Golven
stelde deze vraag op 28 maart 2023 om 01:43.Reacties
Als een golf (over een touw of koord) beweegt dan construeer je geen stand maar neem je een foto snapshot.
Dat doe je ook als je het helemaal tekent vanuit "niets". Aannemend dat het een harmonische trilling is van een punt (in de oorsprong bijvoorbeeld) dat vast zit aan een snaar, dan zal door die snaar een golf gaan bewegen. Als die trilling 1x omhoog en naar beneden is geweest en weer in de middenstand uitkomt, dan zal er 1 golf zijn "vertrokken" vanaf dat trillingspunt.
Je kunt dit fraai simuleren op de applet van Phet (Colorado universiteit) https://phet.colorado.edu/en/simulations/wave-on-a-string
Het construeren van een golf op een tijdstip is dan een kwestie van een (deel van) een hele golf tekenen op zo'n manier dat in de oorsprong de uitwijking overeenkomt met de positie van het trillingspunt.
Als gegeven is dat de maximale uitwijking van dit punt A (m) is en de periode om 1 volledige trilling uit te voeren T (s) is (frequentie f = 1/T) dan wordt de trillingsuitwijking van het trillingspunt in oorsprong gegeven door y(t) = A sin (2πft) (aannemend dat het in de oorsprong met uitwijking 0 begint - anders moet een vaste fasehoek φ worden bijgeteld zodat de y(t) grootte overeenkomt met de uitwijking op t = 0 s).
Afhankelijk van de spanning van de snaar zal de golfsnelheid groter of kleiner zijn en daardoor een langere of kortere golf op de snaar gaan bewegen vanuit de oorsprong, en wel volgens λ = v/f (v is de golfsnelheid in m/s en f is de trillingsfrequentie van het trillingspunt).
Op een bepaald tijdstip t zal de uitwijking van het trillingspunt in de oorsprong
y(t) = A sin (2π ft) zijn.
In de periode 0 tot t seconden zal de snaar meebewegen in de oorsprong en de snaarpunten buiten de oorsprong (op afstand x van deze oorsprong) zullen met enige vertraging volgen. De figuur hieronder illustreert dat. De "kop" van de golf is rood gekleurd, de andere punten volgen de kop met vast fase-verschil (vaste afstand vanaf de kop). De trillingstijd is t = 2 s gekozen en de afzonderlijke tijden tonen steeds een trilling die een halve trilling is opgeschoten. En daarmee ook steeds een halve golflengte op de snaar erbij van punten die in golfbeweging trillen.
Die vertraging kun je in tijd uitdrukken waarmee de golf zich verplaatst. De vertraging is tv = x/v (volgend uit de bekendere x = vtv)
Dan zal voor een punt x op tijdstip t de uitwijking gelijk zijn aan die van het trillingspunt in de oorsprong maar dan niet op tijdstip t maar vertraagd als op (t - tv) :
y(x,t) = A sin (2πf (t- x/v)) met als randvoorwaarde dat t >= x/v (of x <= vt want voor grotere afstanden x is er nog helemaal geen golf - die heeft nog niet zover kunnen komen met golfsnelheid v).
Dat doe je ook als je het helemaal tekent vanuit "niets". Aannemend dat het een harmonische trilling is van een punt (in de oorsprong bijvoorbeeld) dat vast zit aan een snaar, dan zal door die snaar een golf gaan bewegen. Als die trilling 1x omhoog en naar beneden is geweest en weer in de middenstand uitkomt, dan zal er 1 golf zijn "vertrokken" vanaf dat trillingspunt.
Je kunt dit fraai simuleren op de applet van Phet (Colorado universiteit) https://phet.colorado.edu/en/simulations/wave-on-a-string
Het construeren van een golf op een tijdstip is dan een kwestie van een (deel van) een hele golf tekenen op zo'n manier dat in de oorsprong de uitwijking overeenkomt met de positie van het trillingspunt.
Als gegeven is dat de maximale uitwijking van dit punt A (m) is en de periode om 1 volledige trilling uit te voeren T (s) is (frequentie f = 1/T) dan wordt de trillingsuitwijking van het trillingspunt in oorsprong gegeven door y(t) = A sin (2πft) (aannemend dat het in de oorsprong met uitwijking 0 begint - anders moet een vaste fasehoek φ worden bijgeteld zodat de y(t) grootte overeenkomt met de uitwijking op t = 0 s).
Afhankelijk van de spanning van de snaar zal de golfsnelheid groter of kleiner zijn en daardoor een langere of kortere golf op de snaar gaan bewegen vanuit de oorsprong, en wel volgens λ = v/f (v is de golfsnelheid in m/s en f is de trillingsfrequentie van het trillingspunt).
Op een bepaald tijdstip t zal de uitwijking van het trillingspunt in de oorsprong
y(t) = A sin (2π ft) zijn.
In de periode 0 tot t seconden zal de snaar meebewegen in de oorsprong en de snaarpunten buiten de oorsprong (op afstand x van deze oorsprong) zullen met enige vertraging volgen. De figuur hieronder illustreert dat. De "kop" van de golf is rood gekleurd, de andere punten volgen de kop met vast fase-verschil (vaste afstand vanaf de kop). De trillingstijd is t = 2 s gekozen en de afzonderlijke tijden tonen steeds een trilling die een halve trilling is opgeschoten. En daarmee ook steeds een halve golflengte op de snaar erbij van punten die in golfbeweging trillen.
Die vertraging kun je in tijd uitdrukken waarmee de golf zich verplaatst. De vertraging is tv = x/v (volgend uit de bekendere x = vtv)
Dan zal voor een punt x op tijdstip t de uitwijking gelijk zijn aan die van het trillingspunt in de oorsprong maar dan niet op tijdstip t maar vertraagd als op (t - tv) :
y(x,t) = A sin (2πf (t- x/v)) met als randvoorwaarde dat t >= x/v (of x <= vt want voor grotere afstanden x is er nog helemaal geen golf - die heeft nog niet zover kunnen komen met golfsnelheid v).
