minkowski-diagram: treinlengte en seinpalen (Overal Natuurkunde katern R, opg 71)
stelde deze vraag op 04 april 2022 om 15:38. Goedemiddag,
Ik moet voor school een miskowskidiagram maken, maar kom er niet uit. Ik snap het principe, maar weet niet hoe ik de hoek moet berekenen van de x' en ct'. Zou u mij hierbij kunnen helpen. In de bijlage heb ik de hele opdracht gezet. het gaat dan om opdracht f.
Alvas bedankt!
Met vriendelijke groet,
Josephine Roelofs
Reacties
Het is belangrijk goed te snappen wat een Minkovsky diagram voorstelt, want het is een vreemde eend in de bijt van de "normale", klassieke, natuurkunde.
Het zijn feitelijk 2 x,t diagrammen in elkaar. En dan wordt t ook nog eens niet in seconden maar in afstand weergegeven. In plaats van indeling in 1 seconde eenheden wordt de afstand genomen die licht in 1 seconde aflegt, dus c.1. En bovendien is de tijdsas niet de horizontale maar vertikale as. Geen s,t maar een t,s diagram dus.
Teken eerst het gebruikelijke x,t stelsel met t in ct eenheden en x ook in eenheden ct (afgelegde weg van licht). Zo ontstaat een "vierkant" assenstelsel met gelijk grote eenheden als tijd ct en afstand x=ct
Dan vervolgens teken je de positie van de trein die met 0,25 c rijdt volgens dit stelsel. Dat betekent een vertikale schuine lijn waarbij 1 vakje horizontaal wordt afgelegd tegen 4 vakjes vertikaal (1/4=0,25). Dat is de ct' as van het bewegende stelsel. Immers, in die trein blijf je op dezelfde plek, maar verandert de tijd (de gebruikelijke Y-as waarvoor x=0 niet verandert maar de tijd langs de Y-as wel).
De x' as is dan ook bekend: die heeft ook een hoek waarbij 4 vakjes horizontaal maar 1 vakje vertikaal oplevert (en dus een spiegeling is van de tijdsas t.o.v. de lichtlijn die diagonaal door het diagram loopt: na 1 seconde ook c.1 meter afgelegd).
Alles wat gelijktijdig is zijn gebeurtenissen die op dezelfde tijdslijn liggen. Bij het stilstaande stelsel zijn het de horizontale lijnen evenwijzig aan de x-as (die voor t=0 s staat), zoals je gewend bent, maar voor het bewegende stelsel zijn het de schuin liggende lijnen evenwijdig aan de x' as.
De "stilstaande" inspecteur ziet de uiteinden van de trein precies tussen de seinpalen op 2000 m en 3000 m voorbij gaan. (erg lange trein: zo zou Amsterdam CS met Amsterdam Muiderpoort verbonden zijn!) . Je kunt alleen exact meten als je dat op hetzelfde tijdstip doet. Anders speel je vals: de positie van de voorkant eerst meten en dan, terwijl de trein rijdt, een seconde later de achterkantpositie geeft een foute lengte. Voor- en achterkant moet je gelijktijdig meten.
En dan zie je dat de momenten waarop voor- en achterkant langs de seinpalen gaan helemaal niet op hetzelfde moment plaatsvinden in het bewegende stelsel. Een reiziger in de trein zou kunnen zien dat eerst de voorkant langs de 3000 m seinpaal op tijdstip ct2' en daarna de achterkant op ct1' de 2000 m seinpaal passeert. Niks gelijktijdig dus die meting van de treinlengte is ook geen 3000-2000 want hij bewoog in de tussentijd.
Meten in het bewegende stelsel betekent ook meten op gelijke tijdstippen in dat stelsel. Dus voor een reiziger in de trein is dat langs een schuine lijn waarvoor alle tijdstippen hetzelfde zijn in dat bewegende stelsel. Dat geeft een heel andere lengte voor de trein. Een langere lengte dan gemeten vanuit het "stilstaande" stelsel van de inspecteur. Het stelsel van de inspecteur heeft een te korte lengte. Het is een beetje hersengymnastiek maar daar komt dus de stelling vandaan dat "vanuit een bewegend stelsel lijken alle afstanden korter". Daarmee bedoelen ze: korter t.o.v. wat een "stilstaande" waarnemer zou meten die zich bevindt in het stelsel waarin hij en het te meten voorwerp stilstaan. Want de meetlat in de trein en buiten de trein hebben precies dezelfde afmetingen: 1 m. De reiziger in de trein zal de treinlengte met die meetlat precies als 1030 m lang meten. Maar de inspecteur buiten de trein meet met zijn meetlat een kortere trein. Of, relatief gesproken, de reizigers vinden dat de inspecteur te weinig meters lengte meet omdat zijn meetlat (in meter eenheden) in werkelijkheid langer dan een (treinstelsel)meter is.
Geen wonder dat "relativiteitstheorie" niet al door Newton is bedacht en dat voor iedereen die er voor het eerst mee geconfronteerd wordt het erg verwarrend is met al die bewegende en stilstaande waarnemers en ook nog ongewone assenstelsels voor tijd en afstand.
Wie beweegt heeft een meetlat waarop de meter aanduiding langer is dan de "echte" ("eigen") meter en meet daarmee dus te korte afstanden. En die heeft een klok die te langzaam loopt en zo meer dan een seconde laat passeren tussen elke seconde-tik waardoor elk tijdsinterval korter lijkt omdat er minder (te lang durende) seconden verlopen. Zo heeft een bewegend stelsel lengtecontractie en tijdvertraging tov een stelsel met "eigen"lengte en tijd.
Het zijn feitelijk 2 x,t diagrammen in elkaar. En dan wordt t ook nog eens niet in seconden maar in afstand weergegeven. In plaats van indeling in 1 seconde eenheden wordt de afstand genomen die licht in 1 seconde aflegt, dus c.1. En bovendien is de tijdsas niet de horizontale maar vertikale as. Geen s,t maar een t,s diagram dus.
Teken eerst het gebruikelijke x,t stelsel met t in ct eenheden en x ook in eenheden ct (afgelegde weg van licht). Zo ontstaat een "vierkant" assenstelsel met gelijk grote eenheden als tijd ct en afstand x=ct
Dan vervolgens teken je de positie van de trein die met 0,25 c rijdt volgens dit stelsel. Dat betekent een vertikale schuine lijn waarbij 1 vakje horizontaal wordt afgelegd tegen 4 vakjes vertikaal (1/4=0,25). Dat is de ct' as van het bewegende stelsel. Immers, in die trein blijf je op dezelfde plek, maar verandert de tijd (de gebruikelijke Y-as waarvoor x=0 niet verandert maar de tijd langs de Y-as wel).
De x' as is dan ook bekend: die heeft ook een hoek waarbij 4 vakjes horizontaal maar 1 vakje vertikaal oplevert (en dus een spiegeling is van de tijdsas t.o.v. de lichtlijn die diagonaal door het diagram loopt: na 1 seconde ook c.1 meter afgelegd).
Alles wat gelijktijdig is zijn gebeurtenissen die op dezelfde tijdslijn liggen. Bij het stilstaande stelsel zijn het de horizontale lijnen evenwijzig aan de x-as (die voor t=0 s staat), zoals je gewend bent, maar voor het bewegende stelsel zijn het de schuin liggende lijnen evenwijdig aan de x' as.
De "stilstaande" inspecteur ziet de uiteinden van de trein precies tussen de seinpalen op 2000 m en 3000 m voorbij gaan. (erg lange trein: zo zou Amsterdam CS met Amsterdam Muiderpoort verbonden zijn!) . Je kunt alleen exact meten als je dat op hetzelfde tijdstip doet. Anders speel je vals: de positie van de voorkant eerst meten en dan, terwijl de trein rijdt, een seconde later de achterkantpositie geeft een foute lengte. Voor- en achterkant moet je gelijktijdig meten.
En dan zie je dat de momenten waarop voor- en achterkant langs de seinpalen gaan helemaal niet op hetzelfde moment plaatsvinden in het bewegende stelsel. Een reiziger in de trein zou kunnen zien dat eerst de voorkant langs de 3000 m seinpaal op tijdstip ct2' en daarna de achterkant op ct1' de 2000 m seinpaal passeert. Niks gelijktijdig dus die meting van de treinlengte is ook geen 3000-2000 want hij bewoog in de tussentijd.
Meten in het bewegende stelsel betekent ook meten op gelijke tijdstippen in dat stelsel. Dus voor een reiziger in de trein is dat langs een schuine lijn waarvoor alle tijdstippen hetzelfde zijn in dat bewegende stelsel. Dat geeft een heel andere lengte voor de trein. Een langere lengte dan gemeten vanuit het "stilstaande" stelsel van de inspecteur. Het stelsel van de inspecteur heeft een te korte lengte. Het is een beetje hersengymnastiek maar daar komt dus de stelling vandaan dat "vanuit een bewegend stelsel lijken alle afstanden korter". Daarmee bedoelen ze: korter t.o.v. wat een "stilstaande" waarnemer zou meten die zich bevindt in het stelsel waarin hij en het te meten voorwerp stilstaan. Want de meetlat in de trein en buiten de trein hebben precies dezelfde afmetingen: 1 m. De reiziger in de trein zal de treinlengte met die meetlat precies als 1030 m lang meten. Maar de inspecteur buiten de trein meet met zijn meetlat een kortere trein. Of, relatief gesproken, de reizigers vinden dat de inspecteur te weinig meters lengte meet omdat zijn meetlat (in meter eenheden) in werkelijkheid langer dan een (treinstelsel)meter is.
Geen wonder dat "relativiteitstheorie" niet al door Newton is bedacht en dat voor iedereen die er voor het eerst mee geconfronteerd wordt het erg verwarrend is met al die bewegende en stilstaande waarnemers en ook nog ongewone assenstelsels voor tijd en afstand.
Wie beweegt heeft een meetlat waarop de meter aanduiding langer is dan de "echte" ("eigen") meter en meet daarmee dus te korte afstanden. En die heeft een klok die te langzaam loopt en zo meer dan een seconde laat passeren tussen elke seconde-tik waardoor elk tijdsinterval korter lijkt omdat er minder (te lang durende) seconden verlopen. Zo heeft een bewegend stelsel lengtecontractie en tijdvertraging tov een stelsel met "eigen"lengte en tijd.
En het is geen wonder dat de stilstaande inspecteur de rijdende trein te kort meet: hij doet dat in zijn eigen referentiestelsel op precies hetzelfde moment t=0.
Maar volgens de reizigers meet hij op t2' (op hun klok) de positie van de achterkant van de trein, en eerder op t1' de positie van de voorkant. De trein (en dus ook de achterkant) is in die tussentijd (Δt' = t2'-t1') wat doorgereden en dus logisch dat de inspecteur in zijn eigen stelsel een te korte trein meet.
Voor twee gebeurtenissen (positie,tijd) zoals de meting van voor- en achterkant van een trein geldt dat als (x,t) de coördinaten in het ene stelsel zijn, de coördinaten (x',t') in een met snelheid v bewegend ander stelsel gegeven zijn door (Lorentztransformaties)
x' = γ (x - vt)
t' = γ (t - v/c2 x)
en daarmee intervallen als
Δx' = x2' - x1' = γ (Δx - v Δt)
Δt' = γ (Δt - v/c2 Δx)
Daarmee is de trein (Δx = 1000 m) gemeten op t=0 en Δt=0 (gelijktijdig) voor het bewegende stelsel met v= 0,25c en daarmee γ = 1,03:
Δx' = 1,03 (1000 - 0,25c ⋅ 0) = 1030 m
Δt' = 1,03 (0 - 0,25/c ⋅ 1000) = -8,6 . 10-7 s (het tijdsverschil tussen het meten van positie voor- en achterkant volgens de klokken van de reizigers - klein, maar niet nul).
Maar volgens de reizigers meet hij op t2' (op hun klok) de positie van de achterkant van de trein, en eerder op t1' de positie van de voorkant. De trein (en dus ook de achterkant) is in die tussentijd (Δt' = t2'-t1') wat doorgereden en dus logisch dat de inspecteur in zijn eigen stelsel een te korte trein meet.
Voor twee gebeurtenissen (positie,tijd) zoals de meting van voor- en achterkant van een trein geldt dat als (x,t) de coördinaten in het ene stelsel zijn, de coördinaten (x',t') in een met snelheid v bewegend ander stelsel gegeven zijn door (Lorentztransformaties)
x' = γ (x - vt)
t' = γ (t - v/c2 x)
en daarmee intervallen als
Δx' = x2' - x1' = γ (Δx - v Δt)
Δt' = γ (Δt - v/c2 Δx)
Daarmee is de trein (Δx = 1000 m) gemeten op t=0 en Δt=0 (gelijktijdig) voor het bewegende stelsel met v= 0,25c en daarmee γ = 1,03:
Δx' = 1,03 (1000 - 0,25c ⋅ 0) = 1030 m
Δt' = 1,03 (0 - 0,25/c ⋅ 1000) = -8,6 . 10-7 s (het tijdsverschil tussen het meten van positie voor- en achterkant volgens de klokken van de reizigers - klein, maar niet nul).
c) de inspecteur meet een trein van 1000 m en de snelheid ervan 0,25c.
Om van voorkant tot achterkant (een lengte van 1000 m) 1 seinpaal te passeren is dan t = 1000/0,25c seconden nodig
d) volgens de machinist is de trein 1030 m lang. De afstand tussen de seinpalen voor inspecteur is 1000 m. Maar zijn stelsel beweegt met -0,25c snelheid langs dat van de machinist. Die zal dus een lengte-contractie meten: de γ-waarde voor de machist is 1/1,03 = 0,97 (en - wonder van relativiteit de γ-waardes van beide stelsels vermenigvuldigd leveren 1 op: γinspecteur . γmachinist = 1,03 x 1/1,03 = 1)
De seinpalen staan volgens de machinist dus op onderlinge afstand 970 m - korter dan zijn trein.
e) Seinpalen 970 m uiteen. Trein rijdt (of seinpalen schieten naar achteren - relatief) met 0,25c
Het tijdsverloop tussen passeren van beide seinen met de voorkant is dan Δt' = 970/0,25c
f. Uit de tekening bij b (antwoord van 13:39 u, maar hierboven nogmaals wat aangepast) blijkt dat als de trein precies tussen de seinpalen zit volgens de inspecteur, de reizigers en machinist twee tijdstippen meten in plaats van simultaan. De achterkant wordt op t2' gemeten en dit is recenter dan de voorkant die al op t1' werd gemeten. De reizigers zien dus eerst de voorkant langs de voorste seinpaal gaan en pas daarna de achterkant langs de achterste paal.
Om van voorkant tot achterkant (een lengte van 1000 m) 1 seinpaal te passeren is dan t = 1000/0,25c seconden nodig
d) volgens de machinist is de trein 1030 m lang. De afstand tussen de seinpalen voor inspecteur is 1000 m. Maar zijn stelsel beweegt met -0,25c snelheid langs dat van de machinist. Die zal dus een lengte-contractie meten: de γ-waarde voor de machist is 1/1,03 = 0,97 (en - wonder van relativiteit de γ-waardes van beide stelsels vermenigvuldigd leveren 1 op: γinspecteur . γmachinist = 1,03 x 1/1,03 = 1)
De seinpalen staan volgens de machinist dus op onderlinge afstand 970 m - korter dan zijn trein.
e) Seinpalen 970 m uiteen. Trein rijdt (of seinpalen schieten naar achteren - relatief) met 0,25c
Het tijdsverloop tussen passeren van beide seinen met de voorkant is dan Δt' = 970/0,25c
f. Uit de tekening bij b (antwoord van 13:39 u, maar hierboven nogmaals wat aangepast) blijkt dat als de trein precies tussen de seinpalen zit volgens de inspecteur, de reizigers en machinist twee tijdstippen meten in plaats van simultaan. De achterkant wordt op t2' gemeten en dit is recenter dan de voorkant die al op t1' werd gemeten. De reizigers zien dus eerst de voorkant langs de voorste seinpaal gaan en pas daarna de achterkant langs de achterste paal.
Een collega fluisterde me in dat deze opgave leek op Overal Natuurkunde, katern Relativiteit, laatste reeks opgaven (nr 71) met wat aangepaste getallen, dus de antwoorden hebben ook andere waarden:
met bijpassend antwoord:
met bijpassend antwoord:
Paradox: trein en seinen
Dag Josephine,
Hieronder een uitwerking van de opdracht.
De inspecteur op de grond gebruikt een inertiaalstelsel S en is daarin in rust.
De machinist voorin de trein gebruikt een inertiaalstelsel S' en is daarin in rust.
a. Gegeven: 'De inspecteur ziet dat de voorkant en de achterkant van de trein de seinen gelijktijdig passeren.' 'Zien' betekent dat er fotonen van de gebeurtenis A 'achterkant van trein passeert achterste sein' naar de inspecteur bewegen en de inspecteur bereiken: dat is gebeurtenis C. Evenzo bewegen fotonen van de gebeurtenis B 'voorkant van de trein passeert het voorste sein' naar de inspecteur. Het 'zien' van een gebeurtenis op enige afstand is wezenlijk anders dan het 'meten' van die gebeurtenis. Bij zien en meten kunnen verschillende waarden van tijd en plaats horen.
De inspecteur is in rust ten opzichte van de seinen. De fotonen bereiken haar gelijktijdig. Dus de inspecteur staat midden tussen de seinen naast het spoor. De inspecteur heeft de afstand tussen de seinen gemeten als 1000 m. Bij de gebeurtenis A is de achterkant van de trein bij het ene sein en bij gebeurtenis B is de voorkant bij het andere sein. Voor de inspecteur is de lengte van de trein dan ook 1000 m.
b. De machinist in de trein meet de zogeheten eigenlengte (rustlengte) van de trein. Doordat de trein beweegt ten opzichte van de inspecteur, meet de inspecteur een kleinere treinlengte dan de eigenlengte (lengtekrimp). Het scheelt een factor γ=1/wortel(1-(v/c)²)=1/wortel(1-0,25²)=1,033. De machinist meet de eigenlengte van de trein, te weten 1000·1,033=1033 m.
c. Volgens de inspecteur moet een treinlengte van 1000 m passeren met een snelheid van 0,25·c. Dat duurt 1000/(0,25·3·108)=1,33·10–5 s. Volgens de inspecteur doet de trein over het passeren van één sein 13,3 microseconde.
d. De eigenlengte (rustlengte) van het spoor tussen de seinen is 1000 m. Doordat het spoor beweegt ten opzichte van de machinist, meet de machinist een kleinere spoorlengte dan de eigenlengte (lengtekrimp). De machinist meet de 'gekrompen spoorlengte', te weten 1000/γ=1000/1,033=968 m. Paradox: volgens de metingen van de machinist 'past' de trein (1033 m) niet tussen de seinen (spoorlengte 968 m), maar volgens de inspecteur past het wel (elk 1000 m).
e. Volgens de machinist moet een lengte van 968 m passeren met een snelheid van 0,25·c. Dat duurt 968/(0,25·3·108)=1,29·10–5 s. Tussen het moment dat de neus van de trein het achterste en het voorste sein passeert, meet de machinist een tijdinterval van 12,9 microseconde.
f. De vraag luidt: 'Wat ziet de machinist...'. We moeten dus wederom rekening houden met de tijd die een foton nodig heeft om de waarnemer te bereiken. Het onderstaande Minkowski-diagram is als volgt opgebouwd.
1. Teken de assen van het inertiaalstelsel S van de grond met de assen loodrecht op elkaar. De inspecteur is in rust bij x=0. De wereldlijn van de inspecteur valt samen met de t-as.
2. Teken de assen van het inertiaalstelsel S' van de trein met schuine assen. We laten de oorsprong van beide stelsels samenvallen.
3. Teken de gebeurtenissen A en B als stippen. Teken de lichtlijn van de fotonen van A en B naar de inspecteur. Teken de stip van gebeurtenis C als de fotonen van A en B de inspecteur bereiken.
4. Teken de verticale wereldlijn van het achterste en het voorste sein.
5. Teken de schuine wereldlijn van de achterkant en de voorkant van de trein. De laatstgenoemde is tevens de wereldlijn van de machinist, want hij zit natuurlijk voorin de trein.
6. Trek de lichtlijn van gebeurtenis A door tot de wereldlijn van de machinist. Het snijpunt is gebeurtenis D: de machinist ziet gebeurtenis A.
Gebeurtenis B 'machinist ziet dat de voorkant het voorste sein passeert' ligt lager op de wereldlijn dan D 'machinist ziet dat de achterkant het achterste sein passeert'. Zo blijkt uit het Minkowski-diagram: de machinist ziet eerst dat de voorkant het voorste sein passeert en daarna dat de achterkant het achterste sein passeert.
g. Gemeten met het treinstelsel S' zijn de gebeurtenissen A, E en F gelijktijdig. En zijn de gebeurtenissen B, G en H ook gelijktijdig. De tijd tussen H en F is de zogeheten eigentijd, 625-375=250 meter. De tijd tussen G en E is de 'gerekte tijd' 250·γ=250·1,033=258 m (tijddilatatie). In de conventionele tijdeenheid meet de machinist 258/c=258/(3·108)=8,61·10–7 s. Tussen het moment waarop de neus het voorste sein passeert en het moment waarop de achterkant het achterste sein passeert, meet de machinist een tijdinterval van 0,861 microseconde.
We kunnen dit tijdinterval ook zonder het diagram berekenen: met de Lorentztransformaties of het invariante ruimtetijdinterval. Deze worden niet in alle vwo-methoden behandeld.
Groet, Jaap
Dag Josephine,
Hieronder een uitwerking van de opdracht.
De inspecteur op de grond gebruikt een inertiaalstelsel S en is daarin in rust.
De machinist voorin de trein gebruikt een inertiaalstelsel S' en is daarin in rust.
a. Gegeven: 'De inspecteur ziet dat de voorkant en de achterkant van de trein de seinen gelijktijdig passeren.' 'Zien' betekent dat er fotonen van de gebeurtenis A 'achterkant van trein passeert achterste sein' naar de inspecteur bewegen en de inspecteur bereiken: dat is gebeurtenis C. Evenzo bewegen fotonen van de gebeurtenis B 'voorkant van de trein passeert het voorste sein' naar de inspecteur. Het 'zien' van een gebeurtenis op enige afstand is wezenlijk anders dan het 'meten' van die gebeurtenis. Bij zien en meten kunnen verschillende waarden van tijd en plaats horen.
De inspecteur is in rust ten opzichte van de seinen. De fotonen bereiken haar gelijktijdig. Dus de inspecteur staat midden tussen de seinen naast het spoor. De inspecteur heeft de afstand tussen de seinen gemeten als 1000 m. Bij de gebeurtenis A is de achterkant van de trein bij het ene sein en bij gebeurtenis B is de voorkant bij het andere sein. Voor de inspecteur is de lengte van de trein dan ook 1000 m.
b. De machinist in de trein meet de zogeheten eigenlengte (rustlengte) van de trein. Doordat de trein beweegt ten opzichte van de inspecteur, meet de inspecteur een kleinere treinlengte dan de eigenlengte (lengtekrimp). Het scheelt een factor γ=1/wortel(1-(v/c)²)=1/wortel(1-0,25²)=1,033. De machinist meet de eigenlengte van de trein, te weten 1000·1,033=1033 m.
c. Volgens de inspecteur moet een treinlengte van 1000 m passeren met een snelheid van 0,25·c. Dat duurt 1000/(0,25·3·108)=1,33·10–5 s. Volgens de inspecteur doet de trein over het passeren van één sein 13,3 microseconde.
d. De eigenlengte (rustlengte) van het spoor tussen de seinen is 1000 m. Doordat het spoor beweegt ten opzichte van de machinist, meet de machinist een kleinere spoorlengte dan de eigenlengte (lengtekrimp). De machinist meet de 'gekrompen spoorlengte', te weten 1000/γ=1000/1,033=968 m. Paradox: volgens de metingen van de machinist 'past' de trein (1033 m) niet tussen de seinen (spoorlengte 968 m), maar volgens de inspecteur past het wel (elk 1000 m).
e. Volgens de machinist moet een lengte van 968 m passeren met een snelheid van 0,25·c. Dat duurt 968/(0,25·3·108)=1,29·10–5 s. Tussen het moment dat de neus van de trein het achterste en het voorste sein passeert, meet de machinist een tijdinterval van 12,9 microseconde.
f. De vraag luidt: 'Wat ziet de machinist...'. We moeten dus wederom rekening houden met de tijd die een foton nodig heeft om de waarnemer te bereiken. Het onderstaande Minkowski-diagram is als volgt opgebouwd.
1. Teken de assen van het inertiaalstelsel S van de grond met de assen loodrecht op elkaar. De inspecteur is in rust bij x=0. De wereldlijn van de inspecteur valt samen met de t-as.
2. Teken de assen van het inertiaalstelsel S' van de trein met schuine assen. We laten de oorsprong van beide stelsels samenvallen.
3. Teken de gebeurtenissen A en B als stippen. Teken de lichtlijn van de fotonen van A en B naar de inspecteur. Teken de stip van gebeurtenis C als de fotonen van A en B de inspecteur bereiken.
4. Teken de verticale wereldlijn van het achterste en het voorste sein.
5. Teken de schuine wereldlijn van de achterkant en de voorkant van de trein. De laatstgenoemde is tevens de wereldlijn van de machinist, want hij zit natuurlijk voorin de trein.
6. Trek de lichtlijn van gebeurtenis A door tot de wereldlijn van de machinist. Het snijpunt is gebeurtenis D: de machinist ziet gebeurtenis A.
Gebeurtenis B 'machinist ziet dat de voorkant het voorste sein passeert' ligt lager op de wereldlijn dan D 'machinist ziet dat de achterkant het achterste sein passeert'. Zo blijkt uit het Minkowski-diagram: de machinist ziet eerst dat de voorkant het voorste sein passeert en daarna dat de achterkant het achterste sein passeert.
g. Gemeten met het treinstelsel S' zijn de gebeurtenissen A, E en F gelijktijdig. En zijn de gebeurtenissen B, G en H ook gelijktijdig. De tijd tussen H en F is de zogeheten eigentijd, 625-375=250 meter. De tijd tussen G en E is de 'gerekte tijd' 250·γ=250·1,033=258 m (tijddilatatie). In de conventionele tijdeenheid meet de machinist 258/c=258/(3·108)=8,61·10–7 s. Tussen het moment waarop de neus het voorste sein passeert en het moment waarop de achterkant het achterste sein passeert, meet de machinist een tijdinterval van 0,861 microseconde.
We kunnen dit tijdinterval ook zonder het diagram berekenen: met de Lorentztransformaties of het invariante ruimtetijdinterval. Deze worden niet in alle vwo-methoden behandeld.
Groet, Jaap
