of je nu a=dv/dt doet of a=dv/dt=d²x/dt² + d²y/dt², het resultaat is hetzelfde. (x,y),v en a zijn wel vectoren en niet een scalaire grootheid als |v|

Maar soms doen ze √( (x''(t))² + (y''(t))² ) en dat geeft wel echt wat anders

Dag Yvonne,
Je uitdrukking

is juist voor een beweging van een voorwerp in een tweedimensionaal vlak.
Deze uitdrukking kan onder andere van pas komen bij een kromlijnige beweging, ook als de grootte van de snelheid constant is. Als de richting van de snelheid verandert langs het gebogen pad, is de snelheidsvector niet constant en is er sprake van een versnelling ongelijk nul.
Voorbeeld 1: een eenparige cirkelbeweging. 'Eenparig' wil hier zeggen dat de grootte van de snelheid constant is. Dat de richting van de snelheid verandert, gaat samen met een middelpuntzoekende versnelling ongelijk nul.
Voorbeeld 2: een komeet beweegt langs een elliptische baan om de zon. De grootte en de richting van de snelheid veranderen voortdurend, ergo de versnelling is niet nul.
In beide voorbeelden zou je uitdrukking van pas kunnen komen, afhankelijk van de situatie, gegevens, opgave.

Je schrijft: 'Toch wordt dat [met bovenstaande formule] soms wel gedaan, in een opgave waarbij de snelheid constant is en de versnelling dus nul zou zijn.' Kun je hiervan een voorbeeld geven?

Je schrijft: 'De baanversnelling bereken je NIET met de som der kwadraten van de 2e afgeleiden in de x- en y-richting'. Hoezo niet?

Benieuwd: is je vraag voor een opleiding, studie, school?
Groet, Jaap

Ik vermoed dat je baansnelheid (scalaire waarde van de baanbeweging) verwisselt met de vectorsnelheid langs de baan. Of aanneemt dat snelheid en versnelling in dezelfde richting wijzen.

De snelheid wisselt steeds van richting (in een niet rechte baan) en heeft daarmee een versnelling ook al is de grootte van de snelheid hetzelfde. Die kan loodrecht op de baanbeweging zijn, zoals Jaaps antwoord ook aangeeft. Het Engels maakt hierin onderscheid wat het Nederlands niet doet: the speed remains the same, the velocity changes.

Dank voor jullie reacties!

Ik geef zelf les, niet in natuurkunde maar wiskunde. In 5-vwo bij wiskunde B (methode getal en ruimte) leren ze de baanversnelling te berekenen met de afgeleide van de snelheid. Het hele hoofdstuk gaat het om (parameter voorstellingen van eenparige cirkelbewegingen). 

Achterin het boek staan gemengde opgaven. In één opgave wordt gegeven dat v(t)=10 en a(t)=5, waar ik een a(t) van nul had verwacht ivm de constante snelheid. Maar in de uitwerkingen wordt gerekend met √( (x''(t))² + (y''(t))² ). Zonder uitleg waarom het om een andere situatie gaat. Ik wil graag begrijpen wat het verschil is vergeleken met eerdere cirkelbewegingen, hoe je dat kunt weten - zodat ik het weer aan mijn leerlingen kan uitleggen! Dank

a = v²/r volgens de kinematica van een cirkelbeweging. Vaste baansnelheid (speed) van 10 (km/s zullen we maar denken - wiskundigen zijn grandioos in het niet geven van eenheden) leidt dan tot

5 (km/s²) = 10²/r zodat de cirkelbaan een straal r = 100/5 = 20 (km) moet hebben.

De grootte van a (=5) zal volgen uit √(x" ² + y" ²) zo goed als v (=10) uit √(x' ² + y' ²) zal volgen.

De opgave was: punt P beweegt over een cirkel, volgens deze bewegingsvergelijkingen. Uiteindelijk wordt de straal van de cirkel gevraagd, dus de waarde van a. (helaas ook als symbool de letter a, verwarrend

x(t)= a cos (bt)  en y(t)= a sin (bt)

x'(t)= -ab sin(bt) en y'(t) = ab cos(bt)

De baansnelheid is dan v(t) = √( (-ab sin(bt)² + (ab cos(bt)² ) = √( (ab)² (sin²(bt) + cos²(bt) ) ) = √ ( (ab)² x 1) = ab.

Dan is gegeven dat v(t) = 10. Dus ab = 10. En daar liep ik vast, want tot dan was de baanversnelling a(t) de afgeleide van de baansnelheid. Afgeleide van ab is nul. 

Via √( (x''(t))² + (y''(t))²  (teveel typ-werk) kom je op a(t) = ab². (Dit is wat ik bedoel met "er komt iets anders uit".)

Gegeven a =5 krijg je (ab²) : (ab) = 5:10, dus b= ½ en a=20. De straal van de cirkel is 20.

Maar -sorry- waarom is het hier anders!

>v(t) = 10

Dus de speed is constant. Maar niet de velocity!

>Afgeleide van ab is nul. 

De afgeleide van elke scalar is nul. Je neemt de afgeleide van de speed. Je moet die van de velocity nemen.

Maar maar maar

Waarom was dat dan bij al die eerdere parametrische krommen niet net zo?? 

Dat moet ook altijd zo zijn geweest.  

v = dx/dt + dy/t

a = dv/dt = d²x/dt² + d²y/dt²  en NIET d/dt √( (dx/dt) ² + (dy/dt) ²)  = d/dt |v| ( = 0)

waarbij a_x = d/dt  (-ab sin(bt) )

en a_y = d/dt (ab cos(bt) )

en |a| = √(a_x² + a_y²)

Zo werd het dus niet gedaan. Ik heb mij altijd al afgevraagd waarom het niet zo was, voelt logisch, analoog aan berekenen vd baansnelheid, zo dan ook bij de baanversnelling maar danetv2e afgeleide ipv de 1e. 

Maar nee, het moest de afgeleide van de baansnelheidsformule zelf uit. Ik heb vaak beide manieren berekend. Geloof me, er komt echt iets anders uit, als ook hierboven beschreven. Toen heb ik het maar (tegen mijn principes in) aangenomen en het zo gedaan als werd gezegd. Tot ineens tot mijn grote verrassing het zonder toelichting op de wortel der som der kwadraten manier moest. 😵‍💫

Ik begin nieuwsgierig te worden naar de ongewijzigde opgave tekst en bijbehorende uitwerking. Die is òf fout òf is verkeerd gelezen.

Dag Yvonne,
In het bericht van 15.56 uur leid je af dat de baanversnelling nul is. Dat is correct indien met baanversnelling wordt bedoeld de component van de versnelling in de richting van de beweging, tangentiaal, langs een raaklijn aan de baan. In de bewegingsrichting is de versnelling nul en verandert de snelheid niet. In orde.

Punt P ondergaat wél een versnelling loodrecht ('normaal') op de baansnelheid. We kunnen deze normale component van de versnelling berekenen zonder √( (x''(t))² + (y''(t))².
Je wilt de versnelling afleiden uit de snelheidsfunctie.
De snelheid is op elk moment tangentiaal gericht, langs een raaklijn aan de cirkel.

De vetgedrukte symbolen stellen vectoren (met een richting) voor. De vette e is de eenheidsvector. De index t betekent tangentiaal. De niet-vette $v$ is de grootte van de snelheid.
De versnelling is de afgeleide van de snelheidsvector:

De eerste term van het rechter lid is nul, want je hebt aangetoond dat de versnelling in de bewegingsrichting nul is. In een schets zien we dat

zodat

Dit is een vector loodrecht ('normaal') op de bewegingsrichting, tegen de richting van de plaatsvector in. De normale versnelling is

De grootte van de normale versnelling is

Invullen van gegevens geeft $5=10\cdot b$ zodat $b=1/2$.
Met $v=a\cdot b$ volgt voor de cirkelstraal $a=20$.
Toegepast is hier 'de versnelling is de tijdafgeleide van de snelheidsfunctie'. Van belang is dat de tangentiale eenheidsvector van richting verandert, zodat we ook de tijdafgeleide van die eenheidsvector in rekening moeten brengen. We vinden dan hetzelfde resultaat voor de straal als met √( (x''(t))² + (y''(t))².
Hopelijk helpt dit.

Om 14.03 uur heb ik vergeten de twee termen onder de wortel te kwadrateren.
Groet, Jaap

Hier ben ik weer (mocht even meeeten met vrienden)

Dankjewel voor je uitgebreide reactie . Ik begrijp wel dat er verschillende krachten werken en dat de versnelling die tot dan toe werd bedoeld de tangentiële is. En dat de middelpunt zoekende kracht de normaal is daarvan.

Toch is mij nog altijd niet helder hoe ik, en leerlingen, kunnen weten dat dat hier speelt en eerder niet over wordt gerept. 

Sorry als ik hardleers ben! Ik wil het ècht begrijpen. Ik stuur een fotootje mee van een theorie-pagina! Nogmaals echt dank

>Toch is mij nog altijd niet helder hoe ik, en leerlingen, kunnen weten dat dat hier speelt en eerder niet over wordt gerept. 

Als ze opletten bij natuurkunde (en als ze kunnen differentieren dan kunnen ze ook dit soort natuurkunde aan) zal alles worden uitgelegd (tangentiele snelheid, radiale versnelling) bij het onderwerp "cirkelbeweging". Iets voor vwo/havo 4 of hooguit 5. Leren ze ook over eenheden  die wiskunde altijd zo handig weglaat als alleen maar "goochelen met getallen" wat daar goed kan maar niet als het om iets reeels gaat als bijv. afmetingen of snelheden (m en m/s). "5" kan 5 m/s zijn, 5 km/u, van alles... ook dat kost leerlingen soms moeite te bevatten omdat "5" bij wiskunde toch genoeg was?

De tekst uit "Mechanica en Thermodynamica" van Hugh D Young (Prisma Technica 42, Het Spectrum 1970)

Dag Yvonne,
De opgave met x(t)= a cos (bt)  en y(t)= a sin (bt) heb je om 15.56 uur uitgewerkt op dezelfde manier als op de theorie-pagina van de foto:
de versnellingsvector via de afgeleide van de snelheidsvector (componenten) en
de scalaire baanversnelling via de afgeleide van de scalaire baansnelheid (wortel).
Het inproduct van de snelheidsvector {-ab sin(bt)     ab cos(bt)} en
de versnellingsvector {-ab² cos(bt)   -ab² sin(bt)} is nul, dus de versnellingsvector staat loodrecht op de bewegingsrichting. Dat strookt met je constatering dat de baanversnelling nul is.
Mooi zo, probleem opgelost, toch?

Nu schrijf je 'Toch is mij nog altijd niet helder hoe ik, en leerlingen, kunnen weten dat dat hier speelt en [er] eerder niet over wordt gerept.'
Wat bedoel je? 'kunnen weten dat wát hier speelt?' Waarover werd niet eerder gerept?
Wat is voor jou nog niet duidelijk?
Groet, Jaap

Oja, dat was niet duidelijk van mij. Ik doel op die latere opgave, waarbij dus bij constante snelheid de versnelling niet nul is, als je die berekent met √( (x''(t))² + (y''(t)²). Over die manier wordt niet gerept.  Ik zal die opgave met de uitwerkingen erbij meesturen. Het gaat om opgave 36c. Hopelijk is het leesbaar!

36 c is wat ik (vanuit kinematica) uitreken:  a = v²/r ofwel r = v²/a  (alles in dezelfde eenheden!)

Een constante scalaire (speed) snelheid betekent niet geen versnelling. De vector snelheid (velocity) verandert van richting (niet van grootte) en dus is er een versnelling. Loodrecht op de vector snelheid.

(zie tekstboekbijlage op 21:22 u)

Snelheid (scalair) = v volgt uit opgave a, v = ab  en deze is blijkbaar 10 (eenheden)

Versnelling (scalair) = a_versnelling volgt uit opgave c,  a_versnelling = ab² en deze is blijkbaar 5 (eenheden)

Als je beide op elkaar deelt (zodat je alleen iets in a en b overhoudt):

ab/ab² = 10/5 = 2 = 1/b dus b = 1/2   Met ab=1/2 a = 10 volgt dan a = 20  (en dat is de straal, zeer ongelukkige keuze van variabele naam voor natuurkundigen maar het mag wel. Anything to confuse the Russians).