We weten de snelheid blijkbaar. We meten een magnesiumlijn van stilstaande bron op λ=518,4 nm. Dit is de oorspronkelijke, niet de nieuwe, golflengte.

Uit de snelheid v kun je dan Δλ uitrekenen. Vraag b is een beetje overbodig: afhankelijk van hoe je de + en - kiest voor de snelheidsvector, heb je blijkbaar + gebruikt voor "van ons af" en dus is het niet verwonderlijk dat de ster zich van ons af beweegt. Hadden ze de snelheid negatief gegeven, dan had Δλ negatief geweest (kortere golflengte)

Dag Sem,
Je vraagt: 'Waarom staat hieronder in het gele blok dat de golflengte die we invullen in de noemer, de oorspronkelijke golflengte is, [...]?'
Omdat dit in goede benadering juist is in de situatie van deze ster.

Je vraagt ook: 'Waarom [...] wordt er in het eerste het beste voorbeeld [..] de nieuwe golflengte [...] ingevuld?'
Dat weet ik niet. Misschien kan de auteur het uitleggen.

Zoals je veronderstelt, wordt mijns inziens met $518,4\hspace{1mm}\text{nm}$ de op aarde waargenomen golflengte van de bewegende ster bedoeld. (Theo's opvatting: zie onder.)
Dat in de uitwerking van 21.49 uur $518,4\hspace{1mm}\text{nm}$ wordt ingevuld voor $\lambda$, is strikt genomen niet juist. 
Bij vraag a is nog niet duidelijk of de ster naar je toe beweegt of van je af.
We spieken in Binas tabel 32B, waar een positieve radiale snelheid staat voor Aldebaran. (Omdat er geen minteken staat, mag je in Binas aannemen dat de radiale snelheid positief is.) In de astrofysica betekent een positieve radiale snelheid een snelheidscomponent langs de zichtlijn van ons af, zodat de golflengteverschuiving
$\Delta\lambda=\lambda_\text{w}-\lambda_\text{b}$
groter dan nul is.
$\lambda_\text{w}$ is de op aarde waargenomen golflengte van een bron die langs je zichtlijn beweegt met een radiale snelheid $v$.
$\lambda_\text{b}$ is de 'rustgolflengte' die je meet van een bron die ten opzichte van jou in rust is. De golflengte die je meet van een lichtbron die in je laboratorium stilstaat, zo gezegd.

Met $c=299792458\hspace{1mm}\text{m/s}$ vind ik $\Delta\lambda=+0,09381\hspace{1mm}\text{nm}$.

Zoals je ziet, vind je in dit geval met beide berekeningen vrijwel dezelfde waarde voor $\Delta\lambda$. Dat komt doordat...?

Er zijn ook situaties waarin je met de ene of de andere golflengte in de noemer niet dezelfde uitkomst vindt voor $\Delta\lambda$. Bij voorbeeld met de snelle clusters van sterrenstelsels in Binas tabel 32F.
Bij de verre quasars in de tabel geldt trouwens niet $v=(\Delta\lambda/\lambda_0)\cdot c$. Op deze afstanden moet je rekening houden met de uitdijing van de ruimte. Niet alleen bewegen de quasars door de ruimte, ook 'wordt de ruimte zelf uitgerekt' in de tijd waarin het quasarlicht naar je toe komt. Denk aan een liniaal gemaakt van elastiek.

In de praktijk van de astronomie gaat het niet volgens de opgave, met een gegeven radiale snelheid. Het gaat andersom: men wil juist de radiale snelheid te weten komen.
De op aarde gemeten (waargenomen) golflengte $\lambda_\text{w}$ wordt vergeleken met in het aardse laboratorium gemeten 'rustgolflengten' $\lambda_\text{b}$ van allerlei bekende atomen en ionen.
Wat bij elkaar past, geeft de radiale snelheid $v$ van het object via

Zo gaat het in vraag 10 van de opgave 'Deuterium', centraal examen vwo 2023, tijdvak 2
https://nvon.nl/examen/examen-2023-2-vwo-natuurkunde

Theo zegt: '[...] λ=518,4 nm. Dit is de oorspronkelijke, niet de nieuwe, golflengte.'
Deze opvatting past mijns inziens niet bij de opgave, waar staat 'In het spectrum van deze ster is een absorptielijn zichtbaar bij een golflengte van 518,4 nm.'
Wat 'zichtbaar' is 'in het spectrum van een ster', is de op aarde waargenomen (aka 'nieuwe') golflengte $\lambda_\text{w}$.
Groet, Jaap

   Hoi Jaap,

Volgens mijn interpretatie wordt, net als de jouwe, met λ=518,4 nm de waargenomen golflengte (hier op aarde) bedoeld.

Je schrijft de formule wat verder uit:

Met λ_w en v gegeven, houden we dan een vergelijking over met één onbekende (λ_b) die is op te lossen. 

Best omslachtig, maar ik kom uit op λ_b = 518,3 nm, wat zo goed als dezelfde dopplerverschuiving geeft. 

''Zoals je ziet, vind je in dit geval met beide berekeningen vrijwel dezelfde waarde voor . Dat komt doordat...?'' Ik denk, doordat de radiale snelheid van Aldeberan op Astronomische schaal erg klein is, de dopplerverschuiving daardoor ook erg klein is, en het niet meer echt uitmaakt als je de waargenomen golflengte in de noemer invult in plaats van de oorspronkelijke golflengte. 

''Bij de verre quasars [...] in de tijd waarin het quasarlicht naar je toe komt.''

Zonder er te diep op in te gaan: hoe los je dit dan op? Heeft dit iets met de speciale relativiteitstheorie (omdat je het hebt over ''snelle clusters'') of algemene relativiteitstheorie (omdat je zegt ''ook 'wordt de ruimte zelf uitgerekt''') te maken? Of met de Wet van Hubble (omdat je zegt ''Op deze afstanden moet je rekening houden met de uitdijing van de ruimte'')? Ik ben benieuwd!

Dag Sem,
Antwoord a kun je op verschillende goede manieren opschrijven.
Gevraagd wordt $\Delta\lambda$. Daar richt ik me op.
Omdat $\lambda_\text{b}$ niet wordt gevraagd, zeg ik die vaarwel.




Alles in het rechter lid is bekend. Invullen geeft het gevraagde.

Dat de auteur in de uitwerking vrijwel dezelfde waarde vindt, leg je goed uit. Je ziet dat $v$ in de noemer van de breuk klein is vergeleken met $c$. Sommige sterren en sterrenstelsels hebben een hoge radiale snelheid van honderden km/s ten opzichte van de aarde. Maar zelfs dan is de afwijking in $\Delta\lambda$ gering.

Later meer over dopplerverschuiving bij snelle en/of verre sterrenstelsels.
Groet, Jaap

Dag Sem.
Even ter aanvulling: aangezien de snelheid van Aldebaran klein is ten opzichte van de lichtsnelheid is het hier minder rekenwerk om deze benadering te gebruiken:



Daarom maakt de richting hier eigenlijk niet uit voor de grootte van de verschuiving. Voor deze snelheden geldt bij heel goede benadering (beter dan de meetonzekerheid) dat

Dag Sem,
Je vraagt naar de opmerking dat we bij sommige lichtbronnen in het heelal de formule $v=\frac{\Delta\lambda}{\lambda_\text{b}}\cdot c$ voor het dopplereffect niet kunnen gebruiken. Hieronder wat uitleg op verschillende niveaus: van klein naar groot, van sloom naar snel.

a. Uit de natuurkunde van lopende golven (waaronder geluid en elektromagnetische straling) volgt een eerste uitdrukking voor het dopplereffect (Binas 35B2):

$v_\text{w}$ is de snelheid van waarnemer Sem ten opzichte van het medium.
$v_\text{b}$ is de snelheid van de bron ten opzichte van het medium, van je af.
$v$ is de snelheid van de golven ten opzichte van het medium ($v=c$ bij licht).
De door jou waargenomen frequentie $f_\text{w}$ en de door de bron uitgezonden frequentie $f_\text{b}$ kun je met $f=v/\lambda$ vertalen in golflengten.
Herschrijven geeft voor licht $v_\text{b}=(\Delta\lambda/\lambda_\text{b})\cdot c$ (Binas 35E1) mits $v_\text{b}$ veel kleiner is dan $c$.
Laatstgenoemde formule wordt bij voorbeeld toegepast in sommige typen radar, waarmee de politie kan vaststellen of je fatbike te hard gaat.
https://en.wikipedia.org/wiki/Doppler_effect
Astrofysici kunnen hiermee een indruk krijgen van de snelheid waarmee een ster om zijn as draait. De ene zijde van de ster draait naar je toe, de andere van je af. En ze kunnen een indruk krijgen van de baansnelheid waarmee de componenten van een dubbelster om het gemeenschappelijk massamiddelpunt draaien.
Dit niveau: klein (binnen het Melkwegstelsel) en sloom (in de orde van km/h of km/s).
Op dit niveau hebben we Einstein nog nauwelijks nodig.

b. Speciale relativiteit: snel bewegende bronnen
Neem een aantal instabiele atoomkernen die bij verval gammastraling uitzenden met een bekende frequentie $f_\text{b}$. Versnel de atomen tot  $0,1\cdot c$, van je af. Als stilstaande waarnemer meet je een andere frequentie $f_\text{w}$ van de gammastraling. Volgens de speciale relativiteitstheorie (SR) voldoet $v_\text{b}=(\Delta\lambda/\lambda_\text{b})\cdot c$ niet bij zulke snelheden en moeten we de formule van Binas 35E6 gebruiken. De SR-formule geldt ook voor je fatbike, maar is dan nodeloos ingewikkeld.
We hebben de SR-formule nodig boven ongeveer $0,1\cdot c$, afhankelijk van de vereiste nauwkeurigheid.
Hoe zit dat bij sterren, waarover deze draad gaat? Astronomen hebben met het dopplereffect sterren en sterrenstelsels betrapt die met een radiale snelheid tot circa 700 km/s door de ruimte zoeven. Zelfs bij zo'n vaart kun je bij benadering de formule van a gebruiken en hebben we SR niet nodig.
https://en.wikipedia.org/wiki/Relativistic_Doppler_effect

Intermezzo: bij a en b heeft de ruimte de eigenschappen die we in het dagelijks leven gewend zijn. De ruimte zelf dijt niet uit. Het is mogelijk om de hele ruimte van jou tot de bron te beschrijven met een enkel inertiaalstelsel (SR).
De snelheid van een ster door de 'vaste' ruimte heet wel de peculiar velocity $v_\text{pec}$.

c. Algemene relativiteit: gravitatie bij compacte massa's
Raakt een tamelijk zware ster door zijn energiebronnen voor kernfusie heen, dan blaast hij de buitenlagen van zich af er resteert een neutronenster. Bij een lichte ster resteert een witte dwerg. In zulke restanten is de materie zeer compact: veel massa in een klein volume. Het hete oppervlak zendt felle straling uit. Ook als zo'n ding geen radiale snelheid ten opzichte van de aarde heeft, blijkt er 'roodverschuiving' op te treden doordat de zwaartekracht dichtbij veel sterker is dan verder weg (Engels: gravitational redshift). De op aarde waargenomen golflengten zijn langer dan een onzalige waarnemer nabij het sterrestant meet. De SR-formule voor het dopplereffect geldt niet, doordat we de ruimte van de neutronenster tot jou niet met een enkel inertiaalstelsel kunnen beschrijven.
Einstein heeft dit effect met de algemene relativiteitstheorie (Engels: GR) beschreven. Daar komt pittige wiskunde aan te pas. Dicht bij huis hebben we de GR ook nodig voor plaatsbepaling met het global positioning system (gps) in je telefoon.
In de sterrenkunde wordt roodverschuiving door gravitatie onder andere gebruikt voor onderzoek van zeer zware zwarte gaten en sterrenstelsels.
https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_redshift

d. Kosmologie: onderzoek van het heelal op de grootste schaal
Alle sterren die je vanaf de aarde met het blote oog kunt zien, behoren tot het Melkwegstelsel, afgezien van wat vage vlekken zoals het Andromedastelsel. Lange tijd heeft men gedacht 'dat er niet meer bestond'.
Edwin Hubble stelde vast dat sommige vage vlekken in feite sterrenstelsels buiten het Melkwegstelsel waren, en dat sommige met een flinke radiale snelheid naar ons toe of van ons af bewogen. (Boefje: hij gebruikte waarnemingen van Slipher en Humason, maar streek vooral zelf met de eer.)
Hubble kwam tot de recht evenredige relatie $v_\text{rec}=H_0\cdot d$.
$v_\text{rec}$ is de recessional velocity, het 'tempo waarmee de afstand van de bron tot jou toeneemt'. Dit is niet een snelheid in de gebruikelijke zin van het woord. De afstand neemt toe doordat de ruimte zelf uitdijt. De wet van Hubble geldt niet voor $v_\text{pec}$, de snelheid waarmee een bron door de ruimte beweegt.
Uitdijing van de ruimte leidt ertoe dat alle ver verwijderde bronnen van ons af bewegen, niet naar ons toe. Denk aan de ballon waar je met een stift stippen op zet. Blaas je de ballon op, dan neemt de afstand tussen elk paar stippen toe. Hoe verder twee stippen van elkaar zijn ($d$), des te sneller neemt de onderlinge afstand toe ($v_\text{rec}$).
Je kunt op aarde $\Delta\lambda/\lambda$ van zo'n ver sterrenstelsel meten met gekozen spectraallijnen. Kosmologen gebruiken de definitie $z=\Delta\lambda/\lambda$ als maat voor de golflengteverandering. Omdat het bij c en d niet gaat om 'een ding dat door de ruimte zoeft', noemen we dit niet een dopplereffect maar roodverschuiving (cosmological redshift).
Met veronderstellingen over de eigenschappen van het heelal (een kosmologisch model) en GR hebben kosmologen een formule afgeleid waarmee ze $v_\text{rec}$ kunnen berekenen die hoort bij de gemeten $z$. Hiermee heb ik de volgende twee diagrammen gemaakt: voor kleine en grote $z$.






Tenslotte volgt uit de wet van Hubble de afstand $d$ tussen de bron en ons. Daar is het ze vooral om te doen.  De allerverste objecten die tot nu toe zijn waargenomen, hebben ongeveer $z=12$.

Op kosmologische schaal geldt: hoe groter $\Delta\lambda$ en $z$, des te groter $v_\text{rec}$, des te groter $d$ en des te verder 'kijken we terug in de tijd'.
Opmerkelijk: door de uitdijing van heelal is de recessional velocity van verre sterrenstelsels ($z>1,47$) zelfs groter dan de lichtsnelheid. De speciale relativiteitstheorie verbiedt dit niet, maar is te speciaal (te beperkt) om het te beschrijven.

De theorie van de kosmologische roodverschuiving geldt alleen voor een gebied waarin de materie ruwweg homogeen verdeeld is en een gebied dat isotroop is (in alle richtingen hetzelfde). Dit is alleen het geval op een schaal groter dan ongeveer 100 Mpc (mega-parsec, Binas 5).
Tot ongeveer $z=0,3$ komt het recht evenredige verband  $v_\text{b}=(\Delta\lambda/\lambda_\text{b})\cdot c$ tussen golflengteverandering en $v_\text{pec}$ goed overeen met GR. Dat is zelfs beter dan SR gebruiken.
Boven $z=0,3$ kun je de diagrammen en de wet van Hubble gebruiken om de afstand tot een bron te bepalen.

Over de kosmologische schaal is nog veel ongewis. De wetenschap is volop in ontwikkeling.
Groet, Jaap

Hoi Jaap,

Bedankt voor de heldere uitleg van deze theorie. Fijn!