Muziek en natuurkunde hebben veel meer raakvlakken dan je op het eerste gezicht zou denken. In een serie artikelen op natuurkunde.nl worden deze raakvlakken besproken en zie je hoe musici in de praktijk gebruikmaken van natuurkundige theorieen. De verschillende basisbegrippen die telkens terugkomen bij de muziek worden in drie verschillende uitleg-artikelen besproken. Het gaat daarbij om zwevingen, boventonen en fourieranalyse. In dit artikel vind je een korte toelichting bij het begrip Fourieranalyse.
Zoals wordt uitgelegd in het artikel boventonen, kun je elke trilling opbouwen uit sinusvormige functies. Door allemaal sinusfuncties bij elkaar op te tellen, kun je elk denkbare vorm krijgen. Andersom geldt ook: als je begint met een willekeurige trilling kun je gaan kijken welke sinussen daar allemaal in zitten. Je rekent uit welke sinussen je nodig hebt en voor elke benodigde sinus reken je uit hoe groot de amplitude is van deze sinussen. Een manier om dat te doen is Fourieranalyse.
Producten van sinussen, de basis van fourieranalyse
Stel dat je het oppervlakte van een sinusfunctie bepaalt, je vindt dan als uitkomst nul omdat het oppervlakte aan beide kanten van de x-as aven groot is. De sinus is even vaak positief als negatief. Wanneer we echter de sinus met zichzelf kwadrateren, is de functie overal positief en vind je dus een positieve waarde voor de oppervlakte.
Bij fourieranalyse bepaal je de integraal van het product van de te onderzoeken functie en een bepaalde sinus. Wanneer deze sinus niets te maken heeft met de te onderzoeken functie, is de integraal nul. Je zegt dat de fouriercoefficient voor deze sinus nul is. Vervolgens herhaal je dezelfde bewerking maar nu met een andere sinusfunctie. Deze sinus heeft wel een aantal overeenkomsten met de gegeven functie en de integraal is dus groter dan nul. Je hebt een fouriercoefficient gevonden. Je blijft dit proces herhalen totdat je alle fouriercoefficienten hebt gevonden.
Op zich is dat een tijdrovend proces maar als je eerstejaars wiskunde aan de universiteit beheerst, ga je dit zelf ook doen. Voor middelbare scholieren (en hun docenten) is het fijn om te weten dat de fouriercoefficienten ook gevonden kunnen worden met het programma coach.
Voorbeeld van fourieranalyse in coach
Het is eenvoudig om met de bewerking 'signaalanalyse' in coach de fouriercomponenten te vinden. In onderstaande figuur zie je het geluidssignaal van een trombone. Verder zie je ook de fourieranalyse van dit signaal.
Je ziet duidelijk dat er twee sinussen sterk vertegenwoordigd zijn in het signaal: de frequenties 470 Hz en 940 Hz. Verder zie je nog wat lagere pieken rond de 1400 Hz en de 1900 Hz. Het geluidssignaal van de trombone bestaat dus vooral uit de sinussen van 470 Hz en 940 Hz met daarbij een klein beetje van 1400 Hz en 1900 Hz.
Meer weten?
Je zou als je meer wilt weten eens kunnen kijken op wikipedia.
Wanneer je geen moeite hebt met de Engelse taal, is het boek Fourier Analysis van Murray R Spiegel (uit de serie Schaum's Outline) aan te raden. Dit boek is wel sterk wiskundig, het wordt veel gebruikt door eerstejaars studenten aan de universiteit. Als je even googlet, heb je het zo gevonden.
Een laatste bron die we hier noemen is de online cursus van Godfried-Willem Raes van de universiteit van Gent. Het is wel even wennen aan het taalgebruik, maar ook hier wordt een en ander op degelijke wijze besproken.
