Relativistische snelheden optellen
stelde deze vraag op 28 juli 2021 om 13:54. Hoi,
Ik heb een vraag over het onderstaande voorbeeld over relativistische snelheden optellen. Op een gegeven moment leggen ze uit wat er gebeurt bij figuur 38b, maar ik begrijp niet hoe ze aan de gele stip komen. Ik denk dat ik vooral niet begrijp hoe ze aan die verhouding komen, waardoor ze de gele stip bepalen. Zou iemand mij kunnen helpen?
Alvast bedankt!
Groet,
Alexandra
Reacties
Dit soort opgaven met die vreemde assenstelsels jaagt aanvankelijk vrijwel iedereen in de gordijnen omdat het er zo onlogisch uitziet.
Wat je tekst zegt is dat men een assenstelsel aan het ruimtestation gekoppeld heeft. Dat station staat in dat stelsel dus "stil". Het assenstelsel erbij is het gebruikelijke rechthoekige XY-stelsel.
In dat stelsel beweegt Karel met 0,5c snelheid. Je kunt dus in het ruimtestationstelsel aangeven waar Karel zich op elk moment bevindt. Dat is de rode lijn. Voor elke afgelegde afstand van 1c is er een tijd 2s verlopen, dus de tangens van de hoek β is 1/2 .
Karel zelf heeft ook een assenstelsel dat hij meeneemt. Daarin is hij zelf in rust (en ziet het ruimtestation bewegen). Omdat hij niet van zijn plaats komt is zijn Y-as (met x=0=oorsprong=plek waar Karel blijft zitten) ook de rode lijn.
Het punt 0,0 valt samen van zowel het stelsel van Karel als van het ruimtestation: op dat moment (zelfde tijd) zijn ze op dezelfde plaats (zelfde afstand). Op dat zelfde moment verlaat een lichtstraal die positie en beweegt zich voort. De positie ervan voor elk tijdstip wordt door de gele lichtlijn weergegeven. Ook voor het licht kunnen we een assenstelsel tekenen: de positie neemt steeds met afstand c per seconde toe. Zijn positie-as in het ruimtestation stelsel is de gele diagonale lijn.
Volgens de relativiteitstheorie kan niets sneller dan het licht gaan, dus als Karel in de oorsprong ook nog een projectiel afschiet met een snelheid van 0,6 c (volgens hem), dan kan de positie van dat projectiel alleen maar een lijn zijn in het rechthoekige stelsel van het ruimtestation die ligt in het grijze gebied: sneller dan Karel (verder verwijderde positie), langzamer dan licht.
Ook voor Karel geldt dat: het projectiel beweegt sneller dan hijzelf, maar langzamer dan het licht. Dus met een bewegingslijn ergens in het grijze gebied. Ik heb die lijn blauw getekend. De hoek van de lijn is willekeurig (d.w.z. ik weet nog niet hoe groot die hoek is).
De X-as van het ruimtestation is de horizontale as. Alle punten op die as hebben dezelfde tijd. Alle lijnen evenwijdig aan de X-as zijn ook alle punten met dezelfde (andere) tijd. Dat betekent niet dat het ruimtestation al die punten ook op dat moment kan beinvloeden. De klok op het centraal station van Amsterdam wijst precies dezelfde tijd aan als de klok in Gare du Nord in Parijs maar vanuit Amsterdam kun je niet "instantaan" zien wat er in Parijs gebeurt.
De X-as van Karel is de verzameling punten die in het stelsel van Karel gelijktijdig zijn. Het is ook een schuine lijn, en wel zijn bewegingslijn gespiegeld tov de lichtlijn: de paars gekleurde lijn. De hoek α heeft dan ook een tangens gelijk aan 1/2 .
Alle lijnen evenwijdig aan die paarse lijn zijn ook alle posities waarop het dezelfde (andere) tijd heeft.
Voor het lichtdeeltje is er iets bijzonders: de positiehoek β had tangens 1 maar de tijdhoek α ook. Beide assen staan onder een hoek van 45° in het "stilstaande" stelsel ruimtestation. Beide assen vallen op elkaar. Voor een lichtdeeltje dat zijn eigen assenstelsel heeft, beweegt het niet: positie en tijd blijven gelijk. De tijd staat stil, net als de positie.
Je kunt in deze diagrammen zien dat een assenstelsel waarin een voorwerp stil staat (zoals het ruimtestation) de assen loodrecht op elkaar staan zoals je normaal gewend bent. Elk voorwerp dat erin beweegt (Karel, projectiel en lichtstraal) hebben een positie die met een schuine lijn in het bovenste schuine deel van het diagram ligt. Hoe sneller een voorwerp gaat (volgens het ruimtestation), des te meer neigt de positielijn naar de lichtlijn. Het assenstelsel van het bewegende voorwerp (waarin het zelf stilstaat) knijpt dus steeds meer samen totdat beide assen samenvallen op de lichtlijn.
Alle lijnen evenwijdig aan die paarse lijn die de X-as vormt voor Karels stelsel, zijn ook alle posities in Karels stelsel waarop dezelfde (andere) tijd t' geldt.We nemen dus een "willekeurig" gekozen copie van de paarse lijn en tekenen die later voor Karel. Dat wil zeggen, de lijn schuift omhoog.
Voor Karel is het tijdstip t' als hij zich in positie A bevindt. De lichtstraal is dan inmiddels in B aangekomen. Zelfde tijd, andere positie.
(wat voor Karel allemaal "gelijktijdige posities" zijn is helemaal niet gelijktijdig voor objecten met hun eigen assenstelsel. Voor het ruimtestation liggen alle punten met dezelfde tijd op een horizontale lijn. A en B liggen duidelijk niet op dezelfde horizontale lijn en zijn dus niet gelijktijdig voor het ruimtestation).
Alle punten op die t' lijn hebben dezelfde klokwaarde in het stelsel van Karel.
Je ziet dat die "gelijktijdigheidslijn" ook de positielijn van het projectiel doorsnijdt. De punten A, P en B hebben dezelfde tijd voor Karel. Het licht is inmiddels met snelheid c doorgereisd, het projectiel met 0,6c snelheid.
En nu zie je iets bijzonders. In het voor Karel stilstaande assenstelsel (de rood/paarse lijnen) is dat projectiel met 0,6c weggeschoten vanuit de oorsprong. Dat betekent dat de afstand die dat projectiel in Karel's assenstelsel 0,6 maal zover weg moet zijn gekomen als licht zelf. Het heeft een afstand van 0,6c x t' seconden afgelegd. Dat betekent dat de afstand AP 0,6 maal de afstand AB (c t') moet zijn. Ofwel dat AP/PB = 0,6/0,4 = 3/2
Als je dit weet, kun je nu de blauwe lijn van het projectiel nauwkeuriger tekenen en wel zodanig dat punt P op positie 0,6 AB ligt, gerekend vanuit A. En dan kun je ook zien hoe snel het projectiel dan beweegt als je dat relateert aan het rechthoekige assenstelsel van het ruimtestation.
Zonder veel werk te doen had je dit ook al kunnen "aanvoelen": niets gaat sneller dan het licht, het projectiel moet zich qua positie in het grijze gebied bevinden want alleen dan gaat het langzamer dan het licht. Maar hoe snel Karel het ook afschiet (v<c) voor het ruimtestation moet het "ergens" in het grijze gebied blijven, dus v<c. Ook al gaat Karel met 0,5c snelheid en schiet hij een projectiel af met 0,6 c snelheid (volgens hem!) dan zal het ruimtestation geen Galileïsche 1,1c meten, maar iets wat groter is dan 0,5c maar kleiner dan 1c
toppertje srt
Wat je tekst zegt is dat men een assenstelsel aan het ruimtestation gekoppeld heeft. Dat station staat in dat stelsel dus "stil". Het assenstelsel erbij is het gebruikelijke rechthoekige XY-stelsel.
In dat stelsel beweegt Karel met 0,5c snelheid. Je kunt dus in het ruimtestationstelsel aangeven waar Karel zich op elk moment bevindt. Dat is de rode lijn. Voor elke afgelegde afstand van 1c is er een tijd 2s verlopen, dus de tangens van de hoek β is 1/2 .
Karel zelf heeft ook een assenstelsel dat hij meeneemt. Daarin is hij zelf in rust (en ziet het ruimtestation bewegen). Omdat hij niet van zijn plaats komt is zijn Y-as (met x=0=oorsprong=plek waar Karel blijft zitten) ook de rode lijn.
Het punt 0,0 valt samen van zowel het stelsel van Karel als van het ruimtestation: op dat moment (zelfde tijd) zijn ze op dezelfde plaats (zelfde afstand). Op dat zelfde moment verlaat een lichtstraal die positie en beweegt zich voort. De positie ervan voor elk tijdstip wordt door de gele lichtlijn weergegeven. Ook voor het licht kunnen we een assenstelsel tekenen: de positie neemt steeds met afstand c per seconde toe. Zijn positie-as in het ruimtestation stelsel is de gele diagonale lijn.
Volgens de relativiteitstheorie kan niets sneller dan het licht gaan, dus als Karel in de oorsprong ook nog een projectiel afschiet met een snelheid van 0,6 c (volgens hem), dan kan de positie van dat projectiel alleen maar een lijn zijn in het rechthoekige stelsel van het ruimtestation die ligt in het grijze gebied: sneller dan Karel (verder verwijderde positie), langzamer dan licht.
Ook voor Karel geldt dat: het projectiel beweegt sneller dan hijzelf, maar langzamer dan het licht. Dus met een bewegingslijn ergens in het grijze gebied. Ik heb die lijn blauw getekend. De hoek van de lijn is willekeurig (d.w.z. ik weet nog niet hoe groot die hoek is).
De X-as van het ruimtestation is de horizontale as. Alle punten op die as hebben dezelfde tijd. Alle lijnen evenwijdig aan de X-as zijn ook alle punten met dezelfde (andere) tijd. Dat betekent niet dat het ruimtestation al die punten ook op dat moment kan beinvloeden. De klok op het centraal station van Amsterdam wijst precies dezelfde tijd aan als de klok in Gare du Nord in Parijs maar vanuit Amsterdam kun je niet "instantaan" zien wat er in Parijs gebeurt.
De X-as van Karel is de verzameling punten die in het stelsel van Karel gelijktijdig zijn. Het is ook een schuine lijn, en wel zijn bewegingslijn gespiegeld tov de lichtlijn: de paars gekleurde lijn. De hoek α heeft dan ook een tangens gelijk aan 1/2 .
Alle lijnen evenwijdig aan die paarse lijn zijn ook alle posities waarop het dezelfde (andere) tijd heeft.
Voor het lichtdeeltje is er iets bijzonders: de positiehoek β had tangens 1 maar de tijdhoek α ook. Beide assen staan onder een hoek van 45° in het "stilstaande" stelsel ruimtestation. Beide assen vallen op elkaar. Voor een lichtdeeltje dat zijn eigen assenstelsel heeft, beweegt het niet: positie en tijd blijven gelijk. De tijd staat stil, net als de positie.
Je kunt in deze diagrammen zien dat een assenstelsel waarin een voorwerp stil staat (zoals het ruimtestation) de assen loodrecht op elkaar staan zoals je normaal gewend bent. Elk voorwerp dat erin beweegt (Karel, projectiel en lichtstraal) hebben een positie die met een schuine lijn in het bovenste schuine deel van het diagram ligt. Hoe sneller een voorwerp gaat (volgens het ruimtestation), des te meer neigt de positielijn naar de lichtlijn. Het assenstelsel van het bewegende voorwerp (waarin het zelf stilstaat) knijpt dus steeds meer samen totdat beide assen samenvallen op de lichtlijn.
Alle lijnen evenwijdig aan die paarse lijn die de X-as vormt voor Karels stelsel, zijn ook alle posities in Karels stelsel waarop dezelfde (andere) tijd t' geldt.We nemen dus een "willekeurig" gekozen copie van de paarse lijn en tekenen die later voor Karel. Dat wil zeggen, de lijn schuift omhoog.
Voor Karel is het tijdstip t' als hij zich in positie A bevindt. De lichtstraal is dan inmiddels in B aangekomen. Zelfde tijd, andere positie.
(wat voor Karel allemaal "gelijktijdige posities" zijn is helemaal niet gelijktijdig voor objecten met hun eigen assenstelsel. Voor het ruimtestation liggen alle punten met dezelfde tijd op een horizontale lijn. A en B liggen duidelijk niet op dezelfde horizontale lijn en zijn dus niet gelijktijdig voor het ruimtestation).
Alle punten op die t' lijn hebben dezelfde klokwaarde in het stelsel van Karel.
Je ziet dat die "gelijktijdigheidslijn" ook de positielijn van het projectiel doorsnijdt. De punten A, P en B hebben dezelfde tijd voor Karel. Het licht is inmiddels met snelheid c doorgereisd, het projectiel met 0,6c snelheid.
En nu zie je iets bijzonders. In het voor Karel stilstaande assenstelsel (de rood/paarse lijnen) is dat projectiel met 0,6c weggeschoten vanuit de oorsprong. Dat betekent dat de afstand die dat projectiel in Karel's assenstelsel 0,6 maal zover weg moet zijn gekomen als licht zelf. Het heeft een afstand van 0,6c x t' seconden afgelegd. Dat betekent dat de afstand AP 0,6 maal de afstand AB (c t') moet zijn. Ofwel dat AP/PB = 0,6/0,4 = 3/2
Als je dit weet, kun je nu de blauwe lijn van het projectiel nauwkeuriger tekenen en wel zodanig dat punt P op positie 0,6 AB ligt, gerekend vanuit A. En dan kun je ook zien hoe snel het projectiel dan beweegt als je dat relateert aan het rechthoekige assenstelsel van het ruimtestation.
Zonder veel werk te doen had je dit ook al kunnen "aanvoelen": niets gaat sneller dan het licht, het projectiel moet zich qua positie in het grijze gebied bevinden want alleen dan gaat het langzamer dan het licht. Maar hoe snel Karel het ook afschiet (v<c) voor het ruimtestation moet het "ergens" in het grijze gebied blijven, dus v<c. Ook al gaat Karel met 0,5c snelheid en schiet hij een projectiel af met 0,6 c snelheid (volgens hem!) dan zal het ruimtestation geen Galileïsche 1,1c meten, maar iets wat groter is dan 0,5c maar kleiner dan 1c
toppertje srt
P.S.
Zou je Karels stelsel als rechthoekig nemen ipv dat van het ruimtestation, dan beweegt het ruimtestation relatief tov Karel naar achteren met een lijn die een hoek β met tangens - 1/2 maakt. Dat betekent dat het assenstelsel van het ruimtestation "opengebogen" wordt (zoals in het geval van het ruimtestation als rechthoekig, Karels stelsel "samengeknepen" is).
Voor de volledigheid zijn de assen nu ook doorgetrokken voor negatieve tijden (het "verleden") ook getekend.
En als je nu het projectiel met 0,6 c snelheid afschiet in de oorsprong (als lichtstraal en ruimtestation en Karel zich op dat moment allemaal op dezelfde positie en tijd bevinden) dan zie je dat de gelijktijdigheid voor Karel nu een horizontale lijn is en dat dezelfde punten A,P en B op die lijn liggen en dat op dat moment (t') de afstand door het projectiel afgelegd (AP) 0,6 x de afstand is die de lichtstraal al heeft afgelegd (1c)
Zou je Karels stelsel als rechthoekig nemen ipv dat van het ruimtestation, dan beweegt het ruimtestation relatief tov Karel naar achteren met een lijn die een hoek β met tangens - 1/2 maakt. Dat betekent dat het assenstelsel van het ruimtestation "opengebogen" wordt (zoals in het geval van het ruimtestation als rechthoekig, Karels stelsel "samengeknepen" is).
Voor de volledigheid zijn de assen nu ook doorgetrokken voor negatieve tijden (het "verleden") ook getekend.
En als je nu het projectiel met 0,6 c snelheid afschiet in de oorsprong (als lichtstraal en ruimtestation en Karel zich op dat moment allemaal op dezelfde positie en tijd bevinden) dan zie je dat de gelijktijdigheid voor Karel nu een horizontale lijn is en dat dezelfde punten A,P en B op die lijn liggen en dat op dat moment (t') de afstand door het projectiel afgelegd (AP) 0,6 x de afstand is die de lichtstraal al heeft afgelegd (1c)
N.a.v. een vraag hierbij dan ook nog maar eens de grafiek gezien vanuit het projectiel. Hierbij zijn de rechthoekige assen die van het projectief. In de loop van de tijd blijft het op dezelfde plek (in zijn eigen stelsel) en beweegt alleen langs de tijd-as.
Intussen is alleen bekend dat Karel, die het projectiel met 0,6c afschoot, zelf met een snelheid -0,6 c achteruit beweegt. Karel beweegt zelf niet en zijn positie verandert alleen in het projectielstelsel omdat het projectiel to.v. Karel met snelheid 0,6c beweegt.
Wat onbekend is, is hoe snel het ruimtestation dan beweegt t.o.v. het projectiel. Het is weliswaar met 0,5 c t.o.v. Karel, maar de assen van het ruimtestation zijn in de grafiek niet meteen te tekenen.
In de oorsprong 0,0 waren alle voorwerpen met hun eigen stelsels in dezelfde positie en tijd en vallen de oorsprongen samen. Daarna, op een willekeurig tijdstip t' (punt A) kunnen we de lijn van gelijktijdigheid voor Karel tekenen volgens zijn assenstelsel. Daarin heeft het licht dan inmiddels een afstand AB afgelegd met een snelheid c, het ruimtestation t.o.v. Karel slechts de helft van wat het licht heeft afgelegd: punt P is halverwege AB. De tijdas voor het ruimtestation is dan ook door 0,0 en punt P. De ruimte-as gespiegeld tov de lichtlijn.
Intussen is alleen bekend dat Karel, die het projectiel met 0,6c afschoot, zelf met een snelheid -0,6 c achteruit beweegt. Karel beweegt zelf niet en zijn positie verandert alleen in het projectielstelsel omdat het projectiel to.v. Karel met snelheid 0,6c beweegt.
Wat onbekend is, is hoe snel het ruimtestation dan beweegt t.o.v. het projectiel. Het is weliswaar met 0,5 c t.o.v. Karel, maar de assen van het ruimtestation zijn in de grafiek niet meteen te tekenen.
In de oorsprong 0,0 waren alle voorwerpen met hun eigen stelsels in dezelfde positie en tijd en vallen de oorsprongen samen. Daarna, op een willekeurig tijdstip t' (punt A) kunnen we de lijn van gelijktijdigheid voor Karel tekenen volgens zijn assenstelsel. Daarin heeft het licht dan inmiddels een afstand AB afgelegd met een snelheid c, het ruimtestation t.o.v. Karel slechts de helft van wat het licht heeft afgelegd: punt P is halverwege AB. De tijdas voor het ruimtestation is dan ook door 0,0 en punt P. De ruimte-as gespiegeld tov de lichtlijn.
