Met ⟨E⟩ wordt de gemiddelde energie bedoeld. Met  |Ψ(x)| wordt de absolute waarde van de golffuctie Ψ(x) bedoeld. Per definitie geldt: |Ψ(x)| = Ψ(x) als Ψ(x)≥0 en |Ψ(x)| = -Ψ(x) als Ψ(x)<0.

Dat eerste is duidelijk. Maar mag je ook wel Ψ²(x) noteren in plaats van |Ψ(x)|². Een kwadraat is immers altijd positief.
Anne

Quantum mechanica is grotendeels op waarschijnlijkheden gebaseerd: kansen een deeltje ergens aan te treffen. "populair" gezegd heeft elk deeltje een waarschijnlijkheidsgolf - niks anders dan een golf-achtig grafiekje dat voor elke positie x aangeeft hoe groot de kans is het deeltje daar aan te treffen. De complete oppervlakte onder de grafiek is 1 (want dat het deeltje ERGENS zit is 100% - alleen: waar? Zolang je niet meet kan het overal zitten. Net als al die staatsloten. Iedereen heeft kans de winnaar te zijn. Totdat de trekking is en 1 persoon de winaar is. Bij deeltjes weten we dan waar het deeltje is en "vouwt de waarschijnlijksgolf zich samen" ("collapse of the wave").)

Notaties als <x|s> zijn niks anders dan een enkel (complex) getal dat de waarschijnlijkheid aangeeft dat een deeltje bij positie x aankomt als het bij s vertrekt.  De x en s kunnen ook wel staan voor "de toestand x vanuit de toestand s". Ik meen te herinneren dat Paul Dirac deze notatiewijze ooit bedacht.

ψ is de zogenaamde Schodingervergelijking en ψ² het kwadraat ervan. De |x| zijn de bekende wiskundige "absolute waarde" symbolen: dat wat tussen de strepen staat wordt positief weergegeven. Dus |5| = 5  maar |-5| = 5   
En daarbij hebben de strepen ook een haakjesfunctie:  |a+b|² = |a² + 2ab + b²|  en niet |a|² + |b|²

Fijn het duidelijker geworden. Bedankt voor de uitleg. Misschien mag ik dan nog even een soort aanvullende vraag stellen. Het heeft er ook wel mee te maken.
De waarschijnlijkheid om een deeltje aan te treffen op positie x is het kwadraat van de golffunctie op dat moment begrijp ik |ψ(x)|². Bij de deeltjesteheorie geldt dat de intensiteit van een deeltje het kwadraat van de amplitude. Waarom is dat het kwadraat en niet gewoon de intensiteit zelf ?
Anne

De "golffunctie" is en complexe functie Ψ (met een reeel en imaginair deel),  waarbij ψ de waarschijnlijkheidamplitude is.
De waarschijnlijkheid die bij de golffunctie hoort is  P = |ψ|² .

Omdat die functie een reeel en imaginair deel heeft mag je niet alleen het reele deel nemen als amplitude en dat kwadrateren.
Maar al dit gepraat heeft pas zin als je je in de quantum mechanica en al zijn (on)mogelijkheden verdiept. Da's universitair rekenwerk en bijbehorend natuurkundige modellen. Niet iets voor een forum als dit waar hooguit een dun bovenlaagje wordt afgetast.