Temperatuur is inderdaad een maat voor de snelheid van deeltjes (en daarmee de kinetische energie).
Een gas van 2 moleculen per m³ kan 5000 K temperatuur hebben (hoog in de atmosfeer) maar geen raket die dat ervaart. De totale kinetische energie is bijna niks.
Daarentegen 10²⁵ moleculen op aardniveau met 5000 K doet vrijwel alles smelten door energie-overdracht.

Temperatuur is een macroscopische eigenschap die we aan een gas (of algemeen: stof) toekennen. Kinetische energie van een deeltje is een microscopische eigenschap. Statistische mechanica koppelt de microscopische (gemiddelde) snelheid van (heel veel) deeltjes met de macroscopische (stof)temperatuur.

Per (monoatomaire) molecuul is de gemiddelde energie E_kin = 3/2 k_B T  (1/2 kT voor elk van de drie vrijheidsgraden van beweging: x,y en z-richting).
Bij snelheden v<<c is E_kin = 1/2 mv² - bij relativistische snelheden is dat niet meer het geval. Dan is E_kin = E_totaal - E₀   met E₀ = m₀c² , ook wel "rustmassa-energie" genoemd.
E_totaal = mc² (met m wordt dan de op zich niks zeggende relativistische massa bedoeld) = γ m₀c² waarbij 

Je berekening E_kin = 1/2 m_proton (0,545c)² = 2,23 . 10^-11 J is dus incorrect bij v ≈ 1/2 c

Dag Floyd,

1) probeer niet de temperatuur van één deeltje uit te rekenen: dat past niet in de definitie van temperatuur. 

2) zou ik een vat hebben gevuld met deeltjes met een gemiddelde snelheid van 0,5 c dan zou ik daar inderdaad heel ver vandaan blijven. Dat klinkt als een tokamak fusiereactor, met inderdaad ongelofelijk hoge temperaturen. 

3) 0,5 c is ook een reden om maar eens relativistisch te gaan beginnen rekenen. 

Klinkt wat hierboven staat  een beetje bekend? 

Groet, Jan

Dag Floyd,
a. Bij de genoemde snelheid is de kinetische energie van het proton

met $\gamma$ is de Lorentzfactor uit de speciale relativiteitstheorie


b. Bij deze hoge snelheid geldt niet

maar relativistisch

Hiermee kun je de temperatuur van een plasma met vele snelle protonen berekenen.
Meer informatie kun je bij 'Extreme relativistic ideal gases' vinden op
https://en.wikipedia.org/wiki/Equipartition_theorem

Groet, Jaap

hallo, iedereen
heel erg bedankt voor het helpen.
ik heb nog wel één vraag.
hoe kunnen sterren fusie aangaan zonder dat ze hoog genoege temperatuur hebben?
hoe kan de druk van de ster bijdragen aan het verschil in temperatuur die nodig is (als druk een rol speelt)?

groeten, Floyd

>hoe kunnen sterren fusie aangaan zonder dat ze hoog genoege temperatuur hebben?

Meestal kunnen ze dat niet. Maar essentieel is dat (H-)kernen kunnen fuseren. Dat doen ze door quantummechanisch te kunnen "tunnelen". Dat betekent dat ze dichter bij elkaar kunnen komen dan klassiek zou kunnen (de elektrische afstoting wordt oneindig als de onderlinge afstand richting 0 gaat). Die tunnelkans neemt toe bij hogere energie van de kernen. Dat wordt bereikt bij hogere temperaturen. Maar als bij lagere temperatuur ook tunneling kan optreden dan is fusie mogelijk.

>hoe kan de druk van de ster bijdragen aan het verschil in temperatuur die nodig is
Het is niet een verschil in temperatuur, maar de temperatuur (de energie per deeltje - moet hoog genoeg zijn om tunneling mogelijk te maken). Een ster is als een gasbol. Als je een gas samendrukt (zelfs indien kompleet geioniseerd)  dan geldt met de ideale gaswet pV = nRT of p/T = nR/V. Als de ster krimpt onder zwaartekracht neemt V af en p/T  toe (>1). Dat kan als de druk p toeneemt of T afneemt (is niet het geval) of ook T toeneemt maar minder snel dan de druk zodat p/T > 1.

Dag Floyd,
Je vraagt: 'hoe kunnen sterren fusie aangaan zonder dat ze hoog genoege temperatuur hebben?'
De eerste fusiereacties die optreden in een ster-in-wording zijn fusies van deuteriumkernen ²H, aka 'zware waterstof', die bestaan uit een proton en een neutron. Deuterium is, evenals 'gewone waterstof' ¹H reeds van nature aanwezig in het gas waaruit zich een ster-in-wording vormt. Deuterium fuseert bij de dan geldende omstandigheden gemakkelijker dan ¹H.
Terwijl er deuterium fuseert, verzamelt de ster-in-wording steeds meer gas uit de omgeving. Door de toenemende eigen gravitatiekracht trekt de gasbol zich samen en treedt de door Theo beschreven toename van druk en temperatuur op. De deuteriumfusie neemt sterk af en fusie van ¹H (kale protonen) komt op gang.
Zowel de fusie van ²H als die van ¹H mislukt bijna altijd: kernen die elkaar naderen, komen door de elektrische afstoting niet dicht genoeg bij elkaar om te kunnen fuseren. Dat er heeeel soms toch fusie plaatsvindt, komt door het tunneleffect dat Theo noemde. Alsof de kernen op Tinder pas een match hebben na een miljard pogingen.
Bij de fusie van ¹H helpt de stijging van de temperatuur: hogere T is hogere E_k is hogere tunnelkans.

Je vraagt: 'hoe kan de druk van de ster bijdragen aan het verschil in temperatuur die nodig is (als druk een rol speelt)?'
Ja, de druk speelt een rol: bij de stijgende druk neemt de dichtheid van het gas toe, ondanks de eveneens stijgende temperatuur. Een hogere dichtheid betekent dat de protonen dichter op elkaar zitten en 'niet zo ver hoeven te lopen' tot ze de volgende kern tegenkomen. Bovendien hebben ze bij de gestegen temperatuur een hogere snelheid. Samen: de kans op tunneling neemt toe en ze hebben eerder een Tinder-match.
Groet, Jaap

Dag Theo,
Je schrijft:
'Als de ster krimpt onder zwaartekracht neemt V af en p/T toe (>1). Dat kan als de druk p toeneemt of T afneemt (is niet het geval) of ook T toeneemt maar minder snel dan de druk zodat p/T > 1.'
Bedoel je wat hier in rood staat?
Ook in een 'protonengas' bij aardse p=10⁵ Pa en T=273 K is p/T > 1.
Of bedoel je dat p/T tijdens de contractie op weg naar het hoofdreeksstadium toeneemt?
Groet, Jaap

>Bedoel je wat hier in rood staat
Ja. als p/T = constante/V dan is als V kleiner wordt 1/V groter en dus ook p/T groter. Dat kan zolang teller>noemer blijft. Beide kunnen toenemen, alleen moet p sneller toenemen dan T om als breuk >1 te blijven.
Dat zal op weg naar de hoofdreeks zo zijn. Eenmaal daar aangekomen ontstaat een (hydrostatisch) evenwicht waarbij V niet meer verandert en daarmee p/T ook niet meer.

Dag Theo,
Floyds vraag is 'hoe kan de druk van de ster bijdragen aan [het verschil in] temperatuur die nodig is'.
Voor deze vraag is niet relevant dat p/T > 1.
p/T is en blijft wel groter dan 1, maar dat is geen antwoord op de vraag hoe de toenemende druk bijdraagt aan de omstandigheden die nodig zijn voor fusie.
Aan p/T > 1 is ook voldaan bij bij aardse p=10⁵ Pa en T=273 K.
Groet, Jaap

>Voor deze vraag is niet relevant dat p/T > 1
Dat zeg ik ook nergens. Als druk toeneemt en temperatuur neemt doe dan is de kans op fusie groter.
Wat de aarde als p/T heeft doet hier niet ter zake. Je hebt een hoge temperatuur nodig, als een ster contraheert dan ontstaat die (en neemt de druk ook toe). Of niet - bij een mislukte ster.