dag Sem,

je denkfout zit hier:
"We hebben hier te maken met PTC's, waarvan de weerstand toeneemt onder invloed van de stijgende temperatuur. De weerstand van zowel L1 als L2 neemt dus toe."

 die 12 V/ 2,4 W en de daarbij behorende weerstand geldt voor de bedrijfstemperatuur (de temperatuur waarbij hij gloeit zoals bedoeld) .
Maar gaan lampje 1 en 2 die bedrijfstemperatuur halen? 

Groet, Jan

Dag Sem,
Het gaat hier om het centraal examen vwo 2026, tijdvak 1.
Je vraagt: 'En die stroomsterkte... die wordt toch juist kleiner?'

Ja, de stroomsterkte in elke lamp wordt kleiner dan onmiddellijk na het moment waarop de spanning wordt ingeschakeld. Maar zo'n vergelijking van de eindtoestand met de begintoestand is niet van belang voor vraag 10.

In het correctievoorschrift wordt de stroomsterkte in L3 vergeleken met de stroomsterkte in L1 (of L2), beide in de stabiele eindtoestand waarin elke lamp zijn constante temperatuur heeft. De stromen door L1 en L2 gaan beide door L3, dus de stroomsterkte in L3 is groter dan in L1 (of L2) op hetzelfde moment. Hieruit volgt dat de temperatuur van L3 hoger is dan die van L1 op hetzelfde moment. Bij een PTC gaat een hogere temperatuur samen met een hogere weerstand. Dus de weerstand van L3 is groter dan die van L1 op hetzelfde moment, zodat over L3 meer dan 12 volt spanning staat. Hoe hoger de spanning over L3, hoe hoger het vermogen van L3.
Zo duidelijk?
Groet, Jaap

Stel, we laten die batterij een flinke tijd aan staan. Zal de spanning over L3 dan uiteindelijk zo goed als 18 V worden?

En als we dan kijken naar de tijd die naar voor nodig is, kunnen we dan concluderen dat de spanning over L3 meer toeneemt dan dat de stroomsterkte door L3 (en dus door de totale schakeling) afneemt over de tijd?

Dag Sem,
Nee, de spanning over L3 zal uiteindelijk niet zo goed als 18 volt worden.
Afhankelijk van de precieze eigenschappen van de lampen, zal $U_3$ wat meer dan 12 volt, maar ruim minder dan 18 volt worden.

Een antwoord op je tweede vraag van 11.22 uur is niet nodig voor vraag 10. Je loopt hiermee het risico dat je de zaak onnodig ingewikkeld maakt en verstrikt raakt in vergelijkingen (zoals stroomsterkte is/wordt groter/kleiner in de loop van de tijd) die niet nodig zijn om vraag 10 te beantwoorden.
Je kunt vraag 10 beantwoorden door alleen te kijken naar de eindsituatie, waarin elke lamp een constante temperatuur heeft bereikt (die bij L3 hoger is dan bij L1 en L2).
Groet, Jaap

Oke, bedankt!

Dag allen,
Vraag 10 van dit centraal examen vwo 2026-1 beantwoord je door te redeneren.
Het kan ook anders, met aanvullende gegevens van de lampen in de vorm van een diagram: een $(I:U)$-karakteristiek van zo'n lamp. Voor dit geval heb ik een oefenopgave gemaakt, te vinden in de bijlage. Je kunt je uitwerking hier plaatsen.
Groet, Jaap

Mijn uitwerkingen van de opgaven uit de bijlage. 

a) 

Aflezen van de stroomsterkte bij U = 12 V geeft I = 0,20 A. 

P = UI = 12 * 0,20 = 2,4 W. 

De aanduiding klopt. 

b)

Naarmate de spanning hoger wordt, zie je dat de (I,U)-grafiek afvlakt: de helling wordt kleiner. Die helling is de geleidbaarheid (I/U). De geleidbaarheid neemt dus af bij hogere spanningen, dus bij hogere temperaturen.

Dat betekent automatisch dat de weerstand (U/I) toeneemt bij hogere temperaturen. De gloeidraad gedraagt zich dus als een PTC. 

c)

R = U / I = 12 / 0,20 = 60 Ω. 

d)

Teken een raaklijn door de oorsprong (wat lastiger nauwkeurig te doen op een beeldscherm). 

G = ΔI / ΔU = 0,15 / 5,2 = 0,0288... S

R = 1 / G = 1 / 0,0288... = 35 Ω. 

e)

U(bron) = U(L1) + U(L3)

2I(L1) = I(L3)

f)

Hier kom ik niet uit; hoe kun je hier achter komen?

g)

Als ik bij f de spanning had geweten, had ik de bijbehorende stroomsterkte afgelezen en die met elkaar vermenigvuldigd.

Dag Sem,
Goed bezig :-)
Je uitwerking van a, c, e is goed. Hieronder wat opmerkingen over de rest.

Vraag b. Je spreekt over de helling van de grafiek. Dat klinkt als de helling van een raaklijn aan de grafiek. Maar de helling van de raaklijn is niet de geleidbaarheid $G$.
De helling van de raaklijn is $\text{d}I/\text{d}U$, wat bij deze grafiek in het algemeen niet gelijk is aan $G=I/U$.
Het omgekeerde van de raaklijn-helling, $\text{d}U/\text{d}I$, wordt wel de differentiële weerstand genoemd en komt van pas in de elektronica.
Je vindt de weerstand $R=U/I$ als het omgekeerde van de helling van de koorde door de oorsprong en een werkpunt $(U;I)$ op de grafiek. Je kunt bij vraag b (en d) opmerken dat de weerstand gelijk is aan het omgekeerde van de koorde-helling. Bij grotere $U$, dus hogere temperatuur, is de koorde minder steil, zodat $R$ toeneemt. Ergo PTC. Zie 'Static and differential resistance' in
https://en.wikipedia.org/wiki/Electrical_resistance_and_conductance#

Vraag d. Ook hier is 1/helling van de koorde van belang. Omdat d gaat over nauwelijks meer dan nul volt, vallen jouw raaklijn en de koorde vrijwel samen en vind je de juiste weerstand. Beloof me dat je het bij zo'n vraag niet meer over de raaklijn zult hebben.

Vraag f kun je met je inzicht van e oplossen via 'probeer en verbeter'.
1. Kies een waarde voor de spanning over L3, $U_\text{3a}$ (gissing).
2. Lees in het diagram $I_\text{3a}$ in L3 af die hoort bij $U_\text{3a}$.
3. Bereken de bijbehorende stroomsterkte $I_\text{1a}=1/2\cdot I_\text{3a}$ in L1.
4. Lees de spanning $U_\text{1a}$ af die hoort bij $I_\text{1a}$.
5. Is $U_\text{3a}+U_\text{1a}=18$? Zo, kies een betere $U_\text{3b}$ en herhaal.
Voorbeeld: gissing $U_\text{3a}=10,4\hspace{1mm}\text{V}$ geeft $I_\text{3a}=0,19\hspace{1mm}\text{A}$ geeft $I_\text{1a}=0,095\hspace{1mm}\text{A}$ geeft $U_\text{1a}=3,7\hspace{1mm}\text{V}$ geeft $U_\text{3a}+U_\text{1a}=10,4+3,7=14,1\hspace{1mm}\text{V}$, niet de gewenste 18 volt.

Welk vermogen vind je zo bij vraag g? Is dat inderdaad groter dan 2,4 watt, zoals we zonder diagram hebben beredeneerd?
Groet, Jaap

Dag Sem,
Met twintig jaar ervaring als natuurkundedocent tot en met het centraal examen vwo ben ik beschikbaar voor gratis bijles, verdieping en examentraining. Als je dat misschien wilt, kun je het hier laten weten.
Groet, Jaap

Over vraag b en d: differentiële weerstand had ik nog nooit van gehoord, maar interessant!

Als je naar voorbeeld 4a kijkt hieronder (Systematische Natuurkunde 4 vwo, hoofdstuk 5), gaat het ook over verandering van de weerstand. 

Wat ze doen: ze nemen twee willekeurige getallenvoorbeelden en vergelijken die met elkaar. Getallenvoorbeelden gebruiken bij een beredeneervraag vind ik best zwak op vwo-niveau. Ik legde dit altijd uit met de raaklijn, maar dat mag dus niet. Fijn dat ik dit nu weet!

En vraag f:

Als ik U = 13,6 V neem, lees ik af I = 0,207 A. 

De spanning over lampje twee zou dan 18,0 - 13,6 = 4,4 V moeten zijn. 

Aflezen bij U = 4,4 V geeft I = 0,11 A. 

0,11 A is niet precies de helft van 0,207 A, maar ik zit in de buurt. 

Ondanks mijn kleine afwijking door onnauwkeurigheid zal de spanning zeker boven de 12,4 V zitten. 

En bedankt voor je laatste bericht over je beschikbaarheid voor hulp. Dat is fijn, mocht dit nodig zijn. 

Dag Sem,
Bij mijn figuur voor vraag d zou ik opmerken dat de getekende koorde nabij 0 V samenvalt met de raaklijn aan de grafiek.


In mijn figuur voor vraag f en g lees ik af dat $U_\text{3}=13,94\hspace{1mm}\text{V}$ en $I_\text{3}=0,207\hspace{1mm}\text{A}$,
zodat $P_\text{3}=2,90>2,4\hspace{1mm}\text{W}$.

Zo nauwkeurig kun je dit op het oog niet doen. De waarden zijn berekend met het wiskundige functievoorschrift van de $(I;U)$-grafiek.
Groet, Jaap

Dag Sem,
Met een koorde vind ik dat de gloeidraad van grafiek a in figuur 5.14 van 22.51 uur een weerstand $R=U/I=14\hspace{1mm}\Omega$ heeft. Dat kan.
Maar vind je het verloop van grafiek a vlakbij 0 V realistisch? Wat zou bij dit verloop de weerstand zijn als er nauwelijks meer dan 0 V over staat?
Groet, Jaap

Als je daar een koorde-helling tekent, loopt die enorm steil. 

Een supergeleidende lamp dus :). 

Het lijkt me dat die lamp, realistisch gezien, een ''basisweerstand'' heeft, en dus niet een weerstand van zo goed als 0 Ω. 

Waarom laat het boek zo'n onrealistische grafiek zien?

Ze hadden dus beter een grafiek kunnen laten zien met een vorm zoals in de alternatieve examenopgave over het elektriciteitspracticum?

Dag Sem,
Met een verticale koorde bij de oorsprong zou de gloeidraad inderdaad een weerstand nul hebben. Vanwege $P=I^2\cdot R$ wordt dan geen energie omgezet, wordt de gloeidraad niet heet en geeft de lamp geen licht?! Heb je de kassabon nog?
Waarom de auteurs zo'n diagram plaatsen, weet ik niet.

Het onderstaande diagram toont een meer realistisch verloop. De stippen stellen mijn metingen voor, met een voltmeter (spanning over de lamp, horizontaal in volt) en ampèremeter (stroomsterkte in de lamp bij de evenwichtstemperatuur, verticaal in ampère). De lamp is een gloeilamp van een schoolpracticum, zoals vroeger gebruikt voor fietsverlichting. Het verloop is bij elk type lamp anders, maar globaal vergelijkbaar bij lampen met een gloeidraad van wolfraam. Dit verloop zie ik ook in een editie van Systematische natuurkunde uit 2002.



Er zijn ook gloeilampen met een koolstofrijke draad. De draad gedraagt zich als een NTC en je kunt wel bedenken hoe de $(I;U)$-grafiek dan er ongeveer uitziet.
https://nl.wikipedia.org/wiki/Kooldraadlamp
Groet, Jaap

Ja, de grafiek van een NTC zal niet afvlakken, maar juist steiler gaan lopen. 

Dat een gloeidraad van wolfraam zich gedraagt als PTC is trouwens best logisch te beredeneren: hogere temperatuur --> positieve ionen trillen harder --> elektronen kunnen daar moeilijker doorheen bewegen. 

Maar hoe kan koolstof dan bij een hogere temperatuur een lagere weerstand krijgen? Of ligt dit erg ingewikkeld? 

Dag Sem,
Wat betreft het NTC-gedrag van de gloeidraad in een kooldraadlamp...
Theorie over de soortelijke weerstand, of omgekeerd in het Engels electric conductivity, is inderdaad ingewikkeld. Je uitleg over wolfraam is in orde op vwo-niveau. Maar alleen al het plots optreden van supergeleiding beneden een materiaalafhankelijke temperatuur duidt erop dat dit zelfs voor betrekkelijk eenvoudige metalen niet het hele verhaal is. Anekdotisch: de geleerde Paul Drude maakte enkele fouten in zijn afleiding bij een vroeg theoretisch model van geleiding. Toevalligerwijs hieven twee fouten elkaar op, zodat hij toch ongeveer goed uitkwam. Verschillende Nobelprijswinnaars hebben getracht een beter model op te stellen voor verschillende stoffen, maar men is nog niet klaar. De benodigde quantumelektrodynamica gaat me boven de pet.

Niet alleen de temperatuur is van belang, ook de gedaante van de stof.
Grafiet is opgebouwd uit lagen koolstofatomen. Binnen een laag geleidt grafiet tamelijk goed, maar van laag naar laag veel minder. Ook diamant bestaat uit vrijwel zuiver koolstof, maar Binas 10A zegt dat grafiet $10^{18}$ maal beter geleidt dan diamant.
Een blok goud geleidt elektrische stroom goed, maar op nanoschaal zijn de eigenschappen heel anders.
Groet, Jaap