ontmoeting twee verschillend snel bewegende voertuigen
Sebastiaan stelde deze vraag op 09 september 2019 om 13:31.Vooropgesteld: het is zo'n kleine 25 jaar geleden dat ik voor het eerst met Natuurkunde in aanraking kwam, en dit onderwerp is maar heel licht behandeld, dus ik heb het nodig dat dit aan me uitgelegd wordt alsof ik een 12 jarige ben die voor het eerst hiermee in aanraking komt.
Ik heb een basiskennis waarmee ik km/u naar m/s kan omrekenen zodat ik de versnelling in m/s kan invoeren, maar daar ligt mijn probleem niet.
Ik heb 2 auto's/locomotieven/vliegtuigen, whatever: weerstand en gewicht worden niet meegerekend in deze situatie.
In dit geval zijn het treinen.
Ik heb van beide de topsnelheid en de versnelling.
Wat ik wil weten is:
- Hoeveel kilometer ze beiden hebben afgelegd tot het moment dat de langzaamste trein zijn topsnelheid heeft gehaald.
- Op hoeveel kilometer de trein met de hoogste topsnelheid de langzamere trein dan weer heeft ingehaald.
- Als het ook kan hoe lang er precies verstreken is tot het behalen van de topsnelheid.
Als voorbeeld:
Trein A versnelt met 10 kilometer per uur per seconde en heeft een topsnelheid van 110 km/u.
Trein B versnelt met 1 kilometer per uur per seconde maar heeft een topsnelheid van 140 km/u.
Mijn rudimentaire kennis zegt dat Trein A in 11 seconden op 110 km/u zit (10x11=100) en Trein B met 110 seconden pas op 110 km/u zit (1x110=110).
Ik wist ook dat in die 99 seconden verschil Trein A inmiddels 3,03 km heeft afgelegd op topsnelheid.
Maar als ik dat terugreken dan kom ik na 110 seconden maar op 106,92 km/u bij Trein B. En ik heb geen idee wat de afgelegde afstand is voordat Trein A en B op topsnelheid zitten.
Dus kort:
- Hoeveel seconde duurt het voor de treinen op een bepaalde snelheid zijn?
- Hoeveel km hebben ze afgelegd gedurende die versnelling?
Daarna kan ik zelf wel uitrekenen na hoeveel km zijn ze op hetzelfde punt aangekomen.
En dit zijn twee voorbeeld treinen, ik wil verschillende treinen met elkaar vergelijken met deze berekeningen.
Reacties
Dat is in m/s2 (verandering van snelheid m/s per seconde /s)
>Hoeveel kilometer ze beiden hebben afgelegd tot het moment dat de langzaamste trein zijn topsnelheid heeft gehaald
Als je aanneemt dat ze een vaste versnelling hebben, dan zijn de bewegingsvergelijkingen
afstand = s = 1/2 at2 + v0t + s0 maar met beginsnelheid v0 = 0 m/s en beginafstand s0 = 0 m wordt dit simpel:
s = 1/2 at2
Dan neemt de snelheid elke seconde met a toe:
v = at
De maximum snelheid (gegeven) wordt bereikt op tijdstip
t = vmax / a
Die waarde van de tijd vul je in in de vergelijking voor s en je weet de afstand die is afgelegd in de tijd die nodig was om de maximum snelheid te bereiken.
In principe reken ik dus de helft van (a x t)² uit om de afstand te krijgen in meters?
Dus even voor de langzaamste starter: a= 0,27m/s
Dus s = (0,27 x t)²
om t uit te rekenen heb ik dus de onderste formule nodig:
30,5555555556 m/s (110 km/u) gedeeld door 0,27 ?
(113,1687242798354 sec)
Dus s = de helft van (0,27 x 113,1687242798354)² ?
Dus als ik het goed heb berekend zou Trein B ongeveer 113 seconden nodig hebben om 110 km/u te halen, en in die periode slechts 494 meter hebben afgelegd?
Nee, 1/2 x 0,27 t2
en evenzo v = 0,27 t
Trein A: 110 km/h = 110 000 m/(3600 s) = 30,6 m/s
30,6 = 0,27 t --> t = 306/0,27 = 1114 s (= 18,6 minuten!)
s = 1/2 x 0,27 x 11142 = 502 603 m = 503 km
De versnelling lijkt me niet erg reeel - zelfs voor een NS trein.
Het is ook een fictieve trein in een spel. (Misschien ken je het: Rail Nation).
Deze twee treinen zijn stoomtreinen uit het eerste tijdperk, maar de snelste versnelling ingame is 5,55 m/s² (20 km/u/s)
ik vraag me ook af waar je 306 vandaan haalt in je tweede formule. Is dat een typfout?
Ik wil ook niet afronden naar boven op 1 decimaal, want dan ga je vertekende beelden krijgen, vooral op zulke afstanden.
Maar als ik goed heb opgelet dan is het dan toch juist: (afgerond op 2 decimalen)
t = 30,56/0,27 = 113,17 s ?
s = 1/2 x 0,27 x 113,17² = 1729 meter?
t = 30,6/0,27 = 113 s
en daarmee s = 1/2 x 0.27 x 1132 = 1724 m
Dat klinkt inderdaad al aannemelijker - al is het nog traag voor NS. En zoals je uitrekende.
De significatie zou bij opgave zelfs 1 cijfer kunnen zijn (want ergens wordt a = 1 km/hs aangegeven - als het 1,00 km/hs zou zijn dan is het 3 cijfers)
Even snel gerekend heeft in dit geval Trein A in 11 seconden 176 meter afgelegd voordat hij op 110 km/u zit, en Trein B in 113(ish) seconden 1724-1729 meter afgelegd: bijna 10x zoveel.
Trein A zou in dezelfde 113 seconden zo'n 3,3 - 3,4 kilometer hebben afgelegd waar Trein B slechts de helft heeft afgelegd.
Door het verschil van 30 km/u in topsnelheid gok ik dat Trein B pas na een minuut of 50 gelijk ligt aan Trein A, maar dat moet ik nog wel gaan uitrekenen, maar zo lang zijn de sporen niet eens in dit tijdperk.
Maar dat ga ik nog wel uitrekenen... ik kom hier wel mee uit.
Dank je wel! :)
Trein A: a = 10 km/hs, vmax = 110 km/h ofwel (met 1 km/h = 1/3,6 m/s)
a = 2,778 m/s2 en vmax = 30,556 m/s
Trein B: a = 1 km/hs, vmax = 140 km/h ofwel
a = 0,278 m/s2 en vmax = 38,889 m/s
Trein A bereikt maximum snelheid bij t = vmax/a = 30,556/2,778 = 10,999 s
Afgelegde weg dan s = 1/2 x 2,778 x 10,9992 = 168,038 m
Daarna (t > 10,999 s) is het s = 168,038 + 30,556 (t-10,999) (vaste snelheid na 10,999 s, elke seconde daarna een vaste afstand erbij)
Voor trein B geldt dat max snelheid wordt bereikt bij t = 38,889/0,278 = 139,888 s. Afgelegde weg is dan s = 1/2 x 0,278 x 139,8882 = 2720,062 m
Je moet stellen dat ze elkaar ontmoeten bij gelijke afstand en gelijke tijd:
afstand A = afstand B (voor t > 139 s)
168,038 + 30,556 (t-10,999) = 2720,062 + 38,889 (t-139,888)
168,038 + 30,556 t - 336,085 = 2720,062 + 38,889 t - 5440,104
2551,995 = 8,333 t
306,252 s = t
Dus op t = 306,252 s (met significante cijfers t = 31 . 101 s) ontmoeten beide treinen elkaar.
Een Excel sheet kan dat ook zo benaderen voor je. (bijlage - bij wijziging van "grofheid" van de berekening door grotere intervallen kan de grafiek een hobbel vertonen omdat bij de laatste berekening voordat op constante snelheid wordt overgegaan, de versnelde snelheid te hoog kan zijn)
Bijlagen:
Ik wilde een Excel bestandje maken met alle formules erin, maar nu ben ik het spoor bijster.
versnelde beweging:
s(t) = 1/2 a t2 + v0t + s0
v(t) = at + v0
a(t) = a
eenparige beweging:
s(t) = vt
v(t) = v
Voor twee objecten die hun eigen bewegingsvergelijking hebben geldt dat ze op dezelfde plek zijn als positie en tijd (t1) hetzelfde zijn, ofwel:
sA(t1) = sB(t1)
De versnelde beweging vat ik nog, en ik kan berekenen wat ze zouden afleggen vanaf het moment dat ze op topsnelheid zijn (de eenparige beweging) maar hoe jij het in je laatste post hebt staan snap ik niet hoe je aan alle gegevens kom :)
Aanvankelijk dacht ik dat trein A lineair afstand zou winnen (max snelheid al bereikt) en B versneld bleef gaan. Bij gelijkstelling van de bewegingsvergelijkingen geeft dat als antwoord t = 214 s. Helaas... dat is een ongeldige waarde want trein B bereikt na 140 s zijn maximale snelheid en is bij t = 214 dus ook lineair toenemend in de verplaatsing. Vandaar dat je bij gelijkstelling van de afstand zowel voor A als voor B de vergelijking moet gebruiken van
afstand bij bereiken maximale snelheid + (tijd - tijd bereiken maximale snelheid) x maximum snelheid.
