>Een fiets (massa fiets + persoon; 60 kg met zwaartepunt 0,7 m boven de grond) staat voor een rood licht.
Plots valt de fiets/persoon zijwaarts op de grond en gezien de wielen op de grond stonden beschrijft het zwaartepunt een boog met middelpunt op de x-as en met straal 0,6 m.

Hier ben ik de kluts al kwijt. Zwaartepunt op 0,7 m. Als dat punt een cirkel gaat maken bij het vallen dan heeft die cirkel een straal van 0,7 m en niet 0,6 m. Of mis ik iets?

Verder kom je met verandering van energievormen ook al een eind:
Aanvankelijk zwaarte-energie  mgh
Wordt bij vallen vlak bij de grond omgezet in kinetische energie: 1/2 mv²
De bereikte snelheid v wordt in korte tijd Δt teruggebracht naar 0,zodat Δv = v .  Met F = ma = m Δv/Δt is dan de kracht te bepalen die wordt ondervonden. Hoe langer de val wordt afgeremd (grotere Δt) des te kleiner de kracht. De reden voor valhelmen, dikke kleding, airbags, valschermen, kreukelzones, e.d. Alles om Δt zo lang mogelijk te maken.

Hello,
Dank voor de respons.

Straal van de cirkel is wel degelijk 0,7 en is gebruikt bij de berekeningen. Die 0,6 was een typfout in de tekst.
Als ik het goed begrijp is voor de rest alles goed?

Is de valbeweging (cirkelvormige) wel een vrije val gezien deze toch vast hangt aan het middelpunt (belemmering van vrijheid)???
De tijd t die bepaald is door m.g.h.= m.v²/2 is dezelfde t bij het einde van de boog?

M.v.g.,
Marc BOLLE

is inderdaad geen vrije val. Energie wordt niet alleen omgezet in (lineaire) bewegingsenergie ½mv², maar ook in rotatie-energie.

"leuk" stukje literatuur:
http://diog.webs.upv.es/publicaciones/pdfs/2015-EJP-36-055036.pdf

groet, Jan

Hello,

Gezien ik waarschijnlijk de domste van de klas ben hierbij een vraagje.

Stel een voorwerp bevindt zich op een bepaalde hoogte en is min of meer met een staaf verankerd aan een scharnierpunt op de grond en heeft daardoor een potentie Ep = mgh.
Plots valt dit voorwerp zijwaarts (zonder een echte stoot) en beschrijft daarmede een cirkelvormige val waarbij de Ep wordt omgezet naar Er = 1/2 . I . ω².
Tijdens de val is een punt Yr op de Y-as waar de remweg begint.
Na de val blijft het voorwerp liggen op een bepaalde hoogte Yg boven de grond (Y-as).

Volgens mij wordt de initiële Ep in 3 delen gesplitst: deel 1 tijdens de val tot aan het begin van de remweg, deel 2 gedurende de remweg en deel 3 een resterend gedeelte = mgh op een hoogte boven de grond.
Moet ik dit dan zo bekijken: ?
Ep = m.g.h = Edeel1 + Edeel2 + Edeel3
m.g.h = 1/2 . I . ω² (1) + 1/2 . I . ω² (2) + m;g;h (3)
of
m.g.h = 1/2 . I . ω² waarbij ik dit moet gebruiken om de berekeningen in de afzonderlijke delen te bepalen?

Als het traagheidsmoment moeilijk te bepalen is (bv. fiets + persoon) mag ik als benadering stellen I = m / door de langste afstand van de omtrek tot het zwaartepunt?

Dank bij voorbaat en prettige feesten.
Marc BOLLE

Hallo Marc,

Om met je laatste vraag te beginnen: als er iets over een puntmassa in de opgave staat, dan is dat meestal een handige aanwijzing om mee te beginnen. Er zijn handige formules om I te berekenen voor verschillende vormen.

Voor je eerdere vraag over het verdelen van de potentiele energie, ik zou de stukjes valweg afzonderlijk bekijken (zoals je ook al deed in je eerste post).

Groeten en een mooi nieuw jaar toegewenst,

Gerwin

Als ik het allemaal nog eens teruglees, dan denk ik dat je onderstaande situatie bedoelt.



Daar zijn twee energievormen in bedrijf: de zwaarte-energie en de rotationele draai-energie. Lineaire kinetische energie speelt geen rol want het zwaartepunt beweegt wel maar draait rond een as die niet beweegt.
En die twee laten zich niet even makkelijk uitrekenen. De door Jan aangegeven tekst doet hiertoe een poging (m.n. de hoeksnelheid, die steeds toeneemt bij het vallen wordt berekend, en dan is de tangentiele "baansnelheid" v_tan voor dat moment ook bekend). Het is die uiteindelijke baansnelheid (als contact met de grond gemaakt wordt) die  dan door de grond wordt tegengewerkt via een normaalkracht. De grond kan daarbij iets indeuken (of de vallende persoon dient als kreukelzone): die tijd Δt kan feitelijk niet lang genoeg zijn om zo zacht mogelijk te landen.
Maar hoe groot die uiteindelijke tangentiele snelheid is - dat laat zich waarschijnlijk alleen numeriek berekenen door steeds in stapjes te rekenen (wat Gerwin ook voorstelt) omdat de snelheid groter wordt naarmate de val doorgaat.
En die snelheid varieert afhankelijk van welke plek (anders dan het zwaartepunt) als eerste de grond raakt (v = ωr en afstand r zal kleiner of groter zijn dan h₁ van het zwaartepunt)

Hello,

Apprecieer jullie toewijding en snelheid van reactie, proficiat!
Theo heeft de (theoretische) situatie prachtig voorgesteld, ik had iets dergelijks zelf ook gemaakt.
Dit is perfect.
Ik blijf wel een beetje op mijn honger zitten omdat ik mij had voorgesteld dat het toch iets eenvoudiger was, wil dit dan zeggen dat de ganse berekeningen toch maar een benadering zullen geven (en zeggen dat dit toch maar een heel eenvoudige toepassing is)?
Natuurkunde is niet zo eenvoudig en voornamelijk theoretisch?
Toch blijf ik me er verder in verdiepen.

Nogmaals dank (aan allen),
Marc BOLLE

Theo heeft het inderdaad mooi getekend, en dat is inderdaad lastig op te lossen als een functie van de tijd. Het geheel deed mij denken aan een slinger. Daar is een oplossing voor bij grote hoeken (zoals hier het geval), maar die is zo complex dat ik daar niet aan wil beginnen.

Echter, de hoeksnelheid als functie van de hoogte, of equivalent als functie van de hoek is volgens mij prima met de wet van behoud van energie op te lossen. En gezien je de snelheid wilt weten aan het einde van de val (van 0,7 naar 0,3 m) moet die te vinden zijn.

Wat het remtraject betreft zou ik er voor de eenvoud vanuit gaan dat de rest van de val recht naar beneden is. Zoals je zelf al uitrekende is de booglengte op dat stukje 0,31 m t.o.v. de hoogte van 0,30 m. Je hebt op dat tweede stuk denk ik sowieso onzekerheid over de vertraging door het indeuken, etc. Bovendien zal op het moment dat het lichaam van de fietser de grond raakt, de draaibeweging rond het contactpunt van het fietswiel ook wel zo'n beetje eindigen.

Wat de krachten betreft.. Tijdens de eerste val werkt enkel de zwaartekracht. Tijdens het tweede deel, het remmen heb je de zwaartekracht, de remkracht (alsof je een veer indrukt?), en een beginsnelheid. Dat is een bekender probleem.

Groeten,

Gerwin 

Hello,

Jullie hebben me fantastisch geholpen, chapeau.
Heb vroeger gezegd dat ik een (gepensioneerde, 75 jr) autodidact ben die deze oefeningen niet uit een opgave haal maar in het dagelijks leven probeer toe te passen.
Vandaar misschien een beetje tekort aan basis kennis.
Ben onder andere bezig met het proberen te bepalen welke kracht een petanque-bal heeft bij het neerkomen op een voet (niet gemakkelijk met de parabool-baan die ik dan wel vervang door te werken met driehoeken als benadering).

Betreft de tekening van Theo, wel prachtig/overzichtelijk maar… heb toch een kleine bemerking, ik kan het niet laten.
Het is meestal weinig bekend maar bij de mannelijke bevolking is +/- 1 op 12 (bijna 10 %!) min of meer kleurenblind (en daar ben ik bij, daarom weet ik dit), meestal gaat dit over groen-rood-bruin.
Daarom is het gebruik van lichte tekst-kleur op een licht achtergrond-kleur en/of donkere tekst op donkere kleurvlakken moeilijk tot zeer moeilijk te zien/lezen.
Oplossing is meestal het bij roepen van een vrouw (gelukkig mijn eigen vrouw).

Dit terzijde gelaten nogmaals dank voor jullie steun.

M.v.g.,
Marc BOLLE

Met excuus - ik behoor tot de gelukkige 11/12-de deel van de bevolking die geen last van kleurenblindheid heeft en dan wel eens voorbij gaat aan kleuren die in elkaar oplossen als je er wel last van hebt. De figuur trachtte in bijeenhorende delen in dezelfde kleur weer te geven.
Maar gelukkig heb ik de figuur nog ergens staan en is aanpassen aan hopelijk beter onderscheidbare kleuren mogelijk. Figuur aangepast. Als er toch nog problemen zijn: gewoon melden.

Het probleem liet me niet helemaal los, en vanuit energie-beschouwingen kan ik wel niet de tangentiële snelheid op elk punt berekenen, maar wel aan begin- en eindpunt (en als ik me ertoe zet vast ook wel als functie van de valhoek).

Neem de fiets situatie. Aanvankelijk rechtop, uiteindelijk horizontaal op de grond. Aanvankelijke begin (hoek)snelheid = 0 uiteindelijk grootste hoek- en tangentiële snelheid.
Laten we luchtwrijving en andere storingsbronnen even buiten beschouwing, dan geldt behoud van energie voor het bewegende zwaartepunt (dat alle massa wordt gedacht te hebben en op hoogte L/2 zit):

E_begin = E_eindrot 
E_{rot_b} + E_{zw_b} = E_{rot_e} + E_{zw_e}


ω_b = 0 rad/s , L_e = 0 m, L_b = L , traagheidsmoment staaf die roteert aan een zijkant I = 1/3 ML²





Lineaire snelheid en hoeksnelheid zijn aan elkaar gekoppeld:  v = ωr
De snelheid van een punt of afstand r van de as band/wegdek waarmee het wegdek geraakt wordt is dan


De kruin van je hoofd zit op afstand r = L dus reken maar uit...

De hoekversnelling is

en daarmee de lineaire versnelling a = αr en voor het zwaartepunt op r = L/2:



Het lijkt gek dat a = 3/4 g en de versnelling dus minder is dan de vrije val (g). Maar bedenk dat bij een vrije val alle zwaarte-energie in kinetische energie (en dus snelheid en versnelling) wordt omgezet. Nu is een deel gebruikt voor de rotatie-energie. De resterende energie wordt wel in kinetische energie omgezet maar is minder dan vrije val. En daarmee ook snelheid en versnelling (die anders de vaste waarde g zou hebben).

De snelheid ω op het moment dat een hoek φ is afgelegd moet ook wel te bepalen zijn. Onderstaand mijn idee daarover. 

ds = v(t) dt

ds = r dφ  (de afgelegde cirkelboog is gelijk aan de hoek van de boog x straal)

v(t) = ds/dt = r dφ/dt = rω    (ω is de hoeksnelheid  rad/s)
a(t) = dv/dt = r dω/dt = rα    (α is de hoekversnelling rad/s²)

Als de fiets scheef staat, dan is er een krachtmoment (draaimoment) die de fiets kloksgewijs laat vallen (als mijn eerdere tekening gevolgd wordt): moment  τ = kracht x arm

τ = F_zw . h₁ sin φ = Mg . L/2  sin φ  (als M de totale massa is met zwaartepunt op halve lengte L).

Dat moment (of "torque" zoals de Britten zeggen) neemt toe want de arm-lengte neemt toe (sin φ gaat van 0 naar 1 doordat φ = 0 rad naar π/2 rad gaat)



Algemeen geldt voor een object bestaande uit veel massa-punten die op verschillende afstanden van het draaipunt staan dat het taagheidsmoment gedefinieerd is als I = Σ m_ir_i² 
De kracht dF van een deeltjes met massa dm op afstand r resulteert in een bijdrage aan het krachtmoment  (en de lineaire versnelling a = hoekversnelling x straal = αr)

dτ = dF . r = dm . a .r = dm αr r = αr² dm

Het hele krachtmoment is de som (integraal) van alle beetjes dτ bijeen te tellen - en dus alle vermenigvuldigingen van αr² met de beetjes massa dm op te tellen.

τ = ∫ dτ = α ∫ r² dm = α ∫ dI = I α

Voor een bepaalde hoek φ heeft de rotatie een hoekversnelling α(φ) en een krachtmoment τ(φ)

We kennen voor het krachtmoment nu 2 uitdrukkingen:
τ(φ) = I α(φ)
τ(φ) = F_zw . h₁ sin φ = Mg . L/2 sin φ

zodat de hoekversnelling als functie van de hoek (hoeveel sneller gaat het als ik al een hoek φ gedraaid ben), als I = 1/3 ML² voor een staaf van lengte L die aan een uiteinde draait:

α(φ) = Mg L/2 ⋅ sin φ ⋅ 1/I = (3MgL)/(2ML²) sin φ = 3g/(2L) sin φ

De lineaire versnelling langs de boog met straal r bij een hoek φ is dan  a(φ) = α(φ) r
De kracht waarmee het zwaartepunt (r = 1/2 L) neerkomt is dan

F(φ) = Ma(φ) = M r α(φ) 
F(90º) = Ma(90º) = M L/2 α(90º) = M L/2 3g/(2L) = 3/4 Mg
wat overeenkomt met de vorige post (a = 3/4 g).

Hello,

Blijf worstelen met deze zaak.
Een vraagje.
Je komt bij voorgaande berekeningen, mooi opgesteld maar ik zoek ook naar een “ongerijmdheid”, plots met een factor “M” tevoorschijn.
Wat beduidt deze en/of van waar komt deze?

Ik vermoed dat er een fout zit in:
α(φ) = Mg L/2 ⋅ sin φ ⋅ 1/I = (3MgL)/(2ML²) sin φ = 3g/(2L) sin φ FOUT???
Voor het gemak kies ik voor r in plaats van L zodat I = 1/3 * M * (2.r)² duidelijker lijkt.
Ook al omdat ik alles zie vanaf het zwaartepunt.

Mvg.,
Marc BOLLE

M is de totale massa van de "Staaf" die motor en berijder vormen - opgebouwd uit beetjes dm die op verschillende afstanden van het draaipunt zitten.
Bij evenredige verdeling (niet helemaal waar, maar laten we het "ideaal" of "simpel" houden) van de massa langs de staaf is de totale massa M en geldt voor een staaf met die massa dat zijn traagheidsmoment 1/3 ML²is  (alle massa, hele lengte staaf)

(3MgL)/(2ML²) sin φ = 3g/(2L) sin φ
Dat klopt echt wel. De M/M wordt 1 ("valt tegen elkaar weg"), L/L² = 1/L

Hello,

Sorry, u heeft me al fantastisch geholpen.
Kan/wilt u me nog eens helpen bij deze zaak, natuurkunde is blijkbaar een vat vol mysteries.

Betreffende uw formules:
ω(φ) = ∫ dω(φ) = ∫ α(φ) dφ = 3g/(2L) ∫ (1 - cos φ) dφ
∫ (1 - cos φ) dφ = [φ - 0] + [-sin φ - (-sin 0)] = φ - sin φ
In de bovenste formule wordt de laatste factor ∫ (1 - cos φ) dφ vervangen door een sinus functie, waarom zie ik er het nut niet van in.
Bij een voorgaande formule α(φ) = Mg L/2 ⋅ sin φ ⋅ 1/I = (3MgL)/(2ML2) sin φ = 3g/(2L) sin φ is al een sinus functie aanwezig.
Door sin phi te vervangen door (1 - cos phi) wilt dit zeggen dat sin phi = 1 - cos phi en dat kan toch niet (sin² + cos² = 1)?
De onderste formule, de integraal, kan ik de uitwerking ook niet goed volgen maar dit ligt waarschijnlijk aan een gemis bij mezelf van de basis van deze tak van de wiskunde (daar moet ik nog verder aan werken).

Bepalen van de snelheid bij een hoek van 1,13 rad (64,6°) met de verschillende formules bekom ik verschillende resultaten voor het bepalen van de (eind)snelheid.
1) Met formule
v(φ) = ω(φ).r = 3gr/(2L)(φ - sin φ)
v (65°) = (3*9,81*0,7/(2*0,7*2)) * (1,13 - 0,9) = 1,65 m/sec
2) Met formule

T = Mg * L.sin 65 / 2 = 372 N.m
v(65) = 372 * wortel (3*9,81/0;63) = 2539
dit lijkt me niet mogelijk
ik kan me ook niet voorstellen dat deze formule een snelheid (m/s) geeft
M.g.m * g/m - M. m/s² .m * m/s² /m - M * (m/s²)* (m/s²) ?????

3) Als ik de v wil bepalen op een (te?) eenvoudige manier:
tijd bepalen door gedeelte Ep die wordt omgezet bij het punt b
Ep = mgh = 60.g.0,4 =235 J
s = 0,4 = 1/2 * g.t² = 1/2 * 9,81 * t²
t = 0,29 sec
hoek a0b
hoek = 1,13 rad (65°)
sin (65) = 0,9
afgelegde weg ab (cirkelboog)
ab = hoek * r = 0,79 m
versnelling a
s = 0,79 = 1/2 * a.t² = 1/2 * a * 0,29²
a = 19,4 m/s²
snelheid v
a = dv/dt
v = a.t = 5,53 m/s (eindsnelheid)
vGem = (vBegin + vEind) / 2 = 2,76 m/s


De berekeningen van de 3 manieren geven elk een ander resultaat!
Wat doe ik fout?

Nogmaals dank bij voorbaat.
Marc BOLLE

1)
> In de bovenste formule wordt de laatste factor ∫ (1 - cos φ) dφ vervangen door een sinus functie

De primitieve (integraal) van een cosinus functie is een sinus functie, zoals de afgeleide van een sinus een cosinus is.

2)
>T = Mg * L.sin 65 / 2 = 372 N.m
v(65) = 372 * wortel (3*9,81/0;63) = 2539

Geen idee waar die v(65) vandaan komt. De τ is een "tau", een krachtmoment. Daar zit geen snelheid in. 
De formule lijkt v = τ √(3g/0,63) te zijn, of v² = τ² 3g/0,63 ????

3)
>Ep = mgh = 60.g.0,4 =235 J
dus hoogte is 0,4 meter?

Een vrije val van die hoogte is inderdaad
s = 0,4 = 1/2 * g.t² = 1/2 * 9,81 * t²
t = 0,29 sec
en die gaat dus niet langs een boog, maar (gravitatie)versnelling wel constant, a = g = 9,81 m/s²

afgelegde weg ab (cirkelboog)
ab = hoek * r = 0,79 m
versnelling a
s = 0,79 = 1/2 * a.t² = 1/2 * a * 0,29²
a = 19,4 m/s²

Nu ineens langs een boog en dus geen vrije val? De versnelling a is nu niet constant maar verandert steeds (a = αr). Je mag dus geen constante waarde gebruiken en ook niet een soort "gemiddelde".

Ik kan natuurlijk altijd een fout maken (dan graag reactie), maar bijgevoegd een Excel spreadsheet waarin ik bereken:
- de totale energie als je rechtop staat (hoek 0º)
- de zwaarte-energie bij bepaalde hoek
- de rotatie-energie bij bepaalde hoek (=totale energie - zwaarte-energie)
- uit rotatie-energie de hoeksnelheid bepalen (1/2 Iω²)
- uit hoeksnelheid de tangentiele snelheid bepalen (v = ωr)

Resultaten van het vallen: hoek tegen tijd en  snelheid tegen tijd laten zich dan uitrekenen/benaderen.

Wat de spreadsheet betreft: gemaakt onder Engelse decimale punt, meestal werkt het ook voor Europese decimale komma. Alleen figuren misschien niet (assen op 0,000 of 0.000 ingesteld).  Waarom de halve wereld een punt ipv een komma gebruikt of omgekeerd blijft een raadsel.

Beste Theo,

Hartelijk dank voor al uw moeite, tijd en energie.
Het Excel bestand is heel duidelijk en leerzaam.
Blijkbaar heb ik steeds een fundamentele fout gemaakt door de t af te leiden uit Ep = mgh die op 0 (nul) komt in punt b.
Nu ben ik een stuk wijzer geworden.

Nogmaals dank.
Marc BOLLE

Ben ik het ZEKER mee eens. De moderators van dit forum steken echt mega veel tijd en moeite om mensen hier te helpen.