Dag Fleur, Anne,

begrijp ik goed dat de formule daar van onder bij 4c is gegeven, m.a.w. dat je die niet zelf hebt bedacht?  En dat in dit verhaal behoorlijk slordig wordt omgegaan met grote en kleine t's, m.a.w. dat grote T en kleine t eigenlijk hetzelfde betekenen? 

Zo nee, leg dan uit wat er wèl aan de hand is.

Zo ja:

• de richtingscoëfficiënt van je grafiek bepaal je uit t²/h 
• zonder t²/h af uit je formule en noem dat "rico"
• herschrijf dan je formule verder tot
  rico * iets = (termen met r)
• en dan is het verder algebra, hoewel die op het eerste zicht inderdaad verre van eenvoudig is, om te eindigen met
  r= (iets met rico)*(iets met constanten) 

Anders zie ik het zo 123 ook niet

Groet, Jan

Dag Fleur,

Dit gaat over opdracht 4. Volgens de gegeven formule bij 4c is de stuitfactor r de factor waarmee de snelheid van de bal verandert bij een stuit. Dat wil zeggen v_op=r·v_neer met v_neer is de neerwaartse snelheid waarmee de bal de grond treft en v_op is de snelheid waarmee de bal onmiddellijk na het stuiten omhoog beweegt. De stuitfactor is een eenheidloos getal tussen 0 en 1.
Hierna wordt de formule afgeleid (i) en gebruikt om r te bepalen aan de hand van de meetwaarden (ii).

(i) Voor de vrije val vanuit rust na loslaten geldt h=½·g·Δt² → Δt=√(2·h/g)
Energiebehoud bij vrije val vanuit rust: m·g·h=½·m·v_neer² →
de bal komt op de grond met v_neer=√(2·g·h).
De snelheid waarmee de bal na het stuiten loskomt, is v_op=r·v_neer.
Voor de beweging omhoog tot de volgende top geldt v_op=g·Δt → Δt=v_op/g
Omlaag tot de grond kost even veel tijd →
van grond tot weer grond kost Δt=2·v_op/g=2/g·r·v_neer=2/g·r·√(2·g·h)=2·r·√(2·h/g)
Dat is een factor 2·r maal de tijdsduur van de eerste val vanaf het loslaten.
Evenzo duurt de volgende op- en neergaande beweging 2·r² maal de eerste Δt enzovoort, totdat de bal stilligt.
Voor de totale tijdsduur tot de bal stilligt, geldt
T=√(2·h/g)+2·r·√(2·h/g)+2·r²·√(2·h/g)+2·r³·√(2·h/g)+…
T=√(2·h/g)·[1+2·r+2·r²+2·r³+…]=√(2·h/g)·[2·(1+r+r²+r³+…)–1]
Binas tabel 36H: de som van de meetkundige reeks 1+r+r²+r³+… is 1/(1–r)
2·(1+r+r²+r³+…)–1=2·1/(1–r)–1=2/(1–r)–1=(1+r)/(1–r)
zodat inderdaad T=√(2·h/g)·(1+r)/(1–r)

(ii) 4a Kwadrateren geeft T²=2/g·[(1+r)/(1–r)]²·h
In een diagram met verticaal T² tegen horizontaal h verwachten we een stijgende, rechte grafiek door de oorsprong. De richtingscoëfficiënt is rico=2/g·[(1+r)/(1–r)]².
4b Dat is ook de grafiek die je waarneemt, mits je de horizontale as laat beginnen bij h=0 m en niet vanaf h=20 cm.
4c De rechte grafiek door de oorsprong die het best aansluit bij de gemeten h en T² uit je tabel, heeft rico=10,929 s²/m.
rico=2/g·[(1+r)/(1–r)]² → (1+r)/(1–r)=√(g·rico/2)=7,322 →
de stuitfactor is r=(7,322–1)/(7,322+1)=0,76
Controle bij h=1,45 m →
√(2·h/g)·(1+r)/(1–r)=√(2·1,45/9,81)·(1+0,76)/(1–0,76)=3,98 s
Dit stemt redelijk overeen met de gemeten T=4,05 s.

Groet, Jaap