De opdracht in kwestie:

Dag Nina,
Laten we het stelsel met de onderling loodrechte assen S noemen.
Laten we het stelsel met de schuine assen S' noemen.
De stok is in rust in S. Dat zie je aan de wereldlijnen van de uiteinden van de stok. Die lopen evenwijdig aan de verticale ct-as, zodat de positie van elk uiteinde volgens S constant is. Omdat de stok volgens S in rust is, is de gemeten lengte op de horizontale x-as de zogeheten eigenlengte van de stok. Een meting met een stelsel dat beweegt ten opzichte van S levert een kleinere uitkomst (lengtekrimp, lengtecontractie).
Om de lengte van de stok volgens het stelsel S' te vinden, moet je de afstand tussen de uiteinden bepalen op hetzelfde tijdstip zoals gemeten in S'. Dat wil zeggen: de afstand tussen de uiteinden op de x'-as. Want de gebeurtenissen op de x'-as zijn op hetzelfde tijdstip in S'.
Gebruik het schuine lichtgrijze rooster: de afstand tussen de uiteinden op de x'- as is ongeveer 0,745 m. Volgens de lengtekrimp is de 'gekrompen lengte' van de stok 0,745 m volgens de meting in S'.
Andere bepaling: de snelheid van S' ten opzichte van S is v/c=2/3.
De lorentzfactor is γ=1/wortel(1-(2/3)²)=1/0,745 = 1,34
De gekrompen lengte voor S'  is L=L₀/γ=eigenlengte/γ=(1 m)/1,34=0,745 m.

Graag vermijd ik termen als 'stilstaande stelsel' en 'bewegende stelsel' uit de opgave. Want elk stelsel kan met recht stellen dat het andere stelsel beweegt.

Groet, Jaap

M.b.t. Minkowski diagrammen: zie ook https://www.natuurkunde.nl/vraagbaak/83147

Dag Jaap,

heel erg bedankt, ik snap de opgave nu! Om even het overzicht voor mezelf te hebben, gelden er dan dezelfde regels voor de formule van de tijdrek? Dus:

T*: gamma x T

Wordt hierbij dan ook T* gemeten met het stelsel dat zich eenparig beweegt ten opzichte van de klok en T met het stelsel waarin de klok in stilstand is? Het enige wat hierbij dus kan veranderen, is vanuit welk perspectief er wordt gekeken?

Groetjes, 
Nina

Dag Nina,

Over tijdmeting…
De zogeheten eigentijd Δt₀ is het tijdinterval tussen twee gebeurtenissen A en B gemeten met een enkele klok die aanwezig is bij beide gebeurtenissen. Aanwezig wil zeggen: de klok is op dezelfde plaats waar A gebeurt, op hetzelfde moment dat A gebeurt. Idem bij gebeurtenis B.
Die klok laat je zo nodig een eenparige, rechtlijnige beweging uitvoeren van de plaats van A naar de plaats van B, met een zodanige snelheid v dat de klok op het juiste moment op de juiste plaats is van A en B. Het stelsel waarin de klok in rust is, noem ik S.
Een meting van het tijdinterval tussen A en B met een klok behorend bij een ander stelsel S' dat eenparig en rechtlijnig beweegt ten opzichte van S, levert een grotere uitkomst Δt (tijdrek, tijddilatatie). Die klok wijst meer seconden aan.
Het verband is Δt=γ·Δt₀. ofte wel (gerekte tijd)=γ·(eigentijd). Omdat γ≥1 is Δt≥Δt₀.

Een voorbeeld. Langs een weg staan een eik en een beuk, meters van elkaar. Op een zeker moment slaat Dante tegen de eik. Dat is gebeurtenis A. Even later slaat Beatrice tegen de beuk, gebeurtenis B.
Jij zorgt op je fiets dat je bij de eik bent op het moment van de eerste klap. En dat je bij de beuk bent bij de tweede klap. Je fietst met een snelheid v=3/5·c, zodat γ=5/4. Het tijdinterval tussen de twee klappen, gemeten met jouw polshorloge, is de eigentijd Δt₀=12 s.
Dante blijft bij de eik. Hij meet op zijn polshorloge de 'gerekte tijd' Δt=γ·Δt₀=5/4·12=15 s. Want hij is niet bij A en B aanwezig.
Het is een goede oefening om dit af te beelden in een Minkowski-diagram.

Je vraag over perspectief…
Lengtekrimp is inderdaad een kwestie van perspectief. De stok wordt niet fysiek korter als je de lengte meet met een ander stelsel. De twee lengtemetingen verschillen doordat de twee waarnemers het niet eens zijn over wat gelijktijdig is.
Tijdrek is niet alleen een kwestie van perspectief. Dat blijkt bij voorbeeld als Dante op aarde blijft en zijn tweelingzus Beatrice met een raket op reis gaat en na jaren terugkeert. Dan blijkt dat Beatrice echt fysiek jonger is dan Dante. Dit is de zogenoemde tweelingparadox.

Benieuwd: wat is Wetenschapsschool? Zit je in het vwo (Nederland)?
Stel gerust andere vragen. Relativiteit is een leuk spelletje. Het zit logisch in elkaar.

Groet, Jaap

Dag Jaap,

Ik zit inderdaad in 5 VWO en zelf heb ik eigenlijk ook geen idee wat Wetenschapsschool is😅. Binnenkort heb ik een SE Relativiteit en daarvoor ben ik gaan surfen op het internet naar oefenopgaven, waardoor ik bij die opdracht uitkwam...

Ik heb geprobeerd uw verhaal weer te geven in een Mikowski-diagram, maar ik weet niet zeker of deze ook echt bij de situatie hoort? Ik vond het namelijk lastig om te bepalen wie ik nu als S moest zien en wie als S'...Ook heb ik de tijd tussen A en B even 8 seconde gemaakt, omdat ik daardoor assen van 10 cm kon maken. In mijn diagram is de tijd die Dante meet dan (5/4) x 8 = 10 seconde. Stel ik zou dit uit mijn diagram willen halen, hoe kan ik dat dan het beste doen? Zelf denk ik dat ik daarvoor eventueel een x'-as van Dante moet tekenen en daar iets mee moet doen, maar vanaf dat punt loop ik vast.

Groetjes,
Nina

Dag Nina,
Einstein is aardig: je mag zelf weten wat je als S en S' ziet. De uitkomst is hetzelfde.
In je figuur zie ik geen stelsel dat met v/c=3/5 beweegt ten opzichte van een ander.
Ik zie wel Beatrice bewegen ten opzichte van Dante, maar elk staat stil bij een boom.
Suggestie: plant de eik bij x=0. Geef de eik een inertiaalstelsel S met onderling loodrecht assen. De eik is in rust in S.
Teken de wereldlijn van de eik en Dante: die valt samen met de t-as van S.
Plant de beuk bij x=6 en teken de wereldlijn van de beuk en Beatrice.
Laat de oorsprong van jouw inertiaalstelsel S' samenvallen met de oorsprong van S.
Teken jouw c·t'-as en je x'-as zodat v/c=3/5.
Teken de stip van gebeurtenis A in de oorsprong.
De eigentijd, volgens jouw polshorloge, tussen A en B is 8 s.
Bij t=hoeveel van Dante is gebeurtenis B? Teken de stip van B op de goede plaats.
Plaats je hier een nieuwe figuur, dan kunnen we zien hoe de relatie Δt=γ·Δt₀ daarin zit.
Groet, Jaap

Dag Jaap,

Volgens mij is het gelukt! Als de ct' van mij op 8 zit, zit Dante op 10. Om als laatste vraag mezelf nog even te testen, heb ik de wereldlijn van Rick getekend die met 0,9c gaat en waarbij op plek C iets bij hem gebeurd. Om te bepalen wanneer dit bij Beatrice gebeurd, heb ik dan een horizontale lijn getrokken omdat dit de x'-as van Beatrice is. Zo kom ik voor haar op ongeveer 8,8 seconde. Is dit goed uitgevoerd of zit er een foutje in?

Groet,
Nina

Dag Nina,

Je nieuwe diagram in wezen goed. Enkele details…
Zet 'eik' bij Dante's wereldlijn.
De stip van B moet op de wereldlijn van de beuk, niet van de eik.
Zet ct' en de eenheid bij jouw schuine tijd-as en zet de eenheid bij je x'-as.
Zet 'Nina' bij jouw wereldlijn (valt samen met je ct'-as).

Handige regels om de andere tijd of lengte te vinden in zo'n diagram:
a. Als je met een 'loodrechte' hulplijn (jouw roze lijn) naar een 'loodrechte' as gaat, vermenigvuldig je het oude getal (hier 8 Beatrice) met γ (hier 5/4) om het nieuwe getal (10 Dante) te vinden. Korter: 'met loodrecht naar loodrecht is maal γ'.
b. Als je met een 'schuine' hulplijn (evenwijdig aan de ene schuine as) naar de andere 'schuine' as gaat, vermenigvuldig je het oude getal met γ om het nieuwe getal te vinden. Korter: 'met schuin naar schuin is maal γ'.
c. In omgekeerde richting bij a en b: deel door γ.
Tijd: 'maal γ' is tijddilatatie en 'deel door γ' is omgekeerde tijddilatatie.
Lengte: 'deel door γ' is lengtekrimp en 'maal γ' is omgekeerde lengtekrimp.

Bezoek van Rick…
Met stelsel S vindt gebeurtenis C plaats bij x=8.
Rick heeft die afstand afgelegd met een snelheid u/c=0,9.
Dat kost hem t=8/0,9=80/9=8,9 s zoals gemeten in S (Beatrice). Dat is jouw 8,8.
Vraag: in het stelsel S'' van Rick vindt C plaats op t''=hoeveel?
Zet ct'' en de eenheid bij Ricks tijd-as.
Je spreekt over 'plek C'. Maar in zo'n diagram stelt een stip een gebeurtenis voor, met een plaats en een tijdstip.

Vervolgvraag
a. Bepaal aan de hand van het diagram de snelheid w/c van Rick ten opzichte van jou.
b. Bereken die snelheid w/c met jouw v/c=3/5 en Ricks u/c=9/10 ten opzichte van S.

Je twee bijlagen van 22.11 uur zijn dezelfde figuur, lijkt het.
Je schrijft: 'Of misschien kijk ik wel erg scheef', 'Zeer waarschijnlijk ga ik ergens de mist in', 'of zit er een foutje in?'.
Ongevraagd advies: twijfel niet te snel aan Nina. Dat doen andere mensen wel ;-)

Groet, Jaap

Dag Nina,
Eventueel kan ik je ook buiten de vraagbaak helpen met de voorbereiding op je schoolexamentoets.
Wil je dat?
Groet, Jaap

Wetenschapsschool: https://www.wetenschapsschool.nl/

in de al oude traditie dat elke leraar/school zijn eigen methode schreef (gevonden via google)

Dag Jaap,

Mijn docent heeft al aangeboden voor extra bijlessen te zorgen, dus ik denk dat ik het eerst op die manier probeer. Wel enorm bedankt voor het aanbod! Voor C kom ik bij Rick op 3,8 seconde in het diagram en ook via mijn berekening. Bij vraag A van de vervolgvragen vind ik het lastig om te bepalen wat ik moet doen. Eventueel de x'as van mij tekenen en deze naar boven trekken, vervolgens opmeten hoeveel ik en Rick hebben afgelegd op de x'as en zo v berekenen? Voor vraag B heb ik mijn berekening gemaakt en opgeschreven, hierbij kom ik op 0,974c.


Groetjes,
Nina

Dag Nina,

Je berekening van het tijdstip t''_C volgens Ricks stelsel is goed.
De drie waarnemers meten verschillende tijden voor dezelfde gebeurtenis.
Let wel: ieders klok loopt normaal. De klokken werken volgens dezelfde natuurwetten, en die zijn hetzelfde voor alle waarnemers die eenparig rechtlijnig ten opzichte van elkaar bewegen. Daarom vermijd ik zinnen zoals 'de klok van Rick loopt langzamer', wat onwaar is.

De vervolgvragen kunnen nog wel wat aandacht gebruiken.
b. Ricks gegeven snelheid u/c=0,9 is ten opzichte van S. Dit is de som van jouw snelheid v/c=3/5 ten opzichte van S plus de gevraagde snelheid w/c van Rick ten opzichte van jou. In je berekening heb je gedaan alsof Rick bewoog met een snelheid van 0,9·c ten opzichte van jou.
a. Je plan klinkt goed. Een van de manieren gaat als volgt.
Trek een hulplijn evenwijdig aan je x'-as door een punt op Ricks wereldlijn, bij voorbeeld door gebeurtenis C. De hulplijn snijdt jouw wereldlijn (t'-as) in een punt P, snijdt Ricks wereldlijn bij C en snijdt de fotonlijn in punt Q. Voor jouw stelsel S' is het correct om afstanden langs de x'-as te meten, want de gebeurtenissen P, C en Q zijn simultaan in jouw S'. Meet met je geo de lengte PC in centimeters op papier. Meet ook de afstand PQ. De gevraagde snelheid van Rick ten opzichte van jou is PC/QC. Capiche?
Uitkomst bij vervolgvraag b en c: Rick beweegt met w/c=15/23.

Misschien is de opdracht van Josephine, waarnaar Theo al verwees, ook nuttig voor je.
https://www.natuurkunde.nl/vraagbaak/83147
Het is gebleken dat sommige ervaren docenten de helft van die vragen in eerste instantie niet goed beantwoorden…

Groet, Jaap