Kan u anders mss de werkwijze uitleggen. Het kan zijn dat je niet op de uitkomst komt omdat je speciale tabellen moet gebruiken.

dampgehalte = massa waterdamp/massa droge lucht?   

De opgave noemt de gasdruk 1 bar (1 atm, 10⁵ Pa) - bij die druk is ze gelijk aan de luchtdruk buiten  en is de zuiger in stilstand.
In het vat zit zoals ik de opgave lees, helemaal geen lucht. En stoom is 100 graden celsius water in dampvorm of hoger. De opgave geeft niet aan hoe hoog. Wel dat het 1 kg massa heeft.

1 kg water = 1000/18 = 55,6 mol water. 

Met de ideale gaswet geldt dan dat  pV= nRT  ingevuld  10⁵ V = 55,6 x 8,3 x T
Of T = 100°C = 373 K is me niet bekend. Blijkbaar moet dampgehalte 0,8 (80%) hier uitsluitsel over kunnen geven, maar ik zie niet meteen hoe dan.

Daarna is het een kwestie van energie en arbeid berekenen:
de vergroting van de ruimte kost een arbeid W =  ∫ p dV . Aannemend dat dit langzaam genoeg gaat zodat de druk niet verandert, dan is het W = p ΔV = 10⁵ (0,1 x 0,5)  J
De rest van de toegevoerde warmte Q verhoogt de interne energie van het gas, zich uitend door een hogere temperatuur en druk (of stopt de toevoer Q als net het maximale volume bij gelijkblijvende druk van 1 bar is bereikt?)

Waarom pas je de ideale gaswet toe op water dat is toch geen ideaal gas.

waterdamp = stoom is een gas
En vrijwel alle gassen gedragen zich als ideaal gas (aannamen: geen interactie tussen moleculen, elk molecuul is puntvormig).
Een verbetering richting realiteit geeft de Van der Waals-gas modellering waarbij  elk molecuul een (klein) volume inneemt en wel enige interactie heeft met andere moleculen.

Dag Frenk,
De officiële uitkomst Q₁₂=788,3 kJ kan ik niet reproduceren. Oorzaak onbekend.
Mijn berekening gaat als volgt, zonder acht te slaan op significantie.

a. In toestand 1 is er in het linker deel van het vat 1 kg water met een dampgehalte x₁=0,8 bij p₁=1,0 bar. Dat wil zeggen 0,8 kg water in dampvorm en 0,2 kg vloeibaar water. In de opgave is geen sprake van lucht in het vat.
Nemen we aan dat beide fasen in evenwicht zijn, dan is de damp verzadigd.
Volgens een stoomtabel is de temperatuur van verzadigde waterdamp bij een absolute druk p₁=1,0 bar T₁=99,6 ºC. Dat geldt ook voor de vloeistof.
Er is nu 0,8 kg damp, dat is 44,4 mol. Nemen we aan dat de verzadigde damp zich bij benadering gedraagt als een ideaal gas, dan volgt uit de algemene gaswet een volume
V₁=n₁·R·T₁/p₁=44,4·8,3145·(273,15+99,6)/10⁵=1,377 m³
Het volume 0,0002 m³ van het vloeibare water verwaarloos ik.

b. Naarmate de weerstand R warmte toevoert aan de inhoud van het linker deel, zal er meer vloeibaar water overgaan naar de dampfase (n neemt toe), zal de temperatuur stijgen en zal de damp uitzetten. Nemen we aan dat de kracht van de damp en de kracht van de veer op de zuiger steeds vrijwel aan elkaar gelijk zijn, dan betekent een groter dampvolume een grotere druk in het linker deel. De veer wordt immers meer ingedrukt.

c. Een aanvullende berekening leert dat op weg naar toestand 2 een tussentoestand optreedt waarbij juist al het water in de dampfase komt. De damp is dan nog steeds verzadigd. Dit gebeurt bij p=1,26013 bar en V=1,390442 m³ en T=379,318 K en n=1/0,18=55,6 mol.
(Controle: invullen in p·V en n·R·T wijst uit dat is voldaan aan de gaswet.
Invullen bij 'Saturated Steam Table (by Pressure)' op
https://www.tlv.com/global/TI/calculator/steam-table-pressure.html
toont aan dat de druk en de temperatuur overeenkomen voor verzadigde waterdamp.)

d. In toestand 2 is de dampdruk opgelopen tot 2 bar. Want vanuit de onbelaste toestand is de veer nu twee maal zo ver ingedrukt, zodat hij een twee maal zo grote kracht op de zuiger uitoefent. Deze druk is hoger dan in de tussentoestand, wat een hogere temperatuur vergt. Daarom zal ook in toestand 2 al het water in de dampfase zijn.
Het dampvolume in toestand 2 is V₂=V₁+S·ΔL=1,377 +0,5·0,1=1,427 m³
Veronderstel dat de damp in toestand 2 verzadigd is. Dan is de temperatuur volgens de stoomtabel 120,2 ºC. Volgens de gaswet moet er n₂=p₂·V₂/(R·T₂)=87,3 mol damp aanwezig zijn.
Dat is meer dan 1 kg water. In toestand 2 is de damp niet verzadig, maar oververhit
bij een temperatuur T₂=p₂·V₂/(n₂·R)=618,06065 K

e. In toestand 1 is de inwendige energie van de damp 0,8·2674,95 kJ (enthalpie)
en die van het vloeibare water 0,2·417,436 kJ
Zie het bovengenoemde rekending bij tlv.com bij 1,0 bar absoluut.
In toestand 2 is de inwendige energie van de damp 1,0·3163,47 kJ
Idem, bij Superheated Steam Table, p₂=2 bar absoluut en T₂=618,06065 K.
Gaande van toestand 1 naar 2 verricht de damp arbeid W op de zuiger.
Deze arbeid is gelijk aan de toeneming van de veerenergie
W=½·k·(u₂²–u1²)=½·5·10⁵·(0,2²–0,1²)=7500 J=7,5 kJ
We kunnen W ook berekenen door p als functie van V te schrijven en te integreren W=∫p(V) dV van V₁ tot V₂, afgezien van plus of min. De uitkomst is hetzelfde.
De warmte die de weerstand R aan het water moet toevoeren, is
Q₁₂=1,0·3163,47–0,8·2674,95–0,2·417,436+7,5=948 kJ

f. Op https://www.machinemuseum.nl/tabel.html is een andere methode te zien met gebruik van een stoomtabel en een enthalpiediagram.
De uitkomsten van beide methoden zijn ongeveer gelijk.

g. Hopelijk helpt dit.
De oplossing kan misschien veel eenvoudiger; ik ben in deze materie niet thuis.
Misschien kunt u de officiële berekening van Q₁₂=788,3 kJ hier plaatsen?
Schrijf hier alstublieft wat in mijn reactie onvolledig, onduidelijk of onjuist is, opdat ik mijn reactie kan verbeteren. Daar leer ik van en het komt de vraagbaak ten goede.
Groet, Jaap

> dampgehalte x1=0,8 bij p1=1,0 bar. Dat wil zeggen 0,8 kg water in dampvorm en 0,2 kg vloeibaar water.

Da's ook een mogelijke verklaring. Normaal is het waterdamp in lucht. Waterdamp naast watervloeistof is een voor mij nieuwe invulling/betekenis van het begrip "dampgehalte". Maar de opgave is nogal vaag op onderdelen.