Lijkt op vwo eindexamen 2011-I-4 zo te lezen, maar zonder te weten hoeveel Marieke de bungee uitrekt (u) tot stilstand op 4,5 m hoogte blijft haar massa onbekend (want dan is  Cu = mg )

Dag Martin,
• Evenals jij vraag ik me af hoe we de maximale snelheid kunnen berekenen als de massa van Marieke met tuig onbekend is.
• Met een bekende massa, zeg m=50 kg, is een kortere oplossing mogelijk.
De trillingstijd is T=2·π·√(m/C)=2,221 s (Binas tabel 35B1)
De maximale snelheid is v_max=2·π·A/T=2·π·3,5/2,221=9,9 m/s (Binas tabel 35B1, vwo).
Of als we de uitdrukkingen combineren

• Als niet de massa maar de trillingstijd gegeven is, heb je genoeg aan v_max=2·π·A/T.
• In de opgave staat 'Bedenk dat er in deze situatie naast trillingsenergie ook potentiele [sic] zwaarte-energie aanwezig is!' Daar schrikken wij niet van. De zwaarte-energie hangt samen met de zwaartekracht op Marieke. Als Marieke in rust hangt op een hoogte van 4,5 meter, wordt de zwaartekracht opgeheven door de veerkracht. Ook op elke andere hoogte kunnen we de constante zwaartekracht 'wegstrepen' tegen een constante portie veerkracht. Daarom hoeven we in de bovenstaande berekening de zwaarte-energie niet apart op te nemen.
Groet, Jaap

>Daarom hoeven we in de bovenstaande berekening de zwaarte-energie niet apart op te nemen
De zwaarte-energie verandert met de hoogte (mgh).  Wegstrepen gaat zeker niet omdat de veer in beweging is (minder veerkracht dan zwaartekracht of andersom) en beide krachten alleen in de evenwichtsstand gelijk zijn.
Dat is ook het "doordenkertje" in de examenopgave.

Alternatief…
De mechanische energie bestaat uit kinetische en potentiële energie.
De potentiële energie is veerenergie E_v plus zwaarte-energie E_z.
De zwaarte-energie hoeven we niet apart in rekening te brengen (zie boven).
Als we wrijving, plastische vervorming van de elastieken en dergelijke verwaarlozen, is de mechanische energie in de evenwichtsstand (2) even groot als in de laagste positie (1).
E_k,2+E_v,2=E_k,1+E_v,1 → E_k,max+0=0+E_v,u=A

Zie Binas tabel 35A4
Groet, Jaap

Dag Theo,
Je schrijft om 00.27 uur 'Wegstrepen gaat zeker niet omdat de veer in beweging is (minder veerkracht dan zwaartekracht of andersom) en beide krachten alleen in de evenwichtsstand gelijk zijn.'
Ter geruststelling: mijn reacties van 00.18 uur en 01.03 uur zijn correct en er is niets mis met hetgeen ik schreef over wegstrepen.
Als we de zwaartekracht of de zwaarte-energie apart in de vergelijkingen opnemen, krijgen we exact dezelfde uitkomst v_max=A·√(C/m).
Heb je hier nog vragen over?

Groet, Jaap

Bedankt voor de reacties.
Het klopt inderdaad dat als je weet hoe Marieke de veer uitrekt je dan haar massa kan bepalen (F=m.g=C.u) (@Theo).
Daardoor kan je dan ook een kortere weg bewandelen om haar maximale snelheid te bepalen ( vmax=A·√(C/m) (@Jaap)
Wat volgens mij echter niet klopt is het wegschrappen.
Bij een harmonische trilling wordt voortdurend kinetische energie omgezet in potentiële energie of omgekeerd en de som van beide vormen is de mechanische energie. In de opgave staat dat je rekening moet houden met de potentiële veer-energie en met de potentiële zwaarte-energie en die twee veranderen continu van waarde tijdens de trilling.
Daarmee blijft mijn vraag: kan je dit überhaupt wel oplossen of is er een gegeven te weinig?

Dag Martin,
Je vraagt: 'kan je dit überhaupt wel oplossen of is er een gegeven te weinig?'
Er is een gegeven te weinig. Je kunt wel de formule v_max=A·√(C/m) afleiden. Maar de informatie van 09.02.2023 om 22.09 uur is ontoereikend om de waarde van Marieke's maximale snelheid v_max te berekenen.
Het benodigde extra gegeven kan bij voorbeeld zijn:
a. de massa m van Marieke inclusief tuig of
b. de trillingstijd T, waaruit de massa volgt met T=2·π·√(m/C) of
c. de uitrekking u₀ van het elastiek als Marieke er in rust aan hangt, waaruit de massa m volgt met F_z=F_v → m·g=C·u₀ → m=C·u₀/g
Deze u₀ is in de woorden van Theo 'hoeveel Marieke de bungee uitrekt (u) tot stilstand op 4,5 m hoogte' boven het kussen.

Je schrijft: 'Wat volgens mij echter niet klopt is het wegschrappen.'
In de opgave wordt de potentiële zwaarte-energie genoemd. Wie deze uitdrukkelijk in de berekening wil opnemen, kan bij voorbeeld als volgt te werk gaan.
Stel dat m=50 kg (een andere massa leidt tot dezelfde waarde van v_max).
Zoals je schrijft, is de mechanische energie de som van de kinetische energie en alle potentiële energie. Beschouw de situaties 1 en 2 (of punten of momenten).

1. Marieke is nog in rust in de laagste positie, 1 m boven het kussen en 3,5 m onder de evenwichtsstand van de latere trilling.
Haar snelheid en kinetische energie E_k,1 zijn hier nul.
We kiezen hier als hoogte h₁=0 → de potentiële zwaarte-energie is E_z,1=m·g·h₁=0.
(Een andere keuze voor h leidt tot dezelfde waarde van v_max.)
De uitrekking van het elastiek is hier u₁=u₀+A=m·g/C+A met A=3,5 m is de amplitude van de trilling. Merk op dat deze uitrekking iets anders is dan de uitwijking A uit de evenwichtsstand.
De potentiële veerenergie is E_v,1=½·C·u₁²=½·C·(u₀+A)²=½·C·u₀²+C·u₀·A+½·C·A²
Nu is C·u₀·A=C·(m·g/C)·A=m·g·A zodat
E_v,1=½·C·u₀²+m·g·A+½·C·A²
De mechanische energie is E_mech,1=E_k+E_z+E_v=0+0+½·C·u₀²+m·g·A+½·C·A²

2. Marieke beweegt tijdens de trilling met de gevraagde maximale snelheid v_max.
Bij een harmonische trilling is dit in de evenwichtsstand van de trilling →
de hoogte boven positie 1 is h₂=A en de uitrekking van de elastieken is u₂=u₀.
De kinetische energie is E_k,2=½·m·v_max²
De potentiële zwaarte-energie is E_z,2=m·g·h₂=m·g·A
De potentiële veerenergie is E_v,2=½·C·u₂²=½·C·u₀²
De mechanische energie is E_mech,2=E_k+E_z+E_v=½·m·v_max²+m·g·A+½·C·u₀²

Als we wrijving en plastische vervorming van de elastieken verwaarlozen, geldt behoud van mechanische energie: E_mech,2=E_mech,1
½·m·v_max²+m·g·A+½·C·u₀² = ½·C·u₀²+m·g·A+½·C·A²
We strepen links en rechts gelijke porties potentiële zwaarte-energie m·g·A weg.
We strepen links en rechts gelijke porties potentiële veerenergie ½·C·u₀² weg.
Er resteert ½·m·v_max²=½·C·A² zodat v_max²=C·A²/m en
v_max=A·√(C/m)
Dit uitwerking is langer dan om 01.03 uur, toen bij het behoud van mechanische energie van meet af aan gelijke porties energie zijn weggestreept. De uitdrukking voor v_max is hetzelfde. Ieder kan kiezen welke oplossing de voorkeur heeft.
Hopelijk stelt dit ook Theo gerust?

Aangenomen is, dat alleen conservatieve krachten (F_z, F_v) een rol spelen. Daarom komt behoud van mechanische energie in dit geval op hetzelfde neer als de 'wet van behoud van energie' die sommigen graag toepassen.
Groet, Jaap