>Maar waarom doen ze niet 128 * (LENGTE VAN SNAAR BIJ GRONDTOON)

Zie onderstaande tekening. 
De snaar voor de hoogste toon (frequentie 6 keer hoger dan de lage toon) heeft voor een halve sinus genoeg aan 1/6 de lengte van de lage grondtoon, L/6 .

Die hoge grondtoon op zijn eigen korte snaar past dus 6 keer op de lange snaar van de lage grondtoon. 
Als die toon op de snaar van de lage grondtoon te horen zou zijn, zou het de 5-ste boventoon zijn op die snaar

Beste Theo, bedankt voor uw antwoord. Alleen ik begrijp niet wat u bedoeld (dat kan aan mij liggen, maar ik snap eigenlijk niet waaruit blijkt dat je 'keer' die 40 cm moet doen)?

M.V.G. Daan

Met het plaatje probeerde ik duidelijk te maken dat wat de grondtoon voor de korte snaar was (500 Hz) een boventoon is op de lange snaar die een veel lagere grondtoon heeft. Daarop is die 500 Hz de 5e boventoon. Er passen 5+1 maal zo'n 500 Hz toon snaarlengte op de lange snaar  (en daar is het de 5e boventoon) 

Dag Daan,
Alternatieve uitleg…
• De frequentie van de snaar die de hoogste toon voortbrengt, is  4186/32,70=128 maal zo groot als de frequentie van de snaar die de laagste toon voortbrengt (grondtonen).
Omgekeerd: de frequentie f van de snaar met de laagste toon is  1⁄128  maal zo groot als de andere f.
• De golfsnelheid v is in elke snaar even groot.
Er geldt v=λ·f, dus λ·f is bij elke snaar even groot.
Bij een kleinere frequentie f past een grotere golflengte λ.
• De frequentie f van de snaar met de laagste toon is  1⁄128  maal zo groot als de andere f.
Dan moet λ bij de snaar met de laagste toon 128 maal zo groot zijn als de andere λ.
Want zo wordt λ·f met een kleinere f en een grotere λ weer even groot.
• De golflengte λ bij de snaar met de laagste toon is 128 maal zo groot.
Dan moet ook de lengte L van de snaar met de laagste toon 128 maal zo groot zijn.
• De snaar met de hoogste toon is L=0,40 m lang.
De snaar met de laagste toon moet 128×0,40=51,2 m lang zijn (past niet in de piano).
Groet, Jaap