relativistisch schieten: Minkowski diagram

hm stelde deze vraag op 30 juni 2022 om 15:48.

Hoe zou de x' as en ct' as van de kogel er uit zien in dit voorbeeld? 
Kunt u er een uitwerking van laten zien? 

Reacties

Jaap op 30 juni 2022 om 16:17
Dag hm,
De kogel is aanwezig op de plaats van de gebeurtenissen T en B, zodat de wereldlijn van de kogel door T en B gaat. Als we de oorsprong van het referentiestelsel van de kogel gemakshalve kiezen bij gebeurtenis T, is de rechte door T en B de ct'- as van de kogel. De ct'-as maakt een hoek α met de verticale t-as. De tangens van de hoek is tan(α)=vkogel/c=0,27
De x'-as van het referentiestelsel van de kogel gaat ook door T en maakt een hoek α met de horizontaal: een even grote hoek als de ct'-as maakt met de verticaal.
Beantwoordt dit de vraag?
Groet, Jaap
hm op 30 juni 2022 om 16:24
Vraag 1: Dus de ct' en x' as hoeven niet in de oorsprong te beginnen?

Vraag 2: De rechte door T en B is toch de snelheid van de kogel in het referentiestelsel van de schutter? Betekend dat dan dat de ct' as van de kogel gelijk is aan de snelheid van de kogel?
Jaap op 30 juni 2022 om 16:45
Dag hm,
1. De oorsprong van het ene stelsel hoeft niet samen te vallen met die van het andere.
De eerste interessante gebeurtenis is T. Het ligt mijns inziens voor de hand om T als oorsprong van het stelsel van de kogel te kiezen, zodat x'=0 op ct'=0 als de trekker wordt overgehaald. Voordeel: de ct'-as van de kogel valt samen met de wereldlijn van de kogel door T en B.
(Het kan ook anders. Je kunt ook M kiezen als oorsprong van het stelsel van de kogel.)
2. De rechte door T en B is de wereldlijn van de kogel. Dat is zo in ieder stelsel: van de schutter en de kogel.
De tangens van de hoek tussen de wereldlijn door T en B en de verticale t-as is gelijk aan de snelheid v van de kogel. Over de onderlinge snelheid van de schutter en de kogel zijn zij het eens: zij noemen dezelfde waarde 0,27·c.
De ct'-as (=wereldlijn) van de kogel is niet de snelheid v, maar de helling van de ct'-as is wel een maat voor de snelheid. Hoe steiler de wereldlijn, hoe slomer de kogel beweegt ten opzichte van de schutter.
Groet, Jaap
hm op 30 juni 2022 om 17:47
Dankuwel,
Nog een vraag over een ander plaatje: waarom staan de x'assen aan de rechterkant naar buiten, ipv aan de linkerkant naar binnen?
Theo de Klerk op 30 juni 2022 om 18:38
Dat is het gevolg van of een assenstelsel dat beweegt naar rechts (samengeknepen) of naar links (uitgebogen) beweegt.
Je kunt het zelf beredeneren vanuit het "eigen" stilstaande stelsel.
Wat doet de oorsprong van het bewegende stelsel in jouw (rechthoekige) stelsel?

Als het achteruit beweegt met snelheid 1/3c , dan geldt bij t = 20 s dat een afstand -20/3 c is afgelegd. Dus de oorsprong van het bewegende stelsel vind je op -20/3 c langs de x-as en op positief t = 20c  langs de y-as (want Y-as is niet de tijdsas maar de ct as (tijd x lichtsnelheid) zodat beide assen een afstand aangeven)

Bij positieve snelheden zie je de oorsprong in het positieve quarant van je eigen stelsel bewegen.

Deze situatie zie je ook bij wisseling van waarnemersreferentiestelsel. Als een "eigen" waarnemer een bewegend stelsel naar rechts ziet bewegen dan is het stelsel van dat bewegende stelsel een samengeknepen stelsel in het positieve quadrant van het rechthoekige "eigen" stelsel.
Bekijken we alles vanuit het andere stelsel, dan wordt het bewegende stelsel het "stilstaande" eigen stelsel. Het andere stelsel beweegt nu en wel achteruit (naar links). Het bewegende referentiestelsel wordt dan in het eigen stelsel afgebeeld als uitgebogen stelsel.
Jaap op 30 juni 2022 om 22:48
Dag hm,
• Je vraagt: "waarom staan de x'assen aan de rechterkant naar buiten, ipv aan de linkerkant naar binnen?" en ik neem aan dat je bedoelt: 'waarom loopt Barts rode x'-as naar rechts omlaag?'
• Je Minkowski-diagram heeft de standaardvorm: een hok horizontaal in het rechthoekige stelsel S is evenveel meter als een hok verticaal. De wereldlijn van een lichtflits die in de positieve x-richting wordt uitgezonden op ct=0 bij x=0, is in zo'n diagram een lijn die onder 45º schuin naar rechts omhoog loopt. Zie de blauwe pijl in de onderstaande figuur.
• In zo'n standaarddiagram is de hoek tussen de x'-as en de blauwe lichtlijn even groot als de hoek tussen de ct'-as en de lichtlijn. Dit geldt voor elk inertiaalstelsel. (UItleg: zie onder.)
• Laten we dit toepassen op het inertiaalstelsel van Bart.
Hij legt Δx=–30 m af in ct=100 m, gemeten in het stelsel S.
Zijn snelheid is v/c=–30/100=–3/10 (negatief: hij beweegt naar links).
Voor de hoek α tussen Barts schuine ct'-as en de verticale ct-as geldt tan(α)=3/10 →
α=16,7º afgezien van een minteken.
De hoek tussen Barts ct'-as en de blauwe lichtlijn is 45+16,7=61,7º
De hoek tussen Barts x'-as en de blauwe lichtlijn moet dan ook 61,7º zijn, en dat is schuin naar rechts omlaag.



• Waarom is de hoek tussen de x'-as en de blauwe lichtlijn even groot als de hoek tussen de ct'-as en de lichtlijn?
Dat is een gevolg van de manier waarop gelijktijdigheid is gedefinieerd in de speciale relativiteitstheorie. Zie de figuur.
Gegeven is het rechthoekige inertiaalstelsel S. Hierin reist Bart met v/c=–3/10 naar links.
Zijn wereldlijn is de rode lijn schuin naar links omhoog.
Bart is en blijft bij x'=0. Daarom is Barts wereldlijn tevens de ct'-as van Barts stelsel.
Auke is en blijft in rust ten opzichte van Bart. Daarom is Auke's wereldlijn evenwijdig aan die van Bart.
Op ct=0 wordt een lichtflits naar rechts uitgezonden bij x=0. Dat is gebeurtenis O.
Het licht komt bij Auke: dat is gebeurtenis P. Met een spiegel kaatst Auke het licht terug naar Bart.
Het licht arriveert bij Bart: dat is gebeurtenis Q.
Logischerwijs nemen we aan dat de aankomst P van het licht bij Auke tegelijk is met de gebeurtenis R, in het midden van OQ. Per definitie zijn P en R gelijktijdig, gemeten in Barts stelsel. We hebben namelijk geen beter idee om uit te maken wat 'gelijktijdig' is.
Alle gebeurtenissen op de rechte door P en R zijn gelijktijdig volgens Barts stelsel.
De x'-as van Bart is niets anders dan de verzameling gebeurtenissen die gelijktijdig zijn met ct'=0 volgens Barts stelsel. De x'-as loopt evenwijdig aan de 'rechte van gelijktijdigheid' door P en R. Meetkundig kun je aantonen dat de hoek tussen de x'-as en de blauwe lichtlijn even groot is als de hoek tussen de ct'-as en de lichtlijn.
Groet, Jaap

Plaats een reactie

+ Bijlage

Bevestig dat je geen robot bent door de volgende vraag te beantwoorden.

Clara heeft elf appels. Ze eet er eentje op. Hoeveel appels heeft Clara nu over?

Antwoord: (vul een getal in)