Dag Quinten,

Da's een goeie.
Want die elke centimeter variërende spankracht betekent ook een overal andere golfsnelheid en andere golflengte.

Zouden we al een stap verder komen door het te benaderen met een gemiddelde?  Je zou dan in een excelbestand voor elke centimeter van het koord een spankracht en dus een golfsnelheid kunnen berekenen. Wie weet leidt dat tot verrassende inzichten. En nee, ik heb echt geen idee, maar zo zijn er wel meer zaken opgelost die aanvankelijk onoplosbaar leken.

Groet, Jan

Dag Quinten,

Intussen heb ik wat rondgezocht naar je probleem en het beste dat ik tot heden vond was dit:

https://www.scribd.com/document/573324788/1-880006



                    .

Als dit voor een middelbare school is, dan heeft de opdrachtgever zich denkelijk vergist. Dus, wat wil je hier verder mee?

Groet, Jan

In de opgave lijkt de massa van het koord te ontbreken.

Je zou kunnen beginnen een schets te maken, proberen te schatten waar die twee knopen liggen. En misschien is het de bedoeling dat je dit numeriek oplost, met een computerprogramma? 

Dag Quinten,
Je vraagt hoe je de trillingstijd $T$ kunt berekenen als we een staande, transversale golf trachten op te wekken terwijl beide uiteinden van het koord vastgemaakt zijn.
Met trefzekere intuïtie heeft Jan geen idee en ik evenmin. Mijns inziens is een staande golf in de door jou beschreven situatie niet mogelijk. 

Wat wel kan: een staande golf als alleen het hoge uiteinde van het koord is vastgemaakt. Daarover gaat het artikel van Gibbs waarnaar Jan verwijst. (Degene die het artikel heeft geplaatst, spreekt over 'when oscillating vertically'; dat moet zijn horizontally.) Welbewust geeft Gibbs een vereenvoudigde beschrijving (bijlage). Onze zuiderbuur Herreman hekelt de vereenvoudiging en wijst op een meer formele wiskundige beschrijving (bijlage).

Wat ook kan: geef onderaan het koord een kort durende horizontale puls; deze verplaatst zich naar het hoge uiteinde. Dit kan met een of beide uiteinden vastgemaakt. Zie de opgave 'Klimtouw' van het centraal examen vwo 1997, tijdvak 2:
https://nvon.nl/examen/examen-1997-2-vwo-natuurkunde

We kunnen de beweging van het koord beschrijven met een zogenoemde golfvergelijking (Engels: wave equation). Zie bij voorbeeld
https://en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation
De golfvergelijking moet voor elk stuk koord en voor elk tijdstip beschrijven op welke plaats het is en en hoe het beweegt. De vorm van de golfvergelijking is een differentiaalvergelijking. De gezochte oplossing van een differentiaalvergelijking is niet een waarde zoals $x=5\,\text{cm}$, maar een wiskundige functie die de plaats en beweging van elk stuk koord beschrijft.
Zo'n golfvergelijking zien we in vwo 6 bij 'kwantumwereld': de Schödingervergelijking met als oplossing de golffunctie.

In eenvoudige gevallen zoals 'appel valt uit boom' kun je de differentiaalvergelijking wiskundig oplossen en vind je het gezochte functievoorschrift. Of je kunt het proces stapsgewijs benaderen met Excel (zie Jan) of een computerprogramma (zie Pieter) zoals Coach.

De golfvergelijking van het koord is echter een partiële differentiaalvergelijking naar tijd en plaats en ik zie niet hoe je die goed kunt aanpakken met Excel of Coach. Dit lijkt me boven het niveau van wiskunde D in het vwo.

Een staande golf in een verticaal koord wordt behandeld door Verbin (bijlage). Zij of hij beschrijft de beweging van een koord met een vast uiteinde boven en een los uiteinde onder. Draai Figure 1 negentig graden zodat de rechter zijde boven komt. Afgebeeld zijn als het ware de 'grondtoon' en de eerste drie 'boventonen' van de mogelijke staande golf.
Voor Pieter: de massa van het koord hoeft niet bekend te zijn; die 'valt uit de vergelijking weg'.
Wiskundig blijkt in Verbins artikel dat een staande golf in een verticaal koord met twee vaste uiteinden niet mogelijk is: 'That is, there exist no eigenmodes of the hanging chain with both ends fixed' (p3).
Achtergrond: zie https://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function#History
Groet, Jaap

Verbins artikel: 'That is, there exist no eigenmodes of the hanging chain with both ends fixed' (p3).

Dat verbaast me, omdat ik dan niet zie wat er gaat gebeuren wanneer je zo'n koord in beweging zet. Ik zou zeggen dat dat koord dan toch gaat trillen en ook blijft trillen. Ik denk dat het ligt aan de aannames die Verbin maakt, die het dan niet mogelijk maken dat een koord met vaste lengte tussen twee vaste punten überhaupt iets doet ofzo (maar dat is hetzelfde probleempje als met de gewone horizontale snaren). 

Het is vast lastig te modelleren met een spanning die nul is bij het onderste punt wanneer het koord daar recht is. Want ergens moet er toch een terugdrijvende kracht vandaan komen. Om die tegenspraak op te lossen zal er in het model dan toch wel een elasticiteit en/of stijfheid (en massa) nodig zijn.

Verbin had wel de mogelijkheid met een vast punt een stukje boven het vrije uiteinde. 

Dag Pieter,
Verbin wil de situatie met twee vaste uiteinden wiskundig beschrijven.

Daartoe beschrijft hij eerst de situatie met een vast uiteinde boven en een los uiteinde onder. De golfvergelijking blijkt een partiële differentiaalvergelijking te zijn. Als oplossing vindt Verbin een combinatie van Besselfuncties van de nulde orde, eerste en tweede soort, $J_0$ en $Y_0$. Toepassing van randvoorwaarden met een vast en een los uiteinde leidt ertoe dat $Y_0$ niet voldoet: die ontploft bij nul.

Vervolgens constateert Verbin dat er geen oplossing te vinden is met twee vaste uiteinden: met de resterende $J_0$ kun je niet voldoen aan de randvoorwaarden met twee vaste uiteinden. Ik geloof niet dat deze constatering voortvloeit uit ongeldige aannamen van Verbin.

In een poging dit beter te begrijpen, beschijft Verbin tenslotte de situatie met een kraal aan het lage uiteinde. Een 'oneindig zware' kraal zou neerkomen op een vast uiteinde. Maar dit klopt niet met de aanname dat de spankracht zonder kraal hoofdzakelijk wordt veroorzaakt door de zwaartekracht op het eronder hangende koorddeel. De oplossingen met een kraal onderaan of iets daarboven beschrijven de situatie met twee vaste uiteinden niet realistisch, maar helpen wel de toestand te begrijpen.

Wat er gebeurt als je het koord met twee vaste uiteinden in continue harmonische trillng brengt? Ja, alles gaat bewegen, de energie 'wordt doorgegeven'. Maar de staande golf van Quintens vraag kun je zo niet realiseren. Doe eens een proefje en toon hier de film?

Wat er kan gebeuren als we het koord een kort durende verstoring geven (wave packet, puls, golftrein), wordt door Robert Filter beschreven op
https://physics.stackexchange.com/questions/2088/will-a-wave-packet-undergo-dispersion-when-traveling-down-a-hanging-rope
Er treedt dispersie op: de vorm van de verstoring verandert langs het koord. Dat is slecht nieuws voor staande golven.
Groet, Jaap

Jaap: Dispersie betekent alleen maar dat de voortplantingssnelheden van de eigenmodes van elkaar verschillen". Een puls is een som van meerdere eigenmodes. Het is al een standaardeigenschap van bijvoorbeeld de eenvoudige beaded string dat de frekwenties van de eigenmodes van elkaar verschillen, zie bijvoorbeeld https://falstad.com/loadedstring/  

Ik zeg niet dat de aannames van Verbin ongeldig zijn. Voor het losse uiteinde werkt het wel. En wiskundig vindt hij voor het vaste uiteinde geen oplossing. Maar dat betekent niet dat een realistisch koord niet blijft trillen. Als je er energie in kunt stoppen met een puls blijft die energie in het koord.

Ik heb aangegeven dat een realistische behandeling met elasticiteit lastig gaat worden, en ik zal zeker niet proberen dat op te lossen met filmpjes. Quinten kan dat waarschijnlijk sneller dan ik. 

Ik had bedoeld te schrijven: "dat de voortplantingssnelheden van de eigenmodes van elkaar verschillen". Terwijl de snelheid dus niet afhankelijk is van positie zoals bij een hangend koord.