Reacties
Jaap
op
31 december 2005 om 02:12
Dag Veerle,
Een mogelijke visuele voorstelling
Eerst bevinden de beide puntmassa's zich elk op een uiteinde van de balk, op een afstand r1=lengte/2=2,50/2=1,25 m vanaf de rotatie-as door het midden van de balk.
Daarna verschuiven de massa's naar een nieuwe afstand r2=1,25-0,29=0,96 m vanaf de as.
Hoe de hoeksnelheid te berekenen
De sleutel tot de oplossing is de wet van behoud van impulsmoment L. De wet geldt omdat de rotatie-as een hoofdas van de balk is en omdat de uitwendige krachten (Fz) geen draaimoment op het geheel uitoefenen. (Hopelijk is de wrijving verwaarloosbaar.)
Situatie 1
L=I1*omega1 met I1=traagheidsmoment in situatie 1 en omega1=hoeksnelheid in situatie 1.
Het traagheidsmoment van balk+puntmassa's is de som van de afzonderlijke traagheidsmomenten.
Eén puntmassa mp > I=mp*r²=30*1,25²=46,875. Twee puntmassa's twee maal zoveel.
Balk met massa mb > I=1/12*mb*lengte²=1/12*15*2,50²=7,8125. Totale traagheidsmoment I1=2*46,875+7,8125=101,5625
ω1=2*π/T=2*pi/(60/7)=0,733 rad/s (eigenlijk met 1 significant cijfer; daarom ω2 later ook)
L=I1*ω1=101,5625*0,733=74,449
Situatie 2
Eén puntmassa > I=mp*r²=30*0,96²=27,648.
Traagheidsmoment van de balk ongewijzigd.
Totale traagheidsmoment I2=2*27,648+7,8125=63,1085
Uit L=I2*ω2 volgt ω2=L/I2=74,449/63,1085=1 rad/s [1,1797 rad/s]
Een mogelijke visuele voorstelling
Eerst bevinden de beide puntmassa's zich elk op een uiteinde van de balk, op een afstand r1=lengte/2=2,50/2=1,25 m vanaf de rotatie-as door het midden van de balk.
Daarna verschuiven de massa's naar een nieuwe afstand r2=1,25-0,29=0,96 m vanaf de as.
Hoe de hoeksnelheid te berekenen
De sleutel tot de oplossing is de wet van behoud van impulsmoment L. De wet geldt omdat de rotatie-as een hoofdas van de balk is en omdat de uitwendige krachten (Fz) geen draaimoment op het geheel uitoefenen. (Hopelijk is de wrijving verwaarloosbaar.)
Situatie 1
L=I1*omega1 met I1=traagheidsmoment in situatie 1 en omega1=hoeksnelheid in situatie 1.
Het traagheidsmoment van balk+puntmassa's is de som van de afzonderlijke traagheidsmomenten.
Eén puntmassa mp > I=mp*r²=30*1,25²=46,875. Twee puntmassa's twee maal zoveel.
Balk met massa mb > I=1/12*mb*lengte²=1/12*15*2,50²=7,8125. Totale traagheidsmoment I1=2*46,875+7,8125=101,5625
ω1=2*π/T=2*pi/(60/7)=0,733 rad/s (eigenlijk met 1 significant cijfer; daarom ω2 later ook)
L=I1*ω1=101,5625*0,733=74,449
Situatie 2
Eén puntmassa > I=mp*r²=30*0,96²=27,648.
Traagheidsmoment van de balk ongewijzigd.
Totale traagheidsmoment I2=2*27,648+7,8125=63,1085
Uit L=I2*ω2 volgt ω2=L/I2=74,449/63,1085=1 rad/s [1,1797 rad/s]
Veerle
op
01 januari 2006 om 18:51
Bedankt voor de uitleg. Wat ik enkel niet snap is hoe u aan 1/12 * 15 komt? Ik bekom daarbij nl 1/8 :? kan u dat nog even verduidelijken?bedankt!
Jaap
op
01 januari 2006 om 19:38
Dag Veerle,
Bedankt voor uw reactie.
Een afleiding van de formule voor het traagheidsmoment I van de balk kunt u in deze vraagbaak vinden bij het onderwerp hoeksnelheid en kinE van 4 december 2005.
Voor de balk geldt I=(1/12)*mb*lengte²=(1/12)*15*2,50²=7,8125 kg*m².
De factor 1/12 geldt voor een homogene dunne staaf (onze balk) die roteert om een as loodrecht op de lengterichting van de balk, door het midden van de balk. De 15 is de massa van de balk.
Bedankt voor uw reactie.
Een afleiding van de formule voor het traagheidsmoment I van de balk kunt u in deze vraagbaak vinden bij het onderwerp hoeksnelheid en kinE van 4 december 2005.
Voor de balk geldt I=(1/12)*mb*lengte²=(1/12)*15*2,50²=7,8125 kg*m².
De factor 1/12 geldt voor een homogene dunne staaf (onze balk) die roteert om een as loodrecht op de lengterichting van de balk, door het midden van de balk. De 15 is de massa van de balk.
Veerle
op
06 januari 2006 om 16:12
Bedankt voor uw reactie.na wat zoekwerk zie ik dat we dus voor deze homogene balk een elementair deeltje moeten nemen nl 15/2,5 (totale massa per lentgte)en dan de intergraal nemen I = INT 2x² (hoe komt met aan deze formule?)Het schijnt vergelijkbaar te zijn met het roteren vaneen holle cillinder....en -zoals gevraagd is- geldt de formule voor de hoekfresuentie: I1*v= I2*v waarbij v= frequentie?mvg
Jaap
op
06 januari 2006 om 21:50
Dag Veerle,
De formule I1*v= I2*v met v=frequentie=aantal omwentelingen per seconde, geldt niet. Als er geen uitwendig moment op het roterende systeem wordt uitgeoefend, is wel de rotatie-energie E=1/2*I*ω² constant, zodat I1*ω1²=I2*ω2², met I is het traagheidsmoment en ω is de hoeksnelheid, ω=2*pi/T.
U schrijft: "na wat zoekwerk zie ik dat we dus voor deze homogene balk een elementair deeltje moeten nemen nl 15/2,5 (totale massa per lentgte) en dan de intergraal nemen I = INT 2x² (hoe komt met aan deze formule?)"
Waar heeft u dit gevonden? Ik herken het niet. Ik begrijp niet wat wordt bedoeld met "I = INT 2x²". Wordt met I het traagheidsmoment bedoeld? Hoe komen we aan die factor 2? Stelt x de afstand tussen het elementaire deeltje en de rotatie-as voor?
Bij Sabiens onderwerp van 4 december staat de volgende afleiding van het traagheidsmoment I van de balk (een dunne, homogene staaf met uniforme doorsnede). Definitie: I=integraal[R² dm] met dm is de massa van een klein element met volume dV; R is de afstand tussen het element en de gekozen rotatie-as. Voor dm noteren we rho*dV, zodat I=int[rho*R² dV] en voor een homogene staaf I=rho*int[R² dV]. Bij onze lange, dunne staaf met een as loodrecht op de staaf speelt slechts de lengterichting x een rol, zodat I=rho*int[x² dV]. Verder is het volume-element dV=A*dx=doorsnede*lengte, en voor een staaf met uniforme doorsnede geldt dan I=rho*int[x²*A dx]=rho*A*int[x² dx]=rho*A*(1/3 x^3) De as gaat door het midden, zodat we integreren van x=-L/2 tot x=+L/2 > I=rho*A*1/3*[(+L/2)^3-(-L/2)^3]=rho*A*1/3*[(L^3)/8-(-L^3)/8]=rho*A*(1/3)*(L^3)/4 I=(1/3)*(1/4)*rho*A*L^3=(1/12)*rho*(A*L)*L²=(1/12)*rho*V*L²=(1/12)*m*L² I=1/12*m*L² Voor onze balk (zonder de beide massa's van 30 kg erop) is het traagheidsmoment I=(1/12)*m*L²=(1/12)*15*2,5²=7,8 kg*m² [7,8125]
De formule I1*v= I2*v met v=frequentie=aantal omwentelingen per seconde, geldt niet. Als er geen uitwendig moment op het roterende systeem wordt uitgeoefend, is wel de rotatie-energie E=1/2*I*ω² constant, zodat I1*ω1²=I2*ω2², met I is het traagheidsmoment en ω is de hoeksnelheid, ω=2*pi/T.
U schrijft: "na wat zoekwerk zie ik dat we dus voor deze homogene balk een elementair deeltje moeten nemen nl 15/2,5 (totale massa per lentgte) en dan de intergraal nemen I = INT 2x² (hoe komt met aan deze formule?)"
Waar heeft u dit gevonden? Ik herken het niet. Ik begrijp niet wat wordt bedoeld met "I = INT 2x²". Wordt met I het traagheidsmoment bedoeld? Hoe komen we aan die factor 2? Stelt x de afstand tussen het elementaire deeltje en de rotatie-as voor?
Bij Sabiens onderwerp van 4 december staat de volgende afleiding van het traagheidsmoment I van de balk (een dunne, homogene staaf met uniforme doorsnede). Definitie: I=integraal[R² dm] met dm is de massa van een klein element met volume dV; R is de afstand tussen het element en de gekozen rotatie-as. Voor dm noteren we rho*dV, zodat I=int[rho*R² dV] en voor een homogene staaf I=rho*int[R² dV]. Bij onze lange, dunne staaf met een as loodrecht op de staaf speelt slechts de lengterichting x een rol, zodat I=rho*int[x² dV]. Verder is het volume-element dV=A*dx=doorsnede*lengte, en voor een staaf met uniforme doorsnede geldt dan I=rho*int[x²*A dx]=rho*A*int[x² dx]=rho*A*(1/3 x^3) De as gaat door het midden, zodat we integreren van x=-L/2 tot x=+L/2 > I=rho*A*1/3*[(+L/2)^3-(-L/2)^3]=rho*A*1/3*[(L^3)/8-(-L^3)/8]=rho*A*(1/3)*(L^3)/4 I=(1/3)*(1/4)*rho*A*L^3=(1/12)*rho*(A*L)*L²=(1/12)*rho*V*L²=(1/12)*m*L² I=1/12*m*L² Voor onze balk (zonder de beide massa's van 30 kg erop) is het traagheidsmoment I=(1/12)*m*L²=(1/12)*15*2,5²=7,8 kg*m² [7,8125]
