Dag Sven,
Vraag 1
Laat een voorwerp bewegen van een punt A naar een punt B, onder invloed van een 'nette' kracht F die alleen van de plaats x afhangt.
Onderweg verricht de kracht F een hoeveelheid arbeid W. Voor het verrichten van arbeid is energie nodig. Deze energie noemen we 'potentiële energie'. Het verschil in potentiële energie is even groot als de verrichte arbeid. Let wel: de arbeid is niet hetzelfde als de verandering van de potentiële energie, maar het een is evenveel joule als het ander.

In formulevorm: een definitie van de potentiële energie die samenhangt met een 'nette' kracht F op een voorwerp, is

Voorbeeld: als de potentiële energie van het voorwerp op plaats A gelijk is aan 8 J en op plaats B gelijk aan 3 J, verricht de kracht F een arbeid W=8–3=5 J op het ding.
De positieve arbeid gaat gepaad met een afname van de potentiële energie.

We kunnen potentiële energie alleen definiëren voor nette, zogeheten conservatieve krachten. Een van de eisen is dat de kracht alleen afhangt van de plaats. We kunnen geen potentiële energie definiëren in samenhang met de luchtweerstandskracht, die immers afhangt van de snelheid.

Let op de volgorde: bij 'de verandering Δ van iets' gaat het doorgaans om 'nieuwe waarde min oude waarde', maar bij U is het andersom. Ofte wel:

Als je in de eerste vergelijking 'kort door de bocht' de afgeleide naar de plaats neemt,
• krijg je links $-\frac{\text{d}U}{\text{d}x}$
• en 'verdwijnt rechts de integraal door het differentiëren'
zodat de kracht gelijk is aan minus de afgeleide van de potentiële energie.
Plus en min in woorden: we beschouwen een kracht als positief als de kracht werkt in de richting waarin de potentiële energie afneemt.
Deftig gezegd: de kracht is minus de 'gradiënt van de potentiële energie'.

Vraag 2
Je staat op de plaats x=+5 m, gemeten met een gekozen coördinatenstelsel.
Dan wordt je positie aangeduid met de plaatsvector $\vec{x}$ die wijst vanaf de oorsprong naar jou. De grootte van de vector is x=+5 m. Een vector die wijst 'van de oorsprong af' rekenen we positief. Gezien vanuit jou ligt de oorsprong bij –5 m.
Evenzo: als een kracht $\vec{F}$ tegen jou duwt van de oorsprong af, noemen we de grootte van de kracht positief. Trekt de kracht jou naar de oorsprong toe, dan heet de grootte van de kracht negatief.
Hopelijk helpt dit.
Groet, Jaap