Zo ziet de uitwerking eruit:

De ladingen links en rechts heffen elkaars werking op langs de X as. De enige component die niet wordt opgeheven is langs de Y-as (want de ring heeft geen onderste helft die dat zou doen).

Men bekijkt steeds een heel klein oppervlakje (langs de straal, want dikte is nul) en kijkt hoe de werking van dat oppervlakje is op punt P. Als je dat effect voor alle oppervlakjes die samen de halve ring vormen, optelt (integreert) dan heb je het effect in P.
Zo'n oppervlakje is  dr lang (van afstand r tot r+dr) en heeft een breedte (stukje van de omtrek) r dφ waarbij r dφ de booglengte is opgespannen door een klein hoekje dφ
Oppervlakte is dus  A = r dφ . dr . De lading erin is σ A ofwel  σ r dφ dr

Alle oppervlakten bij elkaar betekent integreren van R₁ tot/met R₂ (dan heb je alle oppervlakjes langs een straal) en dan over alle hoeken tussen 0 en π radialen (straal langs de halve cirkel laten vegen).

De veldsterkte E die door elk oppervlakje in P wordt gegenereerd kun je dan berekenen omdat E = f Q/r²  waarbij je dat voor al die oppervlakjes moet optellen zoals eerder aangegeven  (f = 1/(4πε₀) )

Dankjewel, dit helpt me enorm! Ik vraag me nu alleen wel nog af waar de 2 vandaan komt helemaal aan het begin van de vergelijking en waarom je vermenigvuldigt met ?

De cos φ bepaalt de veldsterkte langs de y-as met de gekozen manier van hoek-tellen (0 recht omhoog, π/2 rechts horizontaal) en de aanname dat "naar beneden" negatief in het coordinatenstelsel is:
E_y = - E cos φ 

De factor 2 komt omdat men de hoek integreert van 0 tot π/2 ipv π.  Dat is de helft van de totale bijdrage, dus maal 2 voor de hele bijdrage.

Voor de veldsterkte op een plek veroorzaakt door een ring van geladen deeltjes voer je de integratie uit als getekend (en blijft weer alleen een veld langs lijn a over). Deze methode gebruik je ook voor allerlei ringen dichterbij en verderaf en van verschillende straal: een bol die je in plakjes snijdt en elke plak in concentrische cirkels.