Systematische natuurkunde vwo 5, 9e editie  (de 8e had opgave d nog niet)

Voor belangstellenden, betreft de uitwerking van vraag 31d van 19.02 uur
• Uit de op twee na onderste regel, beginnend met ½·v_A², vind ik niet v_A=2,29·10³ m/s
maar 2525 m/s alvorens af te ronden. Heb ik een rekenfout gemaakt?
• Gevraagd wordt aan te tonen dat de snelheid van een capsule minstens …
Afhankelijk van de breedtegraad van de lancering, kan de capsule (een deel van) de snelheid meekrijgen waarmee de aarde om zijn as draait. Aan de evenaar is dat circa 465 m/s. Me dunkt dat de aan te tonen snelheid bij 21d ongeveer 2525–465=2060 m/s=2,1 km/s is. Op het niveau van vwo 5 ligt het in de rede om hier rekening mee te houden.
• In de uitwerking staat G=6,67384… maar men vult in 6,67383…
In de uitwerking staat een punt als decimaalteken en (verhoogd) voor vermenigvuldiging.
Dat is af te raden.
Groet, Jaap

 Aangezien die draaisnelheid slechts een horizontale component is lijkt me die er voor het bereiken van hoogte, zoals hier, niet toe te doen (voor het totaalplaatje, een baan rond de Aarde, uiteraard wel, maar dat is hier niet de vraag). 

groet, Jan

Dag Jan,
In de uitwerking van 19.02 uur berekent men de in vraag 31d bedoelde snelheid om de genoemde hoogte te bereiken, aan de hand van de kinetische energie die de capsule bij de lancering moet hebben. De kinetische energie is deel van een energievergelijking voor het bereiken van de genoemde hoogte.
De kinetische energie hangt af van v² en de richting van de snelheid heeft hierop geen invloed. Voor v² telt alleen de grootte van de snelheid v waarmee de capsule beweegt in een niet-roterend coördinatenstelsel met het middelpunt van de aarde in rust in de oorsprong.
Voorafgaand aan de lancering heeft de capsule al de snelheid v_draai waarmee het aardoppervlak ter plaatse draait. Bij de Lancering krijgt de capsule bovendien een snelheid v_L ten opzichte van de grond. De 'resulterende snelheid' v=2525 m/s in het niet-roterende stelsel is de vectorsom van v_draai en v_L. Zodoende doet de draaisnelheid van het aardoppervlak er wel toe als ik de snelheid v_L=2060 m/s bereken die minimaal nodig is om de genoemde hoogte te bereiken. De in vraag 31d bedoelde snelheid heb ik opgevat als de snelheid v_L van de capsule bij de lancering ten opzichte van de grond.
Groet, Jaap

Dag Jaap,

Die redenering volg ik niet. Als ik dat vectorsomverhaal toepas op een bal die ik omhoog schop met een verticale snelheid van 20 m/s zou die dus op de evenaar veel hoger moeten eindigen dan 20 m? 

Groet, Jan

Als de vraag is hoe hoog een capsule kan komen bij een bepaalde snelheid (of welke snelheid een hoogte bereikt), dan is de vertikale snelheid van belang. Wat er horizontaal (of door aardrotatie) bij komt maakt voor de hoogte niet uit (wrijvingen e.d. niet meegenomen).

Dag Jan,
Je gedachte-experiment van 11 juli 2022 om 13.02 uur lijkt me niet consistent en strookt niet met mijn benadering.
• Je schopt op de evenaar een bal omhoog met een beginsnelheid van 20 m/s. Als je de tangentiële snelheid van het aardoppervlak in het beginpunt meerekent, moet je dat in het hoogste punt ook doen. Zo kun je de maximale hoogte berekenen. Reken je in je gedachte-experiment van 13.02 uur de tangentiële snelheid in het hoogste punt ook mee?
• In het gedachte-experiment is er geen reden om de tangentiële snelheid in het beginpunt en het hoogste punt mee te rekenen. De berekening wordt er nodeloos ingewikkeld van. Daarom berekenen we de maximale hoogte liever zonder de tangentiële snelheid van het aardoppervlak. Beide manieren zijn juist en leiden tot dezelfde waarde van de maximale hoogte.
• Bij opgave 31d onderscheid ik een niet-roterend coördinatenstelsel waarin v=2525 m/s en een met de aarde mee roterend coördinatenstelsel waarin v_L=2060 m/s ten opzichte van de grond. Om bij vraag 31d de snelheid van de capsule bij de lancering ten opzichte van de grond te berekenen die minimaal vereist is om de genoemde hoogte te bereiken, moet de tangentiële snelheid in rekening worden gebracht.
Waarom reken ik de tangentiële snelheid bij vraag 31d wel mee, en hoeft het niet in het gedachte-experiment? Zie een hierna volgende reactie.
Groet, Jaap

Dag Theo,
In de uitwerking van 10 juli om 19.02 uur wordt de snelheid die de capsule bij de lancering minimaal moet hebben om de genoemde hoogte te bereiken, berekend uit de kinetische energie in een energiebalans. De kinetische energie hangt niet alleen af van de radiale snelheid ('vertikale'), maar ook van de tangentiële snelheid ('horizontaal' in jouw woordkeus).
Groet, Jaap

Het is gewenst om vraag 31 d en e in samenhang te zien en consistent te zijn.
• Bij vraag e moeten we aantonen dat de benodigde kinetische energie ongeveer 10 keer zo groot wordt als de capsule niet alleen de gewenste hoogte moet bereiken, maar ook met het ISS moet meevliegen. Het is alleen zinvol de twee hoeveelheden kinetische energie met elkaar te vergelijken als ze gelden ten opzichte van hetzelfde coördinatenstelsel: hetzij met de aarde mee roterend, hetzij niet-roterend. Beide stelsels: met het middelpunt van de aarde in rust in de oorsprong.
• Boven vraag d staat 'Het ISS draait in 92 minuten rondom de aarde.' Dit is mijns inziens de siderische rotatieperiode T ten opzichte van de 'vaste sterren', zoals Binas tabel 31 ook de siderische rotatieperiode 27,32 d van de maan geeft. De 92 minuten is niet de synodische rotatieperiode waarna het ISS opnieuw dezelfde geografische ooster- of westerlengte bereikt. Zodoende is de baansnelheid van het ISS bij vraag 31e v_ISS=2·π·r/T=7,25 km/s in het niet-roterende stelsel. De baansnelheid is niet 7,25 km/s ten opzichte van het aardoppervlak.
• Om de factor 10 aan te tonen, moeten we de energiebalans van vraag 31d ook opstellen in het niet-roterende stelsel. Dit geeft een capsulesnelheid v=2525 m/s om de gewenste hoogte te bereiken, zonder om de aarde te draaien. De bij vraag 31d bedoelde snelheid opvattend als een snelheid v_L ten opzichte van de grond, breng ik de draaisnelheid 465 m/s van het aardoppervlak in mindering. De 465 m/s (maximaal) krijgt de capsule bij de lancering 'gratis' mee. Dit is de voornaamste reden waarom men sondes graag lanceert vanaf een plaats nabij de evenaar. De aandrijfmotor moet aanvullen tot v=2525 m/s.
Groet, Jaap

> De kinetische energie hangt niet alleen af van de radiale snelheid ('vertikale'), maar ook van de tangentiële snelheid ('horizontaal' in jouw woordkeus).

Zeker. v² = v_x² + v_y²   In te vullen in E = 1/2 mv² 
Ik gaf alleen aan dat de horizontale snelheid niet van invloed is op de vertikale hoogte omdat ik meende dat je daarover met Jan van mening verschilde.  Of v_y apart van kennis over v_x te berekenen is heb ik verder niet nagezocht (ik leg me wel bij het antwoord in het boek neer).

 Daarover verschil ik in elk geval van mening met Jaap, en blijf dat doen. Dat lanceren op de evenaar is gunstig omdat we alles in een baan willen brengen en daarvoor is een stuk tangentiële snelheid dat ze mee krijgen alleszins meegenomen. Maar het sec bereiken van een zekere hoogte (en daarover gaat 31d) zie ik niets met een tangentiële snelheid vandoen hebben. Dat mijn verticaal afgevuurde raket (of kanonskogel) onderweg naar boven (en terug naar beneden) achter komt te lopen op het aardoppervlak en dus een eind westelijk van zijn lanceerpunt ter aarde zal storten lijkt mij nog steeds geheel onbelangrijk in deze subvraag. 

Groet, Jan