Natuurkunde.nl - Bal gooien van een gebouw

Bal gooien van een gebouw

June stelde deze vraag op 22 november 2022 om 11:13.

Hallo,
Voor een school opdracht moet ik de volgende opdracht uitwerken.
Er staan twee personen op een gebouw met hoogte H.
Persoon 1 gooit de bal H met een horizonale snelheid V. De bal landt op de grond op plaats D.
Persoon 2 gooit de bal met dezelfde sneleheid V in een hoek theta omhoog. Met welke hoek theta moet persoon 2 de bal gooien om op dezelfde plaats D uit te komen?

Ik heb de volgende formule opgesteld voor persoon 1.
x(t)= Vt
y(t)= H-0.5gt^2
Als ik de tijd wil weten dat de bal in de lucht blijft heb ik y(t)=0 gedaan, dit geeft t=(2H/g)^0.5Dus D= V*(2H/g)^0.5Voor persoon 2 heb ik de volgende formule opgesteld.

x(t)=cos(theta)vt
y(t)= H+sin(theta)vt- 0.5gt^2
Om te onderzoeken hoe lang de bal in de lucht blijft heb ik y(t) gelijk gesteld aan 0. Ik heb hierna de abc-formule gebruikt om een t te vinden.
dit geeft.
t= (-sin(theta)+ (sin²(theta)-4*0.5g*H)^0.5)/-g
Als je vervolgens deze t invult in x(t) voor persoon 2 krijg ik de volgende vergelijking.
(cos(theta)v*(-sin(theta)+ (sin2(theta)-4*0.5g*H)0.5))/-g
Als ik deze vergelijking gelijk stel aan D= V*(2H/g)0.5 zou ik dan de hoek theta kunnen vinden?
Ik loop hier nu vast omdat ik niet weet hoe ik dit verder moet uitwerken.
Heb ik ergens een fout gemaakt ?

mvg

Reacties

Jaap op 22 november 2022 om 11:54

Dag June,
Compliment voor je systematische aanpak.
Je schrijft: t= (-sin(theta)+ (sin2(theta)-4*0.5g*H)0.5)/-g
Het lijkt me dat dit moet zijn t=[–v·sin(θ)±(v²·sin²(θ)+2·g·H)^½]/(–g)
Of de vergelijking die verderop ontstaat, algebraïsch oplosbaar is, valt nog te bezien.
Wordt vervolgd, groet, Jaap

Jaap op 22 november 2022 om 12:34

Dag June,
De opgave is algebraïsch oplosbaar.
Je kunt θ uitdrukken in g, h en v → sin(θ)='iets met g en h en v'.
Een getallenvoorbeeld, geen bewijs van juistheid:
g=9,81 m/s² h=23 m v=17 m/s → θ≅58,003244º
Hiermee vinden we voor persoon 1 t≅2,165431 s en voor persoon 2 t≅4,086712 s.
De opgave is een aardige uitdaging voor vwo 5 of 6 in Nederland. En is te ingewikkeld voor het centraal examen vwo, tenzij ik een slimme oplossing over het hoofd zie.
Groet, Jaap

june op 22 november 2022 om 13:11

Hallo,
Ik zit in een plus klas en ik vind het leuk om te puzzelen met dit soort opgaven.
In de opdracht moet ik theta symbolisch uitdrukken in g h en v.
Hoe heeft u dit gedaan? want ik kom er niet uit.

Jaap op 22 november 2022 om 13:15

Dag June,
Is het een opgave voor een cijfer, rapport, schoolexamen of iets dergelijks?
Groet, Jaap

june op 22 november 2022 om 13:18

Nee, ik krijg extra oefen opgaven van de Technische universiteit om mee te oefenen!

Jaap op 22 november 2022 om 15:03

Dag June,
De horizontaal afgelegde afstand is voor beide personen even groot →
$v\cdot\sqrt{\frac{2\cdot h}{g}}=v\cdot\(\cos\theta)\cdot\frac{-v\cdot\sin\theta\pm\sqrt{v^2\cdot\sin^2\theta+2\cdot g\cdot h}}{-g}$
Laten we eerst vereenvoudigen: deel door v≠0 en vermenigvuldig met g≠0.

$\sqrt{2\cdot g\cdot h}=\cos\theta\cdot\Big(v\cdot\sin\theta\pm\sqrt{v^2\cdot\sin^2\theta+2\cdot g\cdot h}~\Big)$
$\sqrt{2\cdot g\cdot h}=v\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta\pm\cos\theta\cdot\sqrt{v^2\cdot\sin^2\theta+2\cdot g\cdot h}$
Twee dingen zijn onaangenaam: we hebben sinus én cosinus (liever sinus óf cosinus) en in het rechter lid hebben we een term plus een wortel. We kunnen dit op verschillende manieren oplossen. Eerst maar eens de wortel wegwerken.
$\sqrt{2\cdot g\cdot h}-v\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta=\pm\cos\theta\cdot\sqrt{v^2\cdot\sin^2\theta+2\cdot g\cdot h}$
Kwadrateer links en rechts. Links verschijnt een dubbel product.
$2\cdot g\cdot h-2\cdot\sqrt{2\cdot g\cdot h}\cdot v\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta+v^2\cdot\sin^2(\theta)\cdot\cos^2(\theta)=$
$=\cos^2\theta\cdot\big(v^2\cdot\sin^2\theta+2\cdot g\cdot h\Big)=v^2\cdot\sin^2\theta\cdot\cos^2\theta+2\cdot g\cdot h\cdot\cos^2\theta$
Trek links en rechts gelijke termen af en schuif wat heen en weer →
$2\cdot g\cdot h-2\cdot g\cdot h\cdot\cos^2\theta=2\cdot\sqrt{2\cdot g\cdot h}\cdot v\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta$
Haal links 2·g·h buiten haken en gebruik 1–cos² θ=sin² θ →
$2\cdot g\cdot h\Big(1-\cos^2\theta\Big)=2\cdot g\cdot h\cdot\sin^2\theta=2\cdot\sqrt{2\cdot g\cdot h}\cdot v\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta$
Deel door 2·g·h·sin θ≠0 →
$\sin\theta=\sqrt{\frac{2}{g\cdot h}}\cdot v\cdot\cos\theta=\sqrt{\frac{2}{g\cdot h}}\cdot v\cdot\sqrt{1-\sin^2\theta}$
…en nu ben jij weer aan de beurt.
We hebben niet meer sinus én cosinus. En we hebben rechts niet meer een term plus een wortel.
Het kan vast korter en slimmer, maar dat zie ik nog niet.
Groet, Jaap

Jaap op 22 november 2022 om 15:23

Dag June,
Wil je meer plusklasklussen? Of training voor toetsen en centraal examen via Zoom?
Groet, Jaap

june op 24 november 2022 om 09:54

Hallo,
Ik kom nu op een antwoord uit van Theta= arctan(v* (2/gH)^0.5)
Ik heb dit antwoord gekregen door de x(t) van de 2e persoon gelijk te stellen aan d. Ik heb hier een tijd uit gekregen en deze ingevuld in y(t), deze heb ik vervolgens gelijk gesteld aan 0.
Is dit ook een mogelijke manier om het op te lossen?
En als u meer plusklasklussen heeft ontvang ik deze graag!

mvg

Jaap op 24 november 2022 om 20:05

Dag June,
Jazeker, jouw manier is goed en oogt wat eenvoudiger dan de mijne. Je uitdrukking voor θ is ook goed. En dat terwijl je eerst zei 'ik kom er niet uit'…
Groet, Jaap

Jaap op 24 november 2022 om 23:00

Dag June,
In de bijlage hieronder kun je drie plusklussen vinden.
Groet, Jaap

Bijlagen:

vb-86783-01.pdf

Bal gooien van een gebouw

Reacties

Plaats een reactie

Cookie-instellingen