Wat voor rol spelen die katrollen? Ik zie ze niet in je tekening en als ze vast gemonteerd zijn op plafond of plaatje, dan werken ze niet als katrol. Als je het plaatje naar links of rechts kunt bewegen omdat de verbinding een katrol is, dan zal in evenwichtsstand het plaatje, zoals je tekent, in het midden gaan hangen (net als wasgoed aan een haak ook in het midden van de waslijn zal gaan hangen). De katrol "doet" daarna niks en kan even goed een vast bevestigingspunt zijn.

Verandert dat echt de uitkomst van het gewicht welke aan het touw hangt dat ik wil berekenen?
Aan het plafond zitten de touwen vast met bevestigingspunten, alleen het gewicht zelf (zoals ik zei) zit aan het touw met een katrol. Dit had ook gewoon een bevestigingspunt kunnen zijn, maar in mijn voorbeeld zit hij aan een katrol. Dan weten we zeker dat het ene touw niet net wat langer is, etc.

Dag Lucas,
Het massastuk hangt door middel van de enige aanwezige katrol aan twee touwdelen.
Laten we het Massastuk en de katrol samen voorstellen als een enkel punt M met een door jou gevraagde massa $m$. En aannemen dat alles in de opstelling in rust blijft.

In je 'blauwe figuur' zou ik de krachten anders tekenen. Dat is een kwestie van gewoonte, niet van goed of fout.
• Teken de zwaartekracht $F_\text{z}$ die op M werkt als een verticale pijl vanuit M omlaag.
• Nu alles in rust blijft, moet $F_\text{z}$ worden opgeheven door een even grote kracht $F_{1+2}$ op M die tegengesteld gericht is aan $F_\text{z}$. De index '1+2' betekent dat deze kracht moet worden geleverd door de spankracht $F_1$ in touwdeel 1 links en de spankracht $F_2$ in touwdeel 2 rechts van M. Teken $F_{1+2}$ als een pijl vanuit M omhoog.
• Ontbind $F_{1+2}$ langs de touwdelen 1 en 2. Gebruik de parallellogrammethode.
Zo teken je de pijlen van $F_1$ en $F_2$. De pijlpunt van $F_1$ heet punt Q.
• Gegeven: de spankrachten $F_1$ en $F_2$ zijn even groot. Daarom is het parallellogram een meetkundige ruit met vier even lange zijden, dus de beide diagonalen staan dus loodrecht op elkaar in het middelpunt P. Teken de diagonalen.

Nu bekijken we de rechthoekige driehoek links onder in de ruit:
• MP als verticale zijde
• de pijl $\text{MQ}=F_1=30\,\text{N}$ als schuine zijde
• de halve diagonaal PQ als horizontale zijde.

Eerste berekening van $m$
Hoek PMQ is $30^\circ$, dus

Hieruit volgt $F_{1+2}$.
De gevraagde massa $m$ van het massastuk is


Tweede berekening van $m$
Hoek MQP is $60^\circ$, want ...
Op soortgelijke wijze als hierboven kun je $m$ berekenen met de sinus van hoek MQP.

Derde berekening van $m$, zonder goniometrie
Omdat hoek MPQ $90^\circ$ is, is de schuine zijde $F_1$ de middellijn van de cirkel door de punten M, P en Q volgens de 'omgekeerde stelling van Thales'.
https://nl.wikipedia.org/wiki/Stelling_van_Thales_(cirkels)
Omdat hoek PMQ $30^\circ$ is, is de zijde PQ de helft van de schuine zijde MQ. Zonder sinus of cosinus te gebruiken, kunnen we dit bewijzen op de manier van
https://www.youtube.com/watch?v=Xtpv-bz5ppo
Nu weten we $\text{MQ}=F_1=30\,\text{N}$ en $\text{PQ}=15\,\text{N}$.
Met de stelling van Pythagoras volgt $\text{MP}=\tfrac{1}{2}\cdot F_{z}$.
Nu $F_\text{z}$ bekend is, kunnen we $m$ berekenen.

Het woord gewicht heb ik vermeden, omdat 'gewicht' in de schoolse natuurkunde een kracht is, niet een massa (in kg) of een voorwerp.

Eenvoudigheidshalve heb ik verwaarloosd:
• de massa van de katrol en het touw
• de remmende wrijvingskracht op het katrolwiel als het touw het wiel probeert te draaien
• de benodigde kracht om het touw te buigen bij het katrolwiel
Groet, Jaap

Bedankt voor je uitgebreide antwoord.

Ik zoek ook het gewicht, niet per se de massa. Dus als de diagonale component van de kracht 30N is, hoe kom er dan achter wat de verticale component van de kracht is?
Heb ik de denkbeeldige driehoeken goed getekend?
Volgens mij moet het antwoord: 30N x cos(θ) of 30N x sin(θ) zijn. En dan maal 2 omdat de massa gedragen wordt door 2 touwen?
Maar ik zou graag willen weten wanneer je cos of sin gebruikt voor welke hoek.

Als je naar de 'oranje tekening' kijkt, dan zou ik zelf zeggen: 
sin(60) x 30N x 2 = 52N
cos(30) x 30N x 2 = 52N

Ik zou het geen raar antwoord vinden, want als de touwen verticaal hadden gehangen dan had het antwoord 60N geweest, maar het moet iets minder zijn. 52N is dus niet heel gek.

Ik snap alleen niet wanneer je sin of cos gebruikt bij welke hoek. Het is meer dat het antwoord toevallig hetzelfde is en ik het misschien toevallig op de goede manier doe.

Als we de hoek van 30 graden nemen, dan weet ik wel dat de schuine zijde de spankracht is en de zwaartekracht de aanliggende zijde, maar hoe haal ik hieruit of je cos of sin moet gebruiken?

Als we de hoek van 60 graden nemen, dan weet ik wel dat de schuine zijde de spankracht is en de overstaande zijde de zwaartekracht is, maar hoe haal ik hieruit of je cos of sin moet gebruiken?

 voor een van beide kabels (een driehoek)

dus

En gezien de symmetrie is, zoals Jaap al aangaf,

en sin φ = cos (90-φ) (in graden en met 0<=φ<=90, anders cos (1/2 π - φ) )   dus of je nu sin 30 of cos 60 gebruikt is hetzelfde.

Gemakkelijk te onthouden als je  een eenheidscirkel (straal = 1) tekent: