar? (roteren)

 

Zou dat dan niet lukken met een versnelling van bijv 0,0000001 rad/s² (er van uitgaande dat we voldoende tijd hebben?)

Groet, Jan

Denk het wel?

Tuurlijk wel. Als je maar lang genoeg de tijd hebt. Kortom, de vragen die je jezelf stelt kritisch bekijken op validiteit.

Een paar andere vragen die je jezelf stelde hierboven, kom je daarmee verder?

Groet, Jan

Jan van de Velde, 5 apr 2011

Zou dat dan niet lukken met een versnelling van bijv 0,0000001 rad/s² (er van uitgaande dat we voldoende tijd hebben?)

Hier is het wel even opletten: deze versnelling in rad/s²  is een hoekversnelling. Het ronddraaien gaat dus steeds sneller (een rondje duurt steeds korter) en uiteindelijk zullen de kogels loskomen - zoals bij een zweefmolen de stoeltjes steeds schuiner omhoog gaan nadat de molen start.

Dat is dus een andere versnelling dan de (lineaire) centripetale versnelling die zorgt dat ze in een cirkelbaan (gaan/blijven) draaien. Daarbij is veelal de hoekversnelling 0 (elk rondje duurt even lang) maar de centripetale versnelling blijft v²/r en de kracht is merkbaar als spanning langs de verbindingsas (of het touw van de zweefstoel).

Oke dat is duidelijk.

Maar welke krachten werken op het kogeltje als de kogeltjes stilstaan?

en als de kogeltjes ronddraaien?

Kogeltjes staan stil: 

• krachten naar boven/beneden heffen elkaars werking op. Welke krachten werken in die richting?
• krachten naar links/rechts heffen ook elkaars werking op. Welke krachten werken in die richting?

Kogels draaien rond:

• krachten naar boven/beneden zijn er nog steeds
• krachten naar links/rechts geven nu aanleiding tot een cirkelbeweging. Welke herken je daar?

 

Mag ik dit ook beschouwen als een Conische slinger?

Kogeltjes staan stil:

- er werken zwaartekracht en de spankracht op beide massa?

som Fx=0 --> Fs . cos(phi) - Fx =0 ?

som Fy=0 --> Fs.sin(phi)- Fz  wordt Fs . sin(phi) - m.g=0

Fs kan opgelost worden uit Fy=0 als de hoek(bovenaan) bekend is? En nu kan Fs dus ook ingevuld worden in de formule van Fx?

Kogeltjes draaien rond:

- er werken Centripedale kracht op de massa Fc?

Fc=(m . v^2) / r

Als de snelheid bekend is kan Fc berekend worden. Maar de snelheid kan ik dan halen uit v=w . r ?

Maar stel dat de hoeksnelheid onbekend is dan moet ik eerst de hoekversnelling weten? dus alpha?

 

Eric, 12 apr 2011

Mag ik dit ook beschouwen als een Conische slinger?

 

Zolang je kogels zelf een evenwicht kunnen zoeken tussen baandiameter en hoeksnelheid, jawel.

Laten we  verder maar niet te veel gaan "stellen", want dan ontstaat een eindeloze "wat als...." discussie. Welke gegevens heb je, en wat zou je daarmee moeten berekenen?

Groet, Jan

Hallo,

De vragen weet ik nog niet, maar de theorie gaat idd gaan over baanrotatie en draaien om eigen asenergie en bewegingkrachten wat Theo al zei.

Alleen de volgende gegevens zijn bekend:

Lengte ophangstaafjes: L = 0,4 m

Straal van de ronde kogels R = 0,1 m

Massa van elke kogel m = 1,2 kg

 

Vragen zoals krachten (F) bij translatie en rotatie x,y-richting. En Arbeid, snelheden bij rotatie, toerental, traagheidsmomenten? Verzin eens iets leuks?

 

Eric, 12 apr 2011

 Verzin eens iets leuks?

 

op 30 cm van de as is een holle pijp opgehangen. Als de kogels daartegen slaan maakt dat een herrie die de machinist laat toerennen om de machine langzamer te zetten. Hoeveel toeren mag de machine maximaal maken zonder dat de machinist hoeft op te staan?

Eric, 12 apr 2011

Fs kan opgelost worden uit Fy=0 als de hoek(bovenaan) bekend is? En nu kan Fs dus ook ingevuld worden in de formule van Fx?

[...]

Als de snelheid bekend is kan Fc berekend worden. Maar de snelheid kan ik dan halen uit v=w . r ?

Maar stel dat de hoeksnelheid onbekend is dan moet ik eerst de hoekversnelling weten? dus alpha?

Ik ga geheel met Jan's commentaar mee, maar in reactie op je krachten-antwoorden: correct. Als je de hoek φ weet van de bevestigingsarm tov de spil dan kun je de spanning van de arm uitrekenen.

En als het stelsel roteert dan werkt er een centripetale (tale, niet dale! - dat klinkt meer naar voetenwerk) kracht op mv²/r en als je de baansnelheid v kent, ken je ook die kracht. Bij een eenparige beweging duurt elke omwenteling even lang en is de baansnelheid v constant.   De "afgelegde hoek" is dan φ = ω.t radialen en de afgelegde baan-afstand langs de omtrek s = φ.t = ω.r.t (en de baansnelheid dan weer ω.r.t/t = ω.r )

Als de spil steeds sneller gaat draaien (en steeds minder tijd voor een omwenteling nodig heeft) dan is φ niet constant omdat ω toeneemt: deze heeft een hoekversnelling van α = Δω/Δt . Dan is op een moment t de hoeksnelheid ω(t) = α(t).t en als we aannemen dat de hoekversnelling constant is dan is de afgelegde hoek φ(t) = ∫ω(t). dt = ∫α.t dt = 1/2 α t²  (hetgeen erg lijkt op de afgelegde weg bij een lineaire versnelling a: s = 1/2 at²)

Hoe groter ω wordt, hoe groter de baansnelheid, hoe groter de centripetale kracht. Tegelijk zie je ook dat de kogels hoger gaan draaien zoals ook stoeltjes in een zweefmolen die op toeren komt. De effectieve straal r van de baan wordt dus ook groter. Maar met krachtenvergelijking horizontaal en vertikaal kun je alles uitrekenen.

Dan kom je bij de suggestie van Jan: de verbindingsarmen van de kogels gaan onder steeds grotere hoek met de draaias staan. De kogels verwijderen zich van de as en botsen op een gegeven moment tegen een holle buis aan (op enige afstand van de as geplaatst) die daardoor een waarschuwingsgeluid gaat geven bij elke botsing.

Oke, maar de straal is het centraal middelpunt van de massa tot draaias, of mag ik die bollen ook beschouwen als een punt massa?

Eric, 5 apr 2011

Straal van de ronde kogels R = 0,1 m

 

kennelijk mag je die dus niet als puntmassa beschouwen. Dat maakt het er overigens niet eenvoudiger op. Massa van de staafjes mag kennlijk wél verwaarloosd worden, want daarover zijn zo te zien geen gegevens.

Je zou overigens eens kunnen beginnen dit ding door te rekenen met de bollen wél als puntmassa's. Als je dat principe dan eenmaal op een rijtje hebt worden de noodzakelijke aanpassingen voor werkelijke bollen een stuk inzichtelijker.

Groet, Jan

Dus gewoon de wet van Steinaar toepassen?

Eric, 14 apr 2011

Dus gewoon de wet van Steiner toepassen?

 http://nl.wikipedia.org/wiki/Stelling_van_Steiner

Ja; alleen, als je gaat rekenen met dat wilde idee van mij om die bol tegen een holle pijp te laten slaan, houd er dan rekening mee dat die afstand tot de as wel een beetje ingewikkeld berekend moet worden. Zie bijlage voor wat ik bedoel.

Groet, Jan

Oke, maar zou jij de krachten eens erbij willen tekenen? dan begrijp ik het mss iets beter.

Dat zijn er eigenlijk maar twee: de zwaartekracht, en de spankracht in de staaf.

Als de bol op dezelfde hoogte blijft is de nettokracht in verticale zin gelijk aan 0 N. De spankracht in de staaf (want dat is het enige dat hier een verticale kracht kan leveren) moet dus een verticale component hebben die gelijk is aan de zwaartekracht (maar tegengesteld van richting) 

Nu de verticale component van de spankracht bekend is kun je de spankracht bepalen bij elke hoek van de staaf.

De horizontale component van die spankracht geeft dan gelijk de centripetaalkracht.

Oke, dat is duidelijk dus Fc=Fs,x. Maar heeft de andere bol aan de rechterkant ook iets met de berekeningen te maken? Die werken dus tegengesteld aan de linkerbol en heffen elkaar op? Want je praat nu telkens over 1 bol.

Eric, 14 apr 2011

Want je praat nu telkens over 1 bol.

Op die andere (even zware) bol werkt een even grote zwaartekracht, en die heeft, omdat de bollen aan één scharniersysteem zijn bevestigd, ook een even grote snelheid.

Er zal dus een zelfde centripetaalkracht nodig zijn. Fijn dat ze tegenover elkaar zijn gemonteerd, dat betekent voor de centrale as dat beide horizontale krachten elkaar opheffen, en de staaf dus niet zijdelings wordt belast.......

Het is voor je systeem met twee bollen een kwestie van het plaatje uitbreiden met zijn spiegelbeeld om een totaaloverzicht te krijgen.

Ja dat begrijp ik, maar ik bedoelde of ik de getallen dan bij elkaar moet optellen. Dus bijv. de gevraagde Fc van het totale systeem, moet ik dan Fc x 2 nemen?

Fijn dat ze tegenover elkaar zijn gemonteerd, dat betekent voor de centrale as dat beide horizontale krachten elkaar opheffen, en de staaf dus niet zijdelings wordt belast.......

Een ter zijde:

Deze symmetrie-situatie (evenveel massa aan beide kanten van de rotatie-as) voorkomt slijtage aan de draai-as omdat er geen netto belasting op de as is (de ene bol "trekt" net zo hard als de andere). Dat zie je bij auto-banden en trommelwasmachines ook: een niet goede balancering geeft krachten op de as. De auto schudt en de trommel bonkt (uitbalanceren en wasgoed gelijkmatig verspreiden).

Eric, 15 apr 2011

Ja dat begrijp ik, maar ik bedoelde of ik de getallen dan bij elkaar moet optellen. Dus bijv. de gevraagde Fc van het totale systeem, moet ik dan Fc x 2 nemen?

Krachten zijn vectoren. Die moet je vectorieel optellen als je een netto-kracht wilt vinden. Hoe staan de beide F_c's?

Betekent dat dat er "dus" geen kracht is op het systeem? Dat hangt af van hoe groot je een systeem definieert en welke krachten daar dan binnen vallen en welke erbuiten.

Jan van de Velde, 12 apr 2011

op 30 cm van de as is eenholle pijpopgehangen. Als de kogels daartegen slaan maakt dat een herrie die de machinistlaat toerennen om de machine langzamer te zetten. Hoeveel toeren mag de machine maximaal maken zonder dat de machinist hoeft op te staan?

I_staaf= 1/12.M.L² + M.(1/2.L)²

I_bol= 2/5.m.R² + m.(L+R)²

I_totaal= I_staaf+I_bol

Klopt deze berekening? En hoe moet ik nu verder?

Rotatie-traagheden I spelen een belangrijke rol bij het berekenen van energie die bij rotatie wordt verkregen.

Als je Jan's probleem (verbindingsarmen met massa's omhoog zodanig dat ze voldoende uitslaan om de bellen/kokers aan de buitenkant te raken) probeert op te lossen is vooral van belang hoe groot de uitwijking moet zijn, welke centripetaal kracht daarbij van belang is, welke rotatiesnelheid daarbij nodig is.

Om die rotatiesnelheid te krijgen is energie nodig - daar komen de I's weer om de hoek kijken omdat massieve bollen die roteren ook een deel van de energie gebruiken door hun eigen omwenteling (zoals de maan om zijn as draait maar in zo'n tempo dat dezelfde kant altijd naar de aarde is gericht - zoals de massa's door de verbindingsarmen dit ook doen naar de as).

 

Oke Jan, zou je wel alle gegevens willen geven zodat ik het wel kan oplossen? Want met 30cm heb ik niet veel aan...

Dit onderwerp is trouwens (zonder bel) ook al eerder langsgeweest: http://www.natuurkunde.nl/vraagbaak/view.do?request.requestId=26640

Voor jouw probleem:

• hoe groot moet de straal zijn zodanig dat de kogels de bel-buis raken?
• Hoe groot moet dan de vertikale krachtscomponenten van zwaartekracht G en spankracht S zijn? (situatie als "ideaal": puntvormige kogel, arm geen massa  en eventueel meer realistisch: kogel met omvang en massa en arm met massa)
• Ditto voor de horizontale centripetale kracht en spanning?
• Uit bovenstaande is in absolute waarde S te berekenen, en omdat je r van de kogelbaan kent en de massa m van de kogel kent, is  ook de baansnelheid v te berekenen. En daarmee de hoeksnelheid.
• En met al deze gegevens en de vorm van kogel en arm en daaruit volgende traagheidsmomenten I eventueel ook de energie nodig om tot deze draaiing te komen.

Ah, ik denk dat ik het nu snap:

Gegeven: L_staaf=0,4m   R_bol=0,1m   m_bol=1,2kg   φ=40 graden

r= 0,4*cos(40) --> 0,306m

Y-as: 1,2*9,81 = Fs*sin(40) --> Fs = 18,31N

X-as: Fs,x = 18,31*cos(40) --> 14,03N

Fs,y = (18,31² - 14,03²)^1/2 --> 11,76N (Pythagoras)

F_{c =} Fs,x Dan snelheid v= (14,03*0,306/1,2)^1/2 --> 1,89m/s

ω = 1,89 / 0,306 --> 6,18rad/s

K_tot = (1/2*m.v²) + (1/2*I*ω²)

       = (0,5*1,2*1,89²) + [0,5*(2/5*1,2*0,1²+1,2*(0,4+0,1)² *6,18²]

= 2,14+5,82=7,96J

Kloppen deze berekeningen?

  

De berekeningen zijn niet helemaal goed omdat de afstand tussen as en bel door Jan voorgesteld werd op 0,3 m en de straal van de kogel 0,1 meter is. De "r" straal voor de centripetaal kracht is dan de afstand van het kogelzwaartepunt tot de as. En die is 0,3 - 0,1 = 0,2 m.  En van daaruit worden de berekeningen anders.

Maar laten we de bel even opschuiven naar 0,4 m van de as. Dan heb je inderdaad een r = 0,4 - 0,1 = 0,3 m.  Dan kunnen we door naar je antwoorden:

> r= 0,4*cos(40) --> 0,306m
Dit is een beetje vreemd. We kenden juist r (=0,3m) en zoeken de hoek φ die de verbindingsarm moet maken om deze r te realiseren (die jij als bekend aanneemt):
 r = L cos φ    ofwel  0,3 = 0,4 cos φ   ofwel φ = cos^-1 (0,3/0,4)
en daarmee φ = 41,4°  (0,72 radialen)

>Y-as: 1,2*9,81 = Fs*sin(40) --> Fs = 18,31N
>...
>Fs,y = (18,312 - 14,032)1/2 --> 11,76N (Pythagoras)

De Y-component van de spanning is gelijk (maar tegengesteld)  aan het gewicht van de kogel  G = m.g = 1,2 . 9,81 = 11,77 N
Uit je eerste regel bereken je correct de grootte van de gehele spankracht. Uitgaande van 41,4° voor de hoek ipv 40° geeft dit:
F_s = 11,77 / sin (41,4) = 17,80 N

De berekening van F_s,y is overbodig: die weet je al: gewicht van de kogel = 11,77 N

>X-as: F_s,x = 18,31*cos(40) --> 14,03N
>...
>F_c = F_s,x Dan snelheid v= (14,03*0,306/1,2)^1/2 --> 1,89m/s
>ω = 1,89 / 0,306 --> 6,18rad/s

Nu je F_s kent, kun je correct F_s,x uitrekenen zoals je doet:
F_s,x = F_s cos 41,4 = 17,8 .  0,75 = 13,35 N
Je stelt ook correct dat deze F_s,x = F_centripetaal = m . v²/r zodat v² = F_s,x . r /m = 13,35 . 0,3 /1,2 = 1,83²
En omdat v = ω.r geldt ω = v/r = 1,83/0,3 = 6,09 rad/sec

Dus afgezien van ons verschil in de grootte van de hoek/straal is je berekenwijze (en uitkomsten uitgaande van jouw getallen) correct.

> K_tot = (1/2*m.v²) + (1/2*I*ω²)
= (0,5*1,2*1,892) + [0,5*(2/5*1,2*0,12+1,2*(0,4+0,1)² *6,182]
= 2,14+5,82=7,96 J

De totale kinetische energie is inderdaad de som van de lineaire kinetische energie (ronddraaiende kogel) plus de rotatie energie (de om eigen as draaiende kogel maar wel met draaias op afstand r van de draaias door zijn zwaartepunt (Steiner)).
En dat dan twee maal als er 2 kogels tegenover elkaar ronddraaien om de draaias zelf niet te belasten.

Bij de lineaire energie geldt 1/2 mv² en ik denk dat je het kwadraat vergeten bent:

E_kin,lineair = 1/2 m.v² = 0,5 . 1,2 . 1,83 = 1,10  J

In de traagheidsberekening is ook ergens een rekenfout ingeslopen bij je Steiner berekening (d = 0,4 + 0,1? Waarom niet d = 0,3?  + en - verwisseld?)

I_{kogel 0,3 afstand} = I_kogel + m.d² = 2/5 mR² + m. 0,3² = 0,4 . 1,2 . 0,1² + 1,2 . 0,3² = 0,12  kgm²

E_rot = 1/2 Iω² = 0,5 x 0,12 x 6,09² = 2,22 J
E_kin = 1,10 + 2,22 = 3,32 J  voor 1 enkele kogel. Aannemend dat de verbindingsas verwaarloosbare massa (en dus geen lineaire/rotatie-energie heeft)

 

Hallo nu snap ik het veel beter met getallen erbij.

ben idd die kwadraat vergeten. Maar de d= lengte van de staaf + straal bol. Want ik heb hier genomen van de Centraal middelpuntbol tot draaipunt as, dus einde van de staaf bovenaan, dan kom 0,4+0,1m?

 

>Maar de d= lengte van de staaf + straal bol. Want ik heb hier genomen van de Centraal middelpuntbol tot draaipunt as, dus einde van de staaf bovenaan, dan kom 0,4+0,1m?

De stelling van Steiner gaat uit van rotatie-assen die evenwijdig zijn aan elkaar en waarbij d de (loodrechte) afstand tussen beiden is.

De "normale" traagheid van een bol die roteert om een as die door zijn eigen zwaartepunt gaat (zoals de Aarde om zijn eigen as draait) is bekend als I = 2/5 Mr².  Als je deze rotatie=as evenwijdig verschuift naar een andere positie (bij ons de as die op 0,3 m afstand staat) dan moet je bij deze traagheid nog eens M.d² optellen. Die d = 0,3 want dit is de afstand van het zwaartepunt van de bol naar het midden van de draai-as. De afstand gaat hier om een loodrechte afstand tussen twee evenwijdige lijnen. NIET om de lengte L van de verbindings-as. Slechts om het L cos φ  deel ervan.  Kijk even bij http://nl.wikipedia.org/wiki/Stelling_van_Steiner voor een plaatje hierbij.

Zijn je tentamens rotatie al geweest? Zo niet, dan hoop ik dat alles inmiddels op zijn plaats valt over rotatie.

Oke dat is duidelijk. Nog even over de silstaande situatie.

Wat is hier de Normaaklkracht bij beide bollen en hoe staan die gericht? Want bij translatie valt die Fn toch weg?

Eric, 17 apr 2011

Oke dat is duidelijk. Nog even over de silstaande situatie.

Wat is hier de Normaaklkracht bij beide bollen en hoe staan die gericht? Want bij translatie valt die Fn toch weg?

Ik heb nog even dat ander topic bekeken in dezelfde situatie met dat stokje dat leunt tegen de bol. Jan zegt daar:

in een benadering vanuit een bekende hoek
$$F_c = \frac{m \cdot v^2}{R} $$
$$F_z = m \cdot g $$
$$F_s = F_z cos \alpha = m \cdot g \cdot cos \alpha $$
$$F_{s(hor)} = m \cdot g \cdot cos \alpha \cdot sin \alpha$$
Als het stokje loskomt geldt Fc = Fs(hor)
$$F_c = \frac{m \cdot v^2}{R} = m \cdot g \cdot cos \alpha \cdot sin \alpha$$
los op voor v:
$$ v = \sqrt{R \cdot g \cdot cos \alpha \cdot sin \alpha}$$

Dat is toch dezelfde situatie, alleen het stokje is nu de 2^e bol. Waarom zijn de formules anders dan bij de situatie met de 2 bollen? Zoals baansnelheid en Fs,x?

Eric, 17 apr 2011

Oke dat is duidelijk. Nog even over de silstaande situatie.

Wat is hier de Normaaklkracht bij beide bollen en hoe staan die gericht? Want bij translatie valt die Fn toch weg?

Normaalkrachten zijn krachten loodrecht (=normaal) op een interactie-oppervlak - er is dus sprake van contact tussen beide voorwerpen. Zoals een vloer een normaalkracht op je uitoefent zodat je niet door de vloer zakt. (Als die kracht niet kan worden opgebracht doordat moleculen in de vloer elkaar "loslaten" dan zak je door de vloer). Spring je op van de vloer dan is er geen normaalkracht meer op moment dat je voeten de vloer verlaten.

Ik herken geen directe normaalkrachten in deze situatie. Hier zou je de spanningskrachten in de armen (die loodrecht op het oppervlak van de bollen werkt) als normaalkracht kunnen zien in reactie op de "poging" van de kogel zich te verwijderen van de arm als het probeert te vallen onder de zwaartekracht of wegschieten door de rotatie. (Sorry - de kogel "denkt" en "probeert" natuurlijk niets, maar zo'n animistisch beeld wil wel eens helpen). De F_n valt dus niet ineens weg want de arm blijft. In sommige gevallen "verdwijnt" F_n wel omdat er geen contact meer gemaakt wordt met bijv. de grond.

De formules van Jan ga ik niet allemaal weer nalopen. Teken beide situaties eens naast elkaar en kijk welke krachten, hoeken en afhankelijkheden er zijn en of we het steeds over hetzelfde hebben.
Kijk wel goed of met de hoeken en afstanden dezelfde grootheden worden bedoeld. De hoek met name wil ook wel een hoek tussen as en arm zijn ipv tussen arm en straal zoals in onze berekeningen. Als ik me goed herinner valt het stokje dat door kogel en as wordt geklemd naar beneden als de kogel zich van de as verwijderd en de spanning op het stokje tot 0 reduceert.

Dit verhaal snap ik niet helemaal. Maar er werken dus geen Fn-krachten in de situatie met die 2 bollen? Niet bij stilstaand en ook niet bij translatie/rotatie?

Fn krachten zijn hier spanningskrachten, zoals gezegd.

Wat zou je willen dat ze doen? Welke rol vervullen ze?

Ik dacht eerder aan de andere bol, die een Fn-kracht uitoefend tegen de andere bol? Want als die andere bol er niet was..zou de bol gewoon vertikaal hangen en niet onder een hoek zoals op het plaatje?

Dit wordt een beetje een bizarre discussie.

Je hebt zelf uitgerekend welke hoeksnelheid nodig is om een bol te laten draaien. Of ik daar 1 bol, 2 bollen of -tig bollen aan die as bevestig is niet belangrijk: elk ervan zal draaien als de as draait.

Maak maar eens een constructie van 4 stukken touw met ballen eraan en zwaai die maar rond. Alle 4 doen mee, niet eentje. En als er maar 1 is, dan zwaait die ook rond. (Doet me denken aan Thierry la Fronde / Thierry de Slingeraar voor wie in 1967 al televisie keek...)

Een 2e bol met een arm gemonteerd zal hetzelfde doen. Het enige verschil tussen 1 en 2 bollen is de spanningskracht die de verbindingsarm(en) uitoefenen op de draai-as.  Met 1 bol zal die as een grote kracht ondervinden die probeert de as te buigen. Ook bij 2 bollen als die niet tegenover elkaar maar bijv 90 graden uiteen staan gemonteerd. 

De spanningskracht van de arm werkt op de kogel. De horizontale component ervan zorgt dat die kogel in de rondte draait als de arm draait met de as. Er is een netto kracht op de kogel.

Dezelfde spanningskracht aan het andere uiteinde van de arm werkt op de draai-as. Als er 2 bollen zijn tegenover elkaar dan compenseren de horizontale componenten elkaar en is er geen netto kracht op de as die hem tracht te buigen.

Wel is in beide gevallen van 1 of 2 bollen een netto spanningscomponent langs de as naar beneden. Maar die wordt door een normaalkracht van de motor waarin de as gemonteerd is gecompenseerd. Bij 2 bollen een dubbelgrote kracht.

De spanningskracht in de arm is feitelijk de ene helft van een actie/reactie krachtenpaar waarbij ALTIJD de beide krachten op verschillende voorwerpen werken. Daarom zal de kogel draaien (netto kracht door spanningskracht) en de as onbelast zijn (2 compenserende spanningskrachten afkomstig van 2 verschillende actie/reactie paren).

Oke, dus bij alle berekeningen moet ik het getal maal 2 doen?

Nee, alleen daar waar het relevant is: alleen waar 2 bollen een rol spelen in de situatie.

Ik zag dat je vraag "hoe is de situatie als de kogel stil hangt" tot heden over het hoofd is gezien. 

De krachten zijn grotendeels hetzelfde als bij rotatie. Een groot verschil: de horizontale kracht F_s,x duwt de kogel nu tegen de as. Als de as geen even grote tegenkracht opwekt (die nu ook als normaalkracht kan worden betiteld: de kracht werkt loodrecht op het oppervlak van de as) , dan buigt deze as door. Dat gebeurt niet (nemen we aan), dus wordt een F_N opgewekt gelijk maar tegengesteld aan F_s,x zodat er netto in horizontale richting niets gebeurt.
En vertikaal ook niet omdat de F_s,y zoals voorheen ook, het gewicht van de kogel compenseert.

Waarom is F_s,x nu ineens een "gewone" kracht en niet een centripetaal kracht? Omdat de as niet draait en via de arm L geen cirkelbeweging forceert op de kogel.

We hebben steeds gekeken naar een situatie waarin de kogel al draaide. De overgang van stilstand naar draaien introduceert (tijdelijk) nog meer krachten: de as forceert de arm L mee te gaan draaien. Die is stijf en gaat draaien (een arm van touw zou het niet doen: die draait zich waarschijnlijk om de as heen). Die kracht van de as geeft de arm door aan de kogel die daardoor ook wordt geforceerd rond te gaan draaien. As en kogel zijn immers vast en stijf (rigide) met elkaar verbonden. 

De baansnelheid v komt overeen met een centripetale kracht mv²/r . De kogel zal minder tegen de as leunen (en F_N wordt navenant kleiner want hoeft minder tegen te duwen). Op het moment dat de asrotatie een cirkelbaan realiseert met straal r > 0,1  dan komt de kogel los van de as en "vliegt" aan de arm L. De F_N is dan nul.