>De kans om een deeltje ergens aan te treffen hangt af van de amplitude van de golf.
Feitelijk het kwadraat van de amplitude Ψ². Die amplitude Ψ kan namelijk ook negatief zijn en een kans ligt tussen 0 en 1 maar is nooit negatief.

De figuur 13.42a geeft een staande golf weer (grondtoon) en het kwadraat van amplitude is geheel links en rechts nul maar in het midden maximaal. Links en rechts van het midden neemt de amplitude af en daarmee de kans. De figuur zegt dus "een deeltje met de energie horend bij de grondtoon heeft de grootste kans in het midden aangetroffen te worden. "Grondtoon" klinkt alsof er geluid is, maar is hier slechts een benaming voor "langste golflengte" of "laagste frequentie" van de waarschijnlijkheidsgolf.

In 13.42b moet je ook eerst kwadrateren en dan ziet de figuur er uit als twee kamelenbulten. De amplitude is dan maximaal op 1/4 en 3/4 van de lengte (en daarmee de kans het deeltje met de energie horend bij de 1e boventoon), nul aan de randen en in het midden.

Dag Silvie,
Vraag 19a gaat over de waarschijnlijkheid om een deeltje aan te treffen in het gebied van x=0 tot x=0,5 respectievelijk het gebied van x=0,5 tot x=1.
Je vraagt: 'Ik vroeg me af gaat het inderdaad om de aplitude of de oppervlakte onder de kromme?'
• 'Aantreffen' gebeurt dikwijls met een of andere soort detector. Het gevoelige deel van een detector bestrijkt een zeker gebied, niet een ('oneindig klein') punt. Denk aan een pixel in de beeldchip van een camera: de pixel is niet puntvormig, maar heeft een zeker oppervlak. 'Aantreffen' of registreren gaat over een gebied, niet over een punt. In opgave 19 is het gebied Δx, eendimensionaal.
• De functie Ψ(x) waarmee we het deeltje beschrijven, heeft voor elke waarde van x (=in elk punt) een zekere waarde die je kunt berekenen. In je diagrammen staat u in plaats van Ψ; vermoedelijk wordt hetzelfde bedoeld. Ψ is de Griekse letter 'psi' die je uitspreekt als 'ps' zoals in 'pseudo'.
• Bij de waarschijnlijkheid om een deeltje aan te treffen, gaat het om de grootte van het gebied en om de functie Ψ. In gedachten maak je een nieuw diagram met x op de horizontale as en |Ψ|² op de verticale as.
De waarschijnlijkheid om een deeltje aan te treffen in een gebied met breedte Δx, is
|Ψ|² maal Δx
In dit geval is Δx=0,5 links van het midden of Δx=0,5 rechts.
|Ψ|² maal Δx kun je zien als hoogte maal breedte, want |Ψ|² is de hoogte van de nieuwe grafiek en Δx is de breedte van het gebied. En hoogte maal breedte is het oppervlak onder de grafiek. Maar dan wel een grafiek met |Ψ|² verticaal.
Beantwoordt dit je vraag?

Je hebt een zinnige vraag gesteld. Wat volgt, staat los van je vraag.
De opgave staat in de paragraaf over opgesloten deeltjes van het boek Systematische natuurkunde voor vwo 6. Vanaf de tweede alinea 'Op tijdstip t=0 s…' kan de opgave gemakkelijk aanleiding geven tot ernstige misverstanden, ook op het niveau van vwo 6. Er worden zaken op een lijn gesteld die fundamenteel verschillend zijn. Dat gaat over hoofdzaken, niet over details of scherpslijperij of woordkeus. Ik vind het verbijsterend dat zo'n opgave in een schoolboek staat. Als docent zou ik zeggen: 'Sla opgave 19 over.'
Als je wilt, Silvie, kan ik dat hier uitleggen.
Dit doet niets af aan je zinnige vraag.
Groet, Jaap

Hoi Jaap,

Dankuwel voor uw antwoord ik ben ook wel benieuwd wat u voor fout zag in opdracht 19.

Dag Silvie,
Als ik jou was, zou ik bij zo'n opgave 'doen wat van me verwacht wordt' en niet aanvoeren dat er in de opgave wellicht iets niet juist is. Het volgende is omdat je zegt benieuwd te zijn wat ik voor fout zag in opdracht 19. Laat je hierdoor niet afleiden of van de wijs brengen.

1. In figuur 13.42 is verticaal u uitgezet. Deze u wordt benoemd als 'uitwijking' van een 'staande golf'.
Dit verwijst naar de uitwijking van een staande golf in een snaar. Die uitwijking is concreet en fysiek: je kunt de snaar aanraken en de uitwijking op een foto meten met een liniaal.
Figuur 13.42 dient echter om de quantumtoestand van een deeltje in een doos weer te geven. Zo'n quantumtoestand is niet fysiek en er is niks om aan te raken. Het diagram van zo'n quantumtoestand geeft alleen een wiskundige functie weer, de zogeheten golffunctie Ψ (psi). Je kunt bij elke plaats x de waarde van de golffunctie berekenen, maar dat is niet een 'uitwijking' van iets.
De analogie tussen een staande golf in een snaar en de golffunctie van een deeltje in een doos kan nuttig zijn. Bij voorbeeld om aannemelijk te maken dat een geheel aantal bergen of dalen in de breedte van de doos moet passen, net als bij de snaar. Maar als je de analogie te ver doorvoert, kunnen misverstanden ontstaan. De snaar gaat bij voorbeeld na een halve trillingstijd van plus naar min en omgekeerd. Daarvan is geen sprake bij de golffunctie die het deeltje beschrijft. Toch staat boven figuur 13.42: 'Op tijdstip t=0 s zijn voor de quantumgolf de uitwijking die hoort bij de grondtoestand en de uitwijking die hoort bij de eerste aangeslagen toestand maximaal.'
Als je de alinea 'Op tijdstip t=0 s…' boven figuur 13.42 weglaat in figuur 13.42 bij de verticale assen u vervangt door ψ, kun je vraag a wel maken.
Overigens behoort het begrip golffunctie niet tot de leerstof voor het examen vwo.

2. Boven vraag b staat: 'Je maakt een lopende golf door superpositie van bovenstaande twee staande golven.'
Is de superpositie van twee quantumtoestanden van het deeltje in de doos wel mogelijk zoals hier beschreven? Bij zo'n quantumtoestand hoort namelijk een discrete hoeveelheid energie volgens de formule 'deeltje-in-een-doos-model' van Binas tabel 35E4. Superpositie suggereert dat het deeltje tegelijkertijd twee verschillende energieën kan hebben. Het ontgaat me hoe dat kan.
Zodoende sta ik met de mond vol tanden bij vraag b en c. Vraag b kan ik maken voor een snaar, niet voor het deeltje.
Bij het ontstaan van een lopende golf door superpositie van twee staande golven komt me niets voor de geest. Kan dit wel? In een snaar kan wel een staande golf ontstaan door superpositie van de heengaande en teruggekaatste lopende golf. En in een snaar kunnen meerdere staande golven worden gesuperponeerd tot een nieuwe staande golf, zodat je boventonen tegelijk hoort met de grondtoon.

3. Boven vraag d staat: 'Figuur 13.42 laat een momentopname zien. In werkelijkheid trillen de staande golven, met een frequentie die wordt gegeven door E=h·f.' Dit trillen ontgaat me, zie boven. En E=h·f geeft de energie van een foton. Hoezo kun je deze formule toepassen op een materie-deeltje? Bij vraag d moeten we hiermee een factor vier voor de 'trillingstijd van de staande golf' afleiden. Dit bezorgt me jeuk over het hele lichaam. Dat gaat zo nog door in de uitwerking van vraag e (niet door jou geplaatst).
In de uitwerking van vraag g staat 'Uit de grafiek van vraag 19f blijkt dat even later de kans groter is om het deeltje rechts van het midden aan te treffen. Hieruit blijkt dat deeltje van links naar rechts (en weer terug) beweegt.' Maar in de eerste alinea van de opgave lezen we 'Bij een quantumdeeltje in een doos kun je je geen voorstelling maken van wat het deeltje doet.' Dat klinkt tegenstrijdig.
Vind jij het logisch dat het deeltje ineens van links naar rechts en terug gaat bewegen als iemand op de gedachte komt twee wiskundige functies of staande golven te superponeren? Wie stuurt een whatsappje naar het deeltje 'hoi, we gaan superponeren, doe ff een tiktok-dansje'?

Hetgeen ik van 'quantum' heb opgepikt, doet me vrezen dat een groot deel van opgave 19 niet natuurkundig verantwoord is, ook niet op het niveau van vwo 6. Ernstige misvattingen liggen op de loer. Als je docent vindt dat de opgave in orde is, hoor ik graag een weerlegging van mijn opmerkingen.
Nogmaals: laat je hierdoor niet van de wijs brengen. Doe bij vraag 19, in een toets en een examen braaf het kunstje dat van je wordt verwacht.
Groet, Jaap