De kogel hangt dus aan een touw en rust tegen een horizontale steun.

Deze steun is gemonteerd op een holle verticale rotatie-as. Het touw gaat door de holle as en wordt onder de as vastgehouden.

Ik weet dat ik hier de Wet van Steiner moet toepassen maar kan ik dit ook beschouwen als een conische slinger?

 

Dag Hussie,

first things first, die spankracht. 

1) Hoe groot moet de spankracht worden zó dat de verticale component van de spankracht die zwaartekracht kan opheffen?

2) hoe groot is dan de horizontale component van die spankracht?

3) in stilstaande toestand zal eht stokje een normaalkracht naar links leveren om die horiontale component van de spankracht op te heffen. In draaiende toestand lost dat probleem zich op doordat de horizontale component van de spankracht de centripetale kracht gaat leveren, nodig om de kogel in die cirkelbaan te houden. Op de juiste draaisnelheid wordt die juist zó groot dat het stokje niet meer hoeft mee te helpen om de kogel op afstand van de as te houden.

groet, Jan

 

Hallo Jan,

 het freebody diagram kom ik nog wel uit. 



Als de massa bv. 5kg dus 50N is en onder een hoek van 30 graden staat met de vertikaal.

Zelf kwam ik tot deze berekening

Translatie: somFx=0 --> Fx,1 - Fs cos30=0

somFy=0 --> Fy+Fs sin30-Fz=0 dus Fy+Fs sin30=Fz

Klopt dit?

Want ik zit namelik met 2 onbekende in de formule waar ik dus niet uit kom.

Als we eerst uitgaan van de stille, in evenwicht zijnde situatie dan gelden altijd 2 zaken:'

1. Er is geen beweging op/neer/links/rechts/voor/achter, maw geen translatie. Alle krachten in de x, y en z-richting moeten elkaar opheffen

2. Er is geen rotatie om enige as, dus alle krachtmomenten (kracht x loodrechte afstand tot een gekozen as) heffen elkaar op.

Als ik je tekening zie lijkt het erop dat de hoek van 30 graden meer bovenin zit tussen mast en touw en dat tussen horizontaal stokje en touw 60 graden zit. Laat ik die laatste gewoon φ  noemen - kun je elke waarde invullen die van toepassing is.

(1)  Uitgaand van geen translatie: ∑ F_x = 0 en ∑ F_y= 0 (en neem voor krachten evenwijdig aan de positieve X en Y-as de waarde positief, anders negatief):

∑ F_x= 0  :    F_s cos φ  - F_x1 = 0

 ∑ F_y= 0 :     F_s sin φ -  F_z =  F_s sin φ - m.g = 0

In de F_y is alles bekend behalve F_s en die is dus op te lossen. Invullen in F_x levert ook de normaalkracht F_x1.

(2) Er is ook geen rotatie (rondom bijv. de top van de mast) dus de som van de krachtmomenten is dan ook nul:

∑ M_i = 0   :  - F_z . L cos φ +  F_x1 L sin φ = 0

(+ voor kloksgewijze, - voor antikloksgewijze richting). De zwaartekracht wil de bal tegen de klok laten draaien, de normaalkracht de andere kant op  rondom de top van de mast. De lengte van het touw heb ik op L gesteld. Maar deze geen-rotatie eis levert geen nieuwe gegevens op die al niet bij de translatie zijn gevonden.

Als de kogel gaat ronddraaien, dan wordt een centripetale kracht geleverd ( = m . v²/r  als algemene formule) door de horizontale component van de spanning in het touw. Bij opstarten van de rotatie is die kracht nog gering  (v is klein) en moet het stokje nog een (steeds kleiner wordend) deel van de kracht leveren om de afstand tot de mast te bewaren. Bij toenemende snelheid wordt het moment bereikt dat het stokje geen bijdrage meer hoeft te leveren en op dat moment valt/klapt dit stokje los.

De kogel draait nu in cirkelbaan rond aan een touw met lengte L en een baansnelheid v.  Aangezien de rotatie-energie wordt gegeven door  U_rot = ½ I.ω²  hoe zou je nu het traagheidsmoment I hieruit bepalen?

Hussie, 6 nov 2010

Want ik zit namelijk met 2 onbekenden in de formule waar ik dus niet uit kom.

Trek je daar even niks van aan. Noem die zwaartekracht even neit Fz maar m·g. (Als je wiskundig doorrekent naar het vervolg verdwijnt die massa die aan de zwaartekracht onderhevig is namelijk uit de vergelijkingen).

Als dat je probleem is, doorrekenen met die onbekenden, neem nu dan even aan dat die kogel een massa van 1 kg, en dus een gewicht van 9,81 N heeft. (dus Fz = 9,81 N)

Dus, in een stilstaande situatie, hoe groot is dán de kracht waarmee het stokje de kogel van de as vandaan moet houden?

> De kogel draait nu in cirkelbaan rond aan een touw met lengte L en een baansnelheid v. Aangezien de rotatie-energie wordt gegeven door U_rot = ½ I.ω² hoe zou je nu het traagheidsmoment I hieruit bepalen?

Voordat ik je verwar: rotatie-energie slaat op het ronddraaien van de kogel zelf, niet van zijn lineaire (translatie) beweging in de cirkelbaan. Vergelijk dit met de baan van de Maan rond de Aarde. Die draait in 28 dagen rond de aarde (translatie) maar ook nog eens daarbij om zijn eigen as (rotatie) en toevallig (nou ja...) ook in 28 dagen zodat we altijd dezelfde kant zien.

 

Vergeet mijn vorige reactie - de rotatie-energie is niet bekend en daaruit kun je I dan niet berekenen. Het kan ook veel simpeler realiseer ik me, door de definitie van traagheidsmoment te gebruiken. (zie eventueel http://nl.wikipedia.org/wiki/Traagheidsmoment voor meer uitleg)

Ik weet niet of de omvang van de kogel bekend is in je probleem en welk traagheidsmoment je moet berekenen. Dat is namelijk as-afhankelijk.

Waar "massa" een eenduidige grootheid is in translatie energie als U_kin = 0,5 mv² ongeacht de richting van beweging, is het traagheidsmoment I in U_rot = 0,5 Iω² dat niet. Dan is I afhankelijk van de as waaromheen de kogel draait. Bijv eigen as (bv rotatie Aarde om zijn as) of als (punt)massa rondom de mast.

De definitie van traagheidsmoment is I = ∑ m_ir_i² dwz elk massa-deeltje van het voorwerp moet vermenigvuldigd worden met de (loodrechte) afstand tot de draaias.

Als de kogel als puntmassa wordt gezien die rond de mast draait op afstand  r = L cos φ dan is I makkelijk want alle massa zit in 1 punt gedacht en alles zit op dezelfde afstand tot de draaias:   I = m.r²

Ik vermoed dat dit bedoeld wordt. Anders wordt het veel ingewikkelder. Dan moet je de bol in (gebogen) plakken verdelen waarbij een plak een massa m_i heeft en een afstand r_i tot de mast en daardoor een traagheidsmoment I_i . De kogel heeft dan een traagheidsmoment gelijk aan dat van de som van de traagheidsmomenten van de plakken. De bijdragen moeten dan worden opgeteld (integreren: ∫ I(r) dr  - maar dat is geen simpele opgave).

Hallo heren,

het is mij nu duidelijker geworden en het is goed uitgelegd.

Terugkomend op de vraag uitgaande van de volgende gegevens:

- horizontaal stokje en touw 60 graden;

- hoek van 30 graden bovenin tussen mast en touw;

- massa bol 1kg

- straal bol 3cm

- lengte stokje 20cm

 

Translatie -> Fs . sin60 - 1 . 9,81 = 0  Dus Fs=  11,33N

Invullen in Fx = 11,33 . cos60 = 5,7N (normaalkracht)

 

Op het moment dat opstelling draait en stokje niet klapt

Fx - Fc = 0

 

Als het stokje omklapt Fc > Fx

I-as_bol = I_cm +m . D²

I-as_bol = 2/5.M.R² +m . (R_bol + L_stokje)²

I-as_{verticale holle as} = M.R²

I_tot = I_bol + I_{verticale holle as}

Dan is T = I . alpha

Via de manier van energie

U = 1/2 . I . W

m_bol . g . (L_touw + R_{bol) .} cos30 = 1/2 . I . (V_cm / R_bol)

Als de baansnelheid bekend is, kan de I ook hieruit bepaald worden?

Zouden jullie willen kijken of mijn beredenering en de berekeningen klopt?

 

Alvast bedankt!

Loes

 

Dag Hussie,

Ik vind deze vraag zo zoetjes aan zeer verwarrend worden. Is het nu eigenlijk de bedoeling dat je op basis van bekende gegevens (parameters als hoeken, massa's, afstanden, diameters, etc) een en ander berekent, of dat je op basis van niets dan onbekenden, met behulp van basisformules, formules afleidt voor deze specifieke situatie, zodat je ziet dat sommige parameters hier en daar uit de vergelijkingen vallen?

Wat is je opleidingsniveau, en is dat in Vlaanderen of in Nederland?

Groet, Jan 

Dag Jan,

het is de bedoeling dat je met de gegeven situatie zelf vragen bedenkt die van toepassing zijn in de mechanica. En op basis van de vragen zelf probeert op te lossen. Er zijn dus geen parameters bekend.

Opleiding is HBO technische natuurkunde in Nederland.

 

In dat geval zou ik zeggen, stel je hier zinnige vragen?

 Die vraag van de spankracht is een zinnige.

 Een leuke vraag is bij welke rotatiesnelheid het stokje geen normaalkracht meer hoeft te leveren, en dus wegklapt

 Het begrip traagheidsmoment heeft echter niks te maken met een rotatiesnelheid, staat daar los van. En inderdaad, omdat je bol geen puntmassa is laten we daar Steiner op los. Deed je al correct:

 I-_as-bol = 2/5·M·R_bol² +m · (R_bol + L_stokje)²

Dus daaraan hoeven we verder geen woorden vuil te maken

 Zou je een (kracht)moment willen berekenen, dan is het noodzakelijk te weten het moment van wat, en om welk (draai)punt)

 Voor HBO technische natuurkunde kunnen we dan beter overschakelen op formulewerk. Op dat niveau mogen we dan verwachten dat je de spankracht in het touwtje kunt uitdrukken in functies van de diverse onbekenden, en als je zo doorrekent moet opvallen dat de nodige rotatiesnelheid onafhankelijk van de massa van de bol is (anders gezegd, m valt uit de vergelijkingen). Dan was ik wat te simpel bezig door je een massa van je bol te laten veronderstellen.

Kun je omgaan met LaTeX-code? (héél handig in zo'n opleiding!!) Die schrijf je hier op natuurkunde.nl met dubbele dollartekens als open- en sluittags

SS F_c = \frac{m \cdot v^2}{r} SS

 (maar dan dollartekens in paats van S-en, en dat geeft dan:

$$ F_c = \frac{m \cdot v^2}{r} $$

Goed, zeg maar hoe je verder wilt.

Groet, Jan

Dag Jan,

bedankt voor je snelle en heldere uitleg.

Misschien leuk als u juist enkele vragen bedenkt in de gegeven situatie en die ik dan zelf probeer op te lossen via jouw bekende gegevens.

Het moet niet te ingewikkeld worden zoals het integreren of differentieren want dan zijn we meer wiskundig bezig.

In ieder geval gaat het dus om translate enerzijds en rotatie anderzijds.

Alvast bedankt!

Ik was helemaal niet van plan te gaan integreren of zo, dat is zeker niet mijn sterkste punt ;)

Toon dan om te beginnen maar eens aan, zónder in getallen uitgedrukte parameters, dat de nodige rotatiesnelheid voor loskomen van het stokje niet afhangt van de massa van je bol.

Om overbodig lange formules te voorkomen, beschouw je bol eerst even als puntmassa.

Gebruik de nodige basisformules. en dat mag stap voor stap, om uiteindelijk te komen tot een vergelijking als v = ........... . Als de massa van de bol daarin niet meer voorkomt heb je je doel bereikt.

L = lengte touwtje

R = lengte stokje

m = massa puntmassa

v = baansnelheid

Fz = zwaartekracht

Fs = spankracht

Fc = centripetaalkracht.

 Zó wiskundig mag het écht wel worden op jouw niveau. Misschien heb ik een nodige parameter over het hoofd gezien (haasthaast, het is hier op natuurkunde.nl nogal druk vandaag....), dan vraag je maar of je die ook mag gebruiken.

Succes, Jan

 

Klopt dat integralen en differentialen fundamentele apecten zijn binnen de natuurkunde. Dus dat mag zeker geen probleem worden. Wel wil ik benadrukken dat ik pas in het 1e jaars zit.

Maar de v dus...

Fs . sin alpha = mv² / R

Fs . cos alpha = m. g

formule 1 delen door formule 2 --> v= wortel (l . g . sin alpha . tan alpha) waarbij R=L_touw . sin alpha

De omlooptijd wordt dan T = 2pi wortel (l . cos alpha/g)

Kan deze formule kloppen? De massa is nu wel weg.

Als ik wil weten met welke baansnelheid de kogel moet ronddraaien om los te komen van het stokje, hoe pak ik dit dan aan? Want ik kom er niet helemaal uit.

Wel wil ik benadrukken dat ik pas in het 1e jaars zit.

 komt goed

 

formule 1 delen door formule 2 --> v= wortel (l . g . sin alpha . tan alpha) waarbij R=Ltouw . sin alpha

Kan deze formule kloppen? De massa is nu wel weg.

Ik zie niet waarom je formules door elkaar gaat delen. Alpha stond niet in de gegeven parameters, maar niet erg als je die erbij pakt. Zou je nog kunnen vermijden door de verticaal gemeten hoogte van je bal vanaf de top van het stokje uit te drukken in L en R via pythagoras. Dan kun je tan alpha en sin alpha ook gewoon schrijven als functie van L en R

Als ik wil weten met welke baansnelheid de kogel moet ronddraaien om los te komen van het stokje, hoe pak ik dit dan aan? Want ik kom er niet helemaal uit.

 Dat is nou jammer dat je dat niet ziet, want dát heb je nou precies proberen te berekenen hierboven.

Ik zou eerder gezegd hebben: stel de horizontale component van de spankracht gelijk aan de centrifugaalkracht. En bereken dan de v waarvoor dit geldt. Dat is namelijk de baansnelheid waarbij het stokje niet meer hoeft mee te helpen.

in een benadering vanuit een bekende hoek:

$$F_c = \frac{m \cdot v^2}{R} $$

$$F_z = m \cdot g $$

$$F_s = F_z cos \alpha = m \cdot g \cdot cos \alpha $$

$$F_{s(hor)} = m \cdot g \cdot cos \alpha \cdot sin \alpha$$

Als het stokje loskomt geldt Fc = Fs(hor)

$$F_c = \frac{m \cdot v^2}{R} = m \cdot g \cdot cos \alpha \cdot sin \alpha$$

los op voor v:

$$ v = \sqrt{R \cdot g \cdot cos \alpha \cdot sin \alpha}$$

check?

kunnen we daarna eens naar je trillingstijd gaan kijken, want dat gaat ook niet helemaal goed zo te zien

Groet, Jan

groet, Jan

Ok het is mij nu wel duidelijker geworden.

 

Maar klopt deze bewering dus niet van Theo in mijn situatie?

Als de kogel als puntmassa wordt gezien die rond de mast draait op afstand r = L cosφ dan is I makkelijk want alle massa zit in 1 punt gedacht en alles zit op dezelfde afstand tot de draaias: I = m.r2

Loes, 7 nov 2010

Ok het is mij nu wel duidelijker geworden.

 

Maar klopt deze bewering dus niet van Theo in mijn situatie?

Als de kogel als puntmassa wordt gezien die rond de mast draait op afstand r = L cosφ dan is I makkelijk want alle massa zit in 1 punt gedacht en alles zit op dezelfde afstand tot de draaias: I = m.r2

 

in een benadering vanuit een bekende hoek: ?

Welke hoeken bedoelt u hier dan precies?

Is dat de hoek van mast-touwtje (30grad) of van stokje-touwtje (60grad)? Zie bjlage.

 

Welke hoeken bedoelt u hier dan precies?

 Is dat de hoek van mast-touwtje (30grad) of van stokje-touwtje (60grad)? Zie bjlage.

  Slordig van me om dat niet nader te duiden. Gewoonlijk hebben we het in zo'n geval over de uitwijkingshoek, de hoek tussen as en touwtje dus.

 Maar klopt deze bewering dus niet van Theo in mijn situatie?

 Als de kogel als puntmassa wordt gezien die rond de mast draait op afstand r = L cosφ dan is I makkelijk want alle massa zit in 1 punt gedacht en alles zit op dezelfde afstand tot de draaias: I = m.r2

 φ is hier dan inderdaad de hoek onderin, tussen stokje en touwtje

 

 

Ok duidelijk.

En over de omlooptijd, wat is er fout aan die formule?

Druk T eens gewoon uit in functie van v?

T = 2pi wortel(R . cos alpha . l .sin alpha) ?

 

Ik weet niet hoe je hierbij komt, maar stel eens het simpele sommetje dat je straal 1 m is, en je baansnelheid 12,56 m/s. Wat zou dan je trillingstijd zijn?

Als je dat berekend hebt, schrijf dan eens een formuletje met T, v en 2pi r, en vergelijk met je eerdere formule.

>Misschien leuk als u juist enkele vragen bedenkt in de gegeven situatie

Beetje laat misschien door weekend-weg maar tijdens het weekend vielen volgende (variaties op) vragen me in - zonder deze verder uitgerekend te hebben (laat ik diplomatiek "als huiswerk"):

• wat is de spankracht in het touw als de hoek tussen touw en mast  30º, 60º, 90º en 120º is (kogel heeft massa m en touw lengte L)?  Welke van deze situaties zullen wel/niet voorkomen en waarom?
• wat is de (lineaire) baansnelheid in die gevallen? En de centripetale kracht?
• als de kogel 5 kg weegt en het touw maximaal een gewicht van 1000 N kan dragen, onder welke hoek, rotatie-snelheid en baansnelheid zal het touw knappen? Wat gebeurt er met de kogel (neem aan dat er geen luchtwijving is)?
• Er zit een mier van m_mier kg op de kogel met massa m_kogel met straal r_kogel  meter die ronddraait met baansnelheid v m/s in een baan met straal r_baan. Welke kracht ondervindt die als zijn positie: 1) aan de "voorkant" van de kogel is (kant waarheen de kogel beweegt);  2) aan de "achterkant" van de kogel; 3) aan de "zijkant".
  Vergelijk dit met een mens op eenzelfde "voorkant" en de "achterkant" van de Aarde terwijl deze in zijn baan om Zon snelt. Is dit anders en waarom wel/niet?

 

Jan van de Velde, 8 nov 2010

Ik weet niet hoe je hierbij komt, maar stel eens het simpele sommetje dat je straal 1 m is, en je baansnelheid 12,56 m/s. Wat zou dan je trillingstijd zijn?

Als je dat berekend hebt, schrijf dan eens een formuletje met T, v en 2pi r, en vergelijk met je eerdere formule.

Ah, wacht is het dan niet:

v= 2pi r / T ? Trillingstijd is dan

 

 

v= 2pi r / T ? Trillingstijd is dan.....

precies, 2pi r / v

en dat ziet er dus heel anders uit dan T = 2pi wortel (l . cos alpha/g).

Geen idee hoe je die gevonden had op basis van v= wortel (l . g . sin alpha . tan alpha) waarbij R=Ltouw . sin alpha

Komen we natuurlijk ook niet achter als we je stappen niet zien.

Lesje: zo nu en dan eens een simpel sommetje met heldere getalletjes verzinnen om naast je afgeleide formules te leggen kan een vlotte methode zijn voor een eindcontrole. In dit geval zie je gelijk dat het helemaal fout is gegaan ergens onderweg.  

 

haha precies, ik ga eens proberen om die sommen van Theo te maken. :)

Start daarvoor dan aub een nieuwe vraag, deze wordt wat lang en dat scrollt zo vermoeiend.

Groet, Jan

ok geen prob.

heb alleen nog 1 vraag hierover,

de kogel hangt nog wel aan het touwtje tijdens het slingeren, maar heeft de lengte van het touwtje helemaal geen invloed op de baansnelheid c.q trillingstijd? Maw langer of korter maken van de touw.

Want die lengte van het touwtje zit nu niet meer in de formule.

Loes, 8 nov 2010

Want die lengte van het touwtje zit nu niet meer in de formule.

zolang er nog een alpha en een R inzitten wel hoor, want L is en functie van alpha en R.

Groet, Jan

Hoe zou de uitkomst veranderen als je de bal in een verticaal vlak zou roteren in plaats van in een horizontaal?

Felix

Dan zou je een wisselende kracht moeten uitoefenen (ipv een vaste) omdat bij vertikaal ronddraaien  de middelpuntzoekende kracht soms (deels) door de zwaartekracht wordt geleverd (bovenaan) en soms helemaal niet (onderaan).