botsing
Udo stelde deze vraag op 25 november 2023 om 00:11.Beste,
deze opdracht lukt me niet
In de vrije ruimte, ver van hemellichamen, zijn twee identieke bollen P en Q. Elke bol is massief staal met een straal r=45cm en weegt 3000kg.
De bollen bewegen naar elkaar toe en er vindt een volkomen elastische, centrale botsing plaats. Op tijd t=0 komen de bollen tegen elkaar met een relatieve beginsnelheid van v=25m/s.
Tijdens de botsing worden de bollen vervormd en ontstaat een indrukking u van de twee bollen samen, in de zin dat u het verschil is tussen 2r en de actuele afstand tussen de middelpunten van de bollen.
Als gevolg van vervorming oefent de ene bol een veerkracht F=C*wortel(u^3) op de andere bol uit. Voor deze bollen C=7*10^10 N/(m^(3/2))
a. Bereken de grootte van de maximale indrukking umax die tijdens de botsing bereikt wordt.
Kan u mij helpen hoe dit aan te pakken? De botsende beweging is niet eenparig vertraagd wegens fres niet constant en s=1/2a*t^2 geldt niet.
Enorm bedankt!!
Udo
Reacties
- beschouw alles relatief t.o.v. een van de bollen. Die staat dan stil, de ander beweegt met 25 m/s
- Botsing is elastisch, dus behoud van energie en van impuls gedurende de gehele tijd.
- Energie verdeelt zich over kinetische energie en (tijdens botsing) veer-energie
- de bollen zijn identiek qua vorm en samenstelling. De totale indrukking is u, dus elke bol 1/2u
- de maximale veer-energie voor elk zal 1/2 C(1/2 u)2 zijn, de wederzijdse veerkracht F = C √(1/2 u)3
- de maximale totale energie is de kinetische energie van de bewegende bol voor botsing, E = 1/2 m1 252
- de energie is bij maximale indeuking verdeeld over bewegings- en veerenergie als 1/2((2m)vdeuk2 + 2 (1/2 C (1/2u)2 )
- de vdeuk volgt uit m1 v1 + 0 = (m1+m2)vdeuk zolang beide bollen een geheel vormen.
Uit de laatste twee vergelijkingen laat zich eerst vdeuk en daarna u bepalen lijkt me zo.
Door gebruik van impuls en energiebeschouwingen hoef je geen bewegingsvergelijking op te lossen - die inderdaad niet eenparig versneld/vertraagd zal zijn omdat F = f(u) is.

Bij zo'n botsing is het dikwijls nuttig om de bewegingen te beschouwen ten opzichte van het gezamenlijke massamiddelpunt M van de bollen (Engels: centre of mass, COM). Aangezien op de bollen alleen de onderlinge veerkracht werkt, verandert de bewegingstoestand van M niet en mogen we aannemen dat M in rust is en blijft.
Kiezen we een coördinatenstelsel met M in de oorsprong, dan is de totale impuls van de bollen ten opzichte van M voor en na de botsing nul. Dit vereenvoudigt de berekening. Omdat de bollen P en Q identiek zijn, is de snelheid van P tot aan het moment van maximale indrukking voortdurend even groot als die van Q en tegengesteld gericht.
Bij een volledig elastische botsing is de som van de kinetische energie Ek en de veerenergie Ev van de twee bollen samen op elk moment even groot. (Bij een inelastische botsing ontstaat bovendien warmte, ten koste van Ek en/of Ev.)
Voordat de bollen op t=0 s in contact komen, is er alleen kinetische energie.
Bol P heeft Ek,P=½·m·v² met m=3000 kg en v=12,5 m/s ten opzichte van M.
De kinetische energie van beide bollen samen is Ek=3000·12,5²=468750 J
Op het moment van maximale indrukking is er alleen veerenergie.
De veerenergie van beide bollen samen is op dit moment
Gelijkstellen van de aanvankelijke kinetische energie en de veerenergie bij maximale indrukking levert de maximale indrukking van beide bollen samen, umax=12,289 mm.
Theo noteert: 'de maximale veer-energie voor elk zal 1/2 C(1/2 u)2 zijn' ofte wel
Ev=½×7×1010·(½·umax)²=1⁄8×7×1010·umax². Dit is onjuist.
Als zou gelden Fv=7×1010·u, dan zou de maximale veerenergie van een bol zijn Ev=½·(½×7×1010·umax²)=1⁄4×7×1010·umax²
Bovendien geldt in deze opdracht niet Fv=7×1010·u maar Fv=7×1010·u3/2.
In Theo's figuur staat onjuist
Bij een totale indrukking u van de twee bollen samen is de veerkracht van de ene bol op de andere gegeven als
Groet, Jaap
Inderdaad is u de totale indrukking van de twee bollen samen.
Dus umax is de maximale waarde van de totale indrukking van de twee bollen samen, niet 'per bol'.
Groet, Jaap
Naar mijn mening hebben zowel Theo als Jaap gelijk en ongelijk. Theo rekent met een veer energie die afkomstig is van een lineaire veer waarin Fv = C u, en dus de energie Ev = Intg( Fv du) = Intg(C u du) = 1/2 C u^2. Jaap gebruikt daarvoor de gegeven Fv = C u^(3/2) en dus Ev = Intg(C u^(3/2) du) = 2/5 C u^(5/2). Echter, Jaap integreert van u=[0,umax]. En dat klopt niet. Het hele systeem is symmetrisch rond COM, maar door [0,umax] te kiezen verschuif je het systeem over 1/2 umax wat de symmetrie verstoort. De indeuking is -1/2 umax en +1/2 umax rond COM. Dus je moet de integraal nemen over u=[-umax/2,+umax/2]. Maar pas op: de richting van de kracht en de integratie weg moet gelijk zijn. Je moet dus, als je het netjes wilt doen, de integraal opsplitsen:
Ev = Intg[-C (-u)^(3/2) du,[0,-umax/2]) + Intg(C u^(3/2) du, [0,umax/2]) = C u^(5/2) / (5* 2^(1/2))
En als je de getalwaarden dan invult na gelijkstelling van Ev met Ekinetisch, dan vind je 18.626 mm.
Groet
Maarten
Beste Maarten,
Mijns inziens is umax=12.289mm en de berekening in orde in post 22:07
umax=18.626mm lijkt me niet in orde.
Je splitst de integraal in 2 delen. Voor elke bol apart een integraal om de potentiële elastische energie te berekenen. Dat kan, als alternatief voor post 22:07.
De maximale vervorming van 2 bollen samen is in totaal umax aangezien Udo dat zo definieert. Gevraagd umax
Voor een enkele bol gaat de vervorming van ubol=0 tot ubol=umax/2. Bij elke waarde van ubol (enkele bol) is de totale vervorming van 2 bollen samen 2*ubol. Dit is wat de veerkracht op elkebol bepaalt. Dus als 1 bol een vervorming ubol heeft is Fv=-C*(2*ubol)^(3/2)
Potentiële veer energie van enkele bol is bij max vervorming
Ev,bol,max = integraal C*(2*ubol)^(3/2) du van u=0 tot u=umax/2
Ev,bol,max = 2^(3/2)*C*(2/5)*(umax/2)^(5/2)
Ev,bol,max = 2^(3/2)*C*(2/5)*2^(-5/2)*umax^(5/2)
Ev,bol,max = (7*10^10)/5*umax^(5/2)
In massa middelpunt stelsel COM is bewegings energie van 1 enkele bol aan begin
Ek,bol,0 = 1/2*mbol*(vbol,com,0)^2 = 1/2*3000*12.5^2 = 234375J
gelijk stellen geeft maximale totale vervorming umax van 2 bollen samen
umax = { 5*234375 / (7*10^10) }^(2/5) = 0.012289m
net als in post 22:07. blijkbaar geen probleem met "verstoren van symmetrie door verschuiven van systeem over umax/2".
Akkoord?
Met vriendelijke groet, Ibtihal
Beste Ibtihal,
Ik denk dat je gelijk hebt met de door jou genoemde indeuking.
Ik probeerde de wet van behoud van energie toe te passen door te stellen dat Ekin = Eveer,links + Eveer,rechts. En die Eveer kun je dan afzonderlijk uitrekenen. Ik zag niet in waarom de veerfracht voor de volledige indeuking gold, en niet voor iedere indeuking afzonderlijk.
Om hier achter te komen heb ik een bol laten botsen tegen een muur die oneindig hard is en dus niet indeukt. En wat ik vond is dat ik dezelfde indeuking (voor 1 bol) kreeg als die wanneer ik de twee bollen laat botsen. En dat leek mij niet kloppen: de ene bol vangt ahw de klap op van de andere zodat de totale indeuking kleiner moet zijn. Daaruit concludeer ik dat de veerkracht voor de volledige indeuking moet gelden. In de bijlage heb ik dat nog een beetje uitgewerkt.
Met vriendelijk groet,
Maarten
Bijlagen:
Beste Maarten
Je bijlage eindigt met "Conclusie is dus dat je voor de veerkracht de volledige indeuking moet nemen" met andere woorden Fveer=-C*(twee*ubol)^(3/2) en ubol is de vervorming van een enkele bol. Gelukkig zijn we het hier over eens
Je rekent 2 gevallen door. Je 1e geval: 1 bol (3000kg) botst met 25m/s tegen een rigide en gefixeerde muur. Wat zo gebeurt, komt niet over een met wat bij Udo gebeurt (2 bollen die met relatieve v=25m/s tegen elkaar botsen). daarom is je resultaat udeuk25=0.0162153m niet zo maar vergelijkbaar met de maximale totale vervorming 0.012289m van 2 bollen samen
Je 2e geval: 2 bollen (elk 3000kg) botsen tegen elkaar met elk 12.5m/s tov centre of mass. je berekent de max vervorming van 1 bol, keer 2 geeft max totale vervorming 0.0186265m van 2 bollen samen. Deze berekening is volgens mij fout aangezien je werkt met F=-C*ubol^(3/2) en ubol is de vervorming van 1 enkele bol. Zoals je uiteindelijk concludeert, moet dat zijn F=-C*(twee*ubol)^(3/2). De factor twee baseer ik liever op common sense fysisch inzicht dan op lange berekeningen.
Het resultaat 0.012289m voor de max totale vervorming van 2 bollen samen volgt ook uit 2 reken methoden uit de literatuur
a) de 1e (?) gedetailleerde kwantitatieve publicatie over zo een botsing is "Ueber die Berührung fester elastischer Körper" (Hertz, 1881, ongewone eenheden, kijk blz169-171)
b) Section 9 van "Course of Theoretical Physics" (Landau, Lifshitz), parameter D op blz34, Problem 1 op blz36. De max totale vervorming van 2 bollen samen is h0=(mu/k)^(2/5)*v^(4/5) en mu=gereduceerde massa=1500kg https://archive.org/details/landaulifshitz.-course-of-theoretical-physics-vol-7/page/35/mode/2up
Met Hertz en Landau/Lifshitz kan je na rekenen dat voor de bollen van Udo idd C=7*10^10 N/(m^(3/2))
Je gaat uit van behoud mechanische energie. Alternatief: vat 2e wet van Newton op als een differentiaal vergelijking dv=(F/m)*dt. Dit zet je in een dynamisch Coach model van vbegin=25m/s tot v=0. resultaat: grafieken van v en u als functie van t
Udo zijn vraag volgt op item "Model Coach 7 voor Newtons cradle" (zoek cradle met vergrootglas)
Je zegt "En wat ik vond is dat ik dezelfde indeuking (voor 1 bol) kreeg als die wanneer ik de twee bollen laat botsen". In je bijlage zie ik "dezelfde indeuking" niet. Je 0.0162153 is niet zelfde als je 0.0186265 komt niet door afronding oid
mvg, Ibtihal
Beste Ibtihal,
Bedankt voor jouw uitgebreide antwoord en de gegeven verwijzigingen.
Blijkbaar heb ik verwarring geschept door eerst udeuk25 (= beginsnelheid 25 m/s) uit te rekenen. Dit was meer ter orientering van hoeveel indeuking krijg ik als ik slechts 1 bol met de volle snelheid op de muur laat botsen. Vervolgens bereken ik de indeuking van de bol als deze met de helft van de snelheid op de muur botst. Dat is 9.3 mm. Spiegel ik de situatie en laat de bol tegen de andere kant tegen de muur botsen krijg ik natuurlijk ook 9.3 mm indeuking. En dus samen 18.6 mm. Maar door de muur hebben de bollen niets met elkaar te maken. En in mijn eerdere berekening (9:19) waarbij ik de integraal splitste kwam ik ook op 18.6 mm. En dat kon volgens mij niet kloppen. Want daar treedt wel die wisselwerking tussen de twee bollen op.
In de bijlage laat ik de hele uitwerking zien. Ik ben daar wel nog aan het worstelen welke ubol er nu moet worden gebruikt. Je zie in iedergeval wel de 12.3 mm van jou terug en de 18.6 mm van mij.
Groet
Maarten
Bijlagen:
Beste Maarten
Goed, het misverstand over udeuk25 met begin 25m/s is opgehelderd.
Nu bijlage 22:23. Het Mathematica werk ziet er mooi uit maar je lijkt de fysica niet goed op rij te hebben. Verlies je in het rekenwerk het fysisch overzicht ?
a) Aan de ene kant bereken je 2*udeuk12p5=0.0186265 (bijlage blz5 met muur). Voor 1 bol die tegen de muur botst heb je udeuk12p5=0.00931325 Dat kwam van uMaxdeukMuur met EkinMax=1/2*m1*vm1^2 en m1=mp=3000, vm1=vP/2=12.5, Cbol=Cstaal=7E10. Vervolgens zeg je dat de totale vervorming van 2 bollen samen 2*udeuk=0.0186265 is in het scenario dat 2 bollen van 2 kanten tegen de muur botsen.
b) Aan de andere kant "splits je de integraal op" (post 09:19 zonder muur). De ene gesplitste integraal is de veerenergie als 1 bol 3000kg met 12.5m/s tegen de andere bol botst. 2 keer die veerenergie van 1 bol stel je gelijk aan de Ekin van de 2 bollen samen en zo krijg je de totale vervorming van 2 bollen samen 0.0186265
Nu zeg je "door de muur [berekening a] hebben de bollen niets met elkaar te maken. En in mijn eerdere berekening (9:19) waarbij ik de integraal splitste [berekening b] kwam ik ook op 18.6 mm. En dat kon volgens mij niet kloppen. Want daar treedt wel die wisselwerking tussen de twee bollen op."
Het onderscheid dat je maakt tussen wel/geen muur is fysisch niet steekhoudend. In scenario a en b wordt elke bol even veel vervormd (jouw 0.00931325) en dan maakt het voor een bol niks uit of hij door een muur of door de andere bol vervormd wordt. De bol "weet" het verschil niet, hij "weet" alleen de begin condities en de max vervorming. De tegenstelling "met muur niks met elkaar te maken" vs "wel wisselwerking" is slechts schijn
Volgens jou kan het niet kloppen dat je bij a en b de zelfde 0.0186265 vindt. Het zou juist verbazingwekkend zijn als er bij a en b niet hetzelfde uit kwam. Want in wezen reken je bij a en b precies hetzelfde uit (maar onderken je dat mss niet)
Eind van je bijlages: "Conclusie is dus dat je voor de veerkracht de volledige indeuking moet nemen." dit is geen geldige redenatie. Je observatie dat a en b allebei 0.0186265 doen en je (imho onnodige) verbazing daar over zijn geen geldige grondslag om te zeggen dat Fveer dus moet met 2 keer de vervorming van 1 bol. Waarom niet 4 of 8 keer? Ja, het is waar dat Fveer op elke bol is 7E10*(2*ubol) met ubol is de vervorming van 1 bol. Maar dat kan je niet concluderen uit "a en b allebei 0.0186265".
Ik vrees dat je met 5 blz Mathematica het fysisch overzicht mist. Als je foute fysica in Mathematica stopt, komt er geen ware fysica uit. Fysisch inzicht is niet wat Mathematica als output geeft. De instantie die voor fysisch inzicht zorgt, heet Maarten. En svp pas daarNA rekenen
Onderdeel van dat inzicht is dat Fveer op elke bol is 7E10*(2*ubol) met ubol is de vervorming van 1 bol. Vergeet Mathematica. Ga wandelen en bedenk hoe het zit met Fveer
De max indrukking van beide bollen samen 12.289 mm (2023) volgt ook uit de reken manier van Hertz en LandauLifshitz. Ik ga het echt niet beter weten dan die giganten
mvg, Ibtihal
Beste Ibtihal,
Zoals ik al schreef was ik met een worsteling van onbegrip bezig. Mathematica is voor mij slechts een tool, een schrijfblok waar ik mijn gedachte spinsels op kwijt kan. In ieder geval bedankt voor het kommentaar en het duidelijk maken van jouw standpunten.
Groet
Maarten