>Een duikplank trilt met een frequentie van 5Hz. Hoe mag de amplitude van het uiteinde van de plank maximaal zijn vooraleer dat een steentje dat op het uiteinde ligt, zich tijdens de trilling van de duikplank niet zou losmaken?

Zo'n steentje is onder invloed van de zwaartekracht. En heeft daarmee een versnelling naar beneden (g). De beweging van een voorwerp is het gevolg van de resulterende kracht. Dus wanneer gaat dat steentje (ik neem aan dat dat gevraagd wordt) los van de trillende plank? Alleen dan, als de resulterende kracht (opwaarts van plank, neerwaarts van zwaartekracht) omhoog wijst. Dan is de versnelling omhoog en schiet het steentje los en omhoog.

>Om deze bol een uitwijking van 0,1 meter uit de evenwichtstand

De bladveer in rust met de bol bevestigd staat al doorgebogen door dat gewicht neem ik aan.
Voor uitrekken van een veer geldt F = (-)Cu dus C = (-)F/u en kan berekend worden. (De - hoort erbij als we expliciet maken dat F en u als vectoren tegengesteld gericht zijn).
De eigentrilling die dan uitgevoerd wordt bij loslaten is  T = 2π√(m/C).  De beginfase is bij u maximaal uitgerekt (0,1 m uit evenwichtsstand). Van daaruit zal de bol omhoog bewegen via evenwichtsstand tot maximum.  Dus de formule   u(t) = A sin (2πft) moet je aanpassen aan de randvoorwaarden (t=0 geeft u(t) = A, dus  2πft als argument moet niet 0 maar 1 opleveren als sinus... wat dan weer een cosinus functie kan opleveren.

>Een duikplank trilt met een frequentie van 5Hz. Hoe mag de amplitude van het uiteinde van de plank maximaal zijn vooraleer dat een steentje dat op het uiteinde ligt, zich tijdens de trilling van de duikplank niet zou losmaken?
In het boek staat dat het 1 cm is. Hoe kunne we het vinden?

>Een lange stalen bladveer is aan één zijde vastgeklemd. Aan het andere uiteinde is een bol bevestigd met een massa van 2,0 kg. Om deze bol een uitwijking van 0,1 meter uit de evenwichtstand te geven is een kracht nodig van 4,0 N. Als de bol wordt losgelaten ontstaat een HT. Schrijf de plaatsfunctie voor de bol.
Dus de plaatsfunctie wort y(t) = 0,1 meter . sin(4,6 . t + Φ) met Φ = pi/2

Hartelijk bedankt!
Mvg

>Hoe kunnen we het vinden?

Dat probeer ik aan te geven. Er is een kracht (of versnelling door die kracht) nodig. Als die plank zwiept, wat is dan de versnellingsfunctie van het uiteinde van die plank? Met name nabij de omkeerpunten?
Tel daar de zwaartekracht g bij op (of trek die af) en wat is het resultaat?

>Dus de plaatsfunctie wordt y(t) = 0,1 meter . sin(4,6 . t + Φ) met Φ = pi/2

Ik vind lichtelijk andere waarden voor T (1,41s) en f (=1/T =0,712 Hz) zodat jouw 4,6 voor mij 4,47 is. Bovendien wordt de uitwijking, afhankelijk van tekenafspraak, positief of negatief weergegeven. Als ik voor negatief (naar beneden getrokken) ga, dan kom ik ook bijna op wat jij vindt:
u(t) = - 0,1 sin (4,47t + π/2)      En  laat sin (α + π/2) = cos α  zijn...
Dus u(t) = - 0,1 cos 4,47t  is ook goed.

> Hoe kunnen we het vinden?
De versnellingsfunctie => a(t) = -A.ω².sin(ω.t + Φ)
Zwaartekracht g = 9,81 m/s²
f = 5Hz en T = 1/f Dus f = 1/T <=> T = 1/5 => T = 0,20 seconden

>Dus de plaatsfunctie wordt y(t) = 0,1 meter . sin(4,47 . t + Φ) met Φ = pi/2
Maar waarom is Φ gelijk aan pi/2?

Een dergelijke vaste bijtelling bij een hoek is om altijd een andere hoek te nemen, ipv φ krijg je dan φ+Φ . Daardoor kun je "corrigeren" op een beginwaarde.
Bij de zwemplank zie ik dat niet zo zitten. Voor t=0 zou je de evenwichtsstand kunnen nemen en dan is de vergelijking sin 2πft . Dat is anders dan bij de bladveer waar t=0 met een uitgerekte toestand overeenkwam.

De versnelling die je uitrekende als -Aω² sin 2πft is maximaal als de sinusfunctie een 1 geeft. Dan is de versnelling -Aω²  Wanneer is die nu in groottte groter dan +g zodat de steen omhoog gezwiept wordt?

Dag As,
Wat betreft de bladveeroefening...
De veerconstante van de bladveer is C=F/u=4,0/0,1=40N/m
De hoekfrequentie van een harmonische trilling is ω=√(C/m)=√(40/2)=4,47Hz
aangenomen dat de massa van de bladveer verwaarloosbaar is.
De uitwijking van de bol is u(t)=A⋅sin(ω⋅t+α) of u(t)=A⋅cos(ω⋅t+α)
met α is de beginfase (de fase op t=0).
Indien de bol wordt losgelaten in het bovenste omkeerpunt, geldt u(t)=A⋅cos(ω⋅t)
Indien de bol wordt losgelaten in het onderste omkeerpunt, geldt u(t)= -A⋅cos(ω⋅t)
met A=0,01m en ω=4,47Hz. Zo uitgedrukt, is de beginfase α nul
en hoeft deze niet te worden berekend of afgelezen in een diagram.

Correctie: A=0,01m moet zijn A=0,1m.

Dag As,
Wat betreft de duikplank-oefening...
De steen zal zich losmaken van de duikplank als de duikplank een grotere neerwaartse versnellling heeft dan de steen. Voor de maximale amplitude waarbij de steen zich niet zal losmaken, kijken we naar het bovenste omkeerpunt. Daar is de versnelling van de steen is de valversnelling g= -9,81m/s², omdat de duikplank hier geen kracht op de steen uitoefent. In dit omkeerpunt is de versnelling van het uiteinde van de duikplank a= -4⋅π²⋅A⋅f², zijnde de tweede afgeleide van de uitwijking u(t)=A⋅sin(2⋅π⋅f⋅t) in het bovenste omkeerpunt.
De maximale amplitude waarbij de steen zich niet losmaakt, vinden we door -4⋅π²⋅A⋅f² gelijk te stellen aan -9,81m/s².

Theo noteert om 14:03 uur: 'Dus wanneer gaat dat steentje (ik neem aan dat dat gevraagd wordt) los van de trillende plank? Alleen dan, als de resulterende kracht (opwaarts van plank, neerwaarts van zwaartekracht) omhoog wijst. Dan is de versnelling omhoog en schiet het steentje los en omhoog.'
Dat lijkt me hier niet van toepassing. Een resulterende kracht omhoog werkt op de steen in elk punt tussen de evenwichtsstand (met de steen op de duikplank) en het onderste omkeerpunt, maar de steen maakt zich niet los van de duikplank. Om de steen zich te laten losmaken van de duikplank, is geen resulterende kracht omhoog nodig. Op het moment van losmaken, is de versnelling van de steen niet omhoog maar omlaag gericht; en schiet de steen niet omhoog maar begint hij vanuit rust te vallen.

>De steen zal zich losmaken van de duikplank als de duikplank een grotere neerwaartse versnellling heeft dan de steen.

Da's ook niet helemaal waar. Je maakt je los als je vertikale hoogte groter is dan de vertikale hoogte van de plank. Die hoogte ontstaat uit versnelling, snelheid en beginhoogte (evenwicht maar op 0 stellen) zodat voor plank en blokje geldt   h(t) = -1/2 a(t) t² + v(t) t 
De versnelling en snelheid zijn beiden functies van de tijd en niet constant. Dat maakt het probleem een interessant modelleringsprobleem.

Maar je hebt gelijk: het is niet alleen de versnelling zoals ik eerst dacht. Ook niet alleen de snelheid (als de plank "achterblijft" bij het losspringende blokje) maar een combinatie van beide.

Dag Theo,

Kun je alsjeblieft verduidelijken wat er 'niet helemaal waar' is in de bewering 'De steen zal zich losmaken van de duikplank als de duikplank een grotere neerwaartse versnellling heeft dan de steen'? Mijns inziens is de bewering in de situatie van As' oefening correct.
Bij een amplitude gelijk aan A=9,81/(4⋅π²⋅f²) is er een enkel punt waarin de steen zich kan losmaken van de duikplank, namelijk het bovenste omkeerpunt. Op alle tijdstippen voordat de steen het bovenste omkeerpunt bereikt, is de steen in contact met de duikplank en hebben de steen en de duikplank dezelfde hoogte en snelheid. Dat geldt, inclusief het bovenste omkeerpunt, ook bij een amplitude kleiner dan de vermelde waarde. Daarom is je verhaal over 'vertikale hoogte' [sic] en snelheid overbodig (en waar).
Je opmerking 'Die hoogte ontstaat uit versnelling, snelheid en beginhoogte [...] zodat voor plank en blokje geldt h(t) = -1/2 a(t) t2 + v(t) t' is onjuist wat betreft de plank, die een harmonische trilling uitvoert met een hoogte volgens een sinusfunctie.
Het staat je vrij om het probleem te modelleren, maar voor de uitspraak 'De steen zal zich losmaken van de duikplank als de duikplank een grotere neerwaartse versnelling heeft dan de steen' is modelleren niet nodig.

Men herinnert zich uiteraard de opgave 'Een duikplank' uit het centraal examen vwo 1986 tijdvak 1^a, met name de vragen d en e1,2,3: een meisje komt los van een harmonisch trillende duikplank. In deze opgave komt het meisje al los van de duikplank kort nadat zij de evenwichtsstand is gepasseerd en ruim voordat zij het bovenste omkeerpunt bereikt. In deze opgave bereikt de duikplank echter een versnelling van -16m/s², veel 'negatiever' dan de -9,81m/s² in het grensgeval van As' oefening.

^a https://nvon.nl/examen/examen-1986-1-vwo-natuurkunde
Een uitwerking van de opgave is onder andere te vinden in de Examenbundel vwo natuurkunde 1983-1987; het correctiemodel uit het correctievoorschrift geeft weinig meer dan een puntenverdeling.

Zowel jij als ik hebben gelijk. Los ben je pas als er verschil in hoogte is. Maar in deze situatie is het inderdaad genoeg om een verschillende versnelling te hebben. En dit komt na de hoogste plankstand. Blokje met eindsnelheid omhoog en onder zwaartekracht naar beneden, plank meteen weer naar beneden.

>zodat voor plank en blokje geldt
de versnellingsformule bevat a(t) die niet constant is, maar geldt voor het blokje en plank. Maar inderdaad dan kun je die niet integreren alsof a constant zou zijn... Goed gezien.

>Men herinnert zich uiteraard de opgave
Nee hoor.

Heel erg bedankt voor de antwoorden!

Een lange stalen bladveer is aan één zijde vastgeklemd. Aan het andere uiteinde is een bol bevestigd met een massa van 2,0 kg. Om deze bol een uitwijking van 0,1 meter uit de evenwichtstand te geven is een kracht nodig van 4,0 N. Als de bol wordt losgelaten ontstaat een HT. Schrijf de plaatsfunctie voor de bol.

Dus, Aangezien sin(Φ₀) = 1, is de Φ₀ = pi/2

> DuikplankOefening
De maximale amplitude waarbij de steen zich niet losmaakt, vinden we door -4⋅π²⋅A⋅f² gelijk te stellen aan -9,81m/s².

Dus Door omvorming van de formule, bekomen we A = 0,487

Mvg

Dag As,
Nee, door 4⋅π²⋅A⋅f²=9,81 te herschrijven, vindt u A=0,00994m en correct afgerond is dat de 1cm die u op 16.01.2021 om 14.21 uur uit het boek vermeldde.

Dag Jaap,
Want ik vind dit;
4⋅π²⋅A⋅f² = 9,81
f = 0,714Hz
A afzonderen => A = 9,81/(4pi².0,714²) = 0,487
Zo bekom ik A

Mvg

Dag As,

Inderdaad is f=0,714Hz  ...  in de bladveer-oefening.
De 4⋅π²⋅A⋅f²=9,81 heeft echter betrekking op de duikplank-oefening, waar f=5Hz.

Overigens, wat betreft uw 0,714Hz: het verdient aanbeveling om na T=2⋅π⋅√(m/C)=1,404963s verder te rekenen met bij voorbeeld 1,405s en niet met 1,4s. De tussentijdse afronding verklaart mogelijk het verschil tussen uw 0,714Hz en de verkieslijke waarde 0,712Hz die Theo noteerde op 16.01.2021 om 14.42 uur.

Vergeet niet bij eindantwoorden eenheden te vermelden!  A = 0,487  zijn centimeters? Meters? Kilogrammen?

Beste,
Oh ja, een foutje van mij
A wordt dus 1 cm

Verder wens ik jullie een fijne dag!
Hartelijk bedankt voor al uw hulp!
Mvg