Met de as in het midden wordt het water (over d=r afstand) opgezwiept tot een parabool van hooguit 4 en minimaal 2.

Als de draaias naar de rand wordt verplaatst wordt het water over d=2r verplaatst.
Op afstand r (midden in de bak) is de situatie hetzelfde als bij de rand als de as in het midden zit (beide afstand r, zelfde hoeksnelheid). En dus (volgens de grafiek) 2.

Dan is h(d) = c.d² = c.r² = 2  of c = 2/r²
Als d=2r wordt dit  h(d) = h(2r) = c(2r)²  = 2/r² (2r)² = 2/r²  . 4r² = 8
Voor d = 0 wordt dit h(0) = 2/r_²  . 0 = 0   (en nee, r ≠ 0 !)

De goede grafiek zal dan A zijn: beginnend bij 0 en eindigend op 8 hoog  (er staan geen maten bij maar "8" zal 8 cm zijn neem ik aan - zonder eenheden is het natuurkundige onzin).

Waarom niet h(d) = c.d2 + h_0?

h₀ = 0 als ik de bodem van de dalparabool als h=0 as neem. En die h-as schuift naar beneden bij de as aan de rand (als ik die twee situaties wil vergelijken dan moet het dal op h=0 gelegd worden zodat bij d=r weer h=2 tevoorschijn komt)

dus h(d) = cd²

Waarom zou je de bodem van de dalparabool bij de as nemen? Een eindige hoogte lijkt mij fysisch even waarschijnlijk?

Domweg om beide situaties met elkaar te vergelijken. De hoogste h
rand (h=2 bij d=r) bij de midden-as moet hetzelfde zijn als de as aan de rand zit. Dan is dus d=r en h=2 in het midden. 

Had de situatie met as in het midden tussen hoogtes 6 (rand) en 4 (middenin) gezeten, dan had de hoogte 6 ook bij d=r moeten zitten bij de as aan de hand.
Dan had inderdaad h₀ = 2 geweest.

Dank, het plaatje is erg inzichtelijk. Ik snap alleen nog niet helemaal waarom deze zin waar is: ' De hoogste hand (h=2 bij d=r) bij de midden-as moet hetzelfde zijn als de as aan de rand zit. Dan is dus d=r en h=2 in het midden. ' sorry voor de vele vragen.

Geeft niks - vragen kan verhelderend zijn.
Maar het sleutelwoord zit in de opgave bij "met dezelfde draaisnelheid". Dat wil zeggen dat het water op dezelfde manier opgestuwd wordt op gelijke afstand van de draaias (want die draait even snel). Dus met een as in het midden blijkt op afstand d=r een bepaalde hoogte te worden bereikt.
Dat moet dus ook zo zijn op dezelfde afstand van die draaias als de as verschoven wordt (naar de rand). Alleen kan het water dan verder: nu is niet d=r de rand maar d=2r en we moeten dus dezelfde parabool tekenen die op dezelfde manier vanaf de as omhoog loopt. En met d=2r kan dat een stuk verder dan met d=r. Maar op de afstand d=r (of dit nu de rand van het ene geval of midden in de straal in het andere geval) maakt dan voor de hoogte niet uit.
En met die gegevens kun je uiteindelijk de parabool opstellen.

Voor mensen met meer intuitie (al moeten ze daarna dat nog wel even onderbouwen) zal misschien sneller gedacht worden 2x grotere straal dan 2² = 4x hogere stand (kwadratisch want parabool). Dus van 2 naar 2x4=8.
Maar had de opgave een onderste stand van 4 gehad ipv 2 dan had die intuitie ze misschien toch fout geleid want dan komt jouw terechte opmerking over h₀ ineens erbij (h₀ = 2)

Ik snap nu dat na een afstand r dezelfde verandering in hoogte gebracht moet worden maar ik begrijp niet waarom per se alleen het midden van de bak dezelfde hoogte bereikt en niet andere punten

Dat zie je verkeerd. In de situatie met as in het midden heeft het water een bepaalde hoogte. Aan de rand zit het 2 hoger dan het dal. Het dal zit dus 2 lager (en zit op 4-2=2)

Als je de as verschuift dan moet op d=r de hoogte ook 2 worden. De hoogte van het dal moet dan 2 lager zijn. Dus op 2-2=0 zitten.

Doordat gezegd wordt dat de rotatie even snel is, zal de parabool voor beide situaties hetzelfde zijn. Dwz de draai-as valt samen met het dal van de parabool. Dat dus ook zo met de as aan de zijkant. 
De positie van het dal is dan hoogte 2 bij as in het midden en 2-2=0 voor as aan de rand. Kwestie van verschuiven (transleren) van de oorsprong van de grafiek. Een wiskundige handeling.

Dit is precies de zin die voor mij steeds iets te snel ging:

Als je de as verschuift dan moet op d=r de hoogte ook 2 worden.

Het maakt voor water niet uit of het in een bak met lengte r draait of in een bak met lengte 2r. Als de bakken even snel ronddraaien dan zal het oppervlak van het  water (vanaf de as naar de rand) dezelfde curve uitvoeren.
Bij de as in het midden houdt de lengte na r meters op. Bij de as aan de rand gaat de lengte door tot 2r. Tussen 0 <= d <= r volgt het wateroppervlak dezelfde parabool. Voor r < d <= 2r gaat die parabool door. Maar dat is dus alleen in de bak met de as aan de rand.

Dat snap ik inmiddels maar waarom gaat de grafiek met de as aan de zijkant per se door hoogte 2? Waarom zou je niet hier ook een h0 krijgen?

Dag Arjen,

omdat voor eenzelfde draaisnelheid op eenzelfde afstand van een as eenzelfde centripetale kracht nodig is, en daarvoor eenzelfde hoogteverschil (lees: druk a.g.v. zwaartekracht) nodig is.

groet, Jan

Een variant op mijn berekening is (met dank aan Jacob Bunschoten):

In het algemeen kan de hoogte beschreven worden door de paraboolvergelijking met een vaste hoogte:
h(d) = cd² + h₀

In situatie (I): (as in midden)
h(5) = c.25 + 2 = 4  zodat c = 2/25

In situatie (II): (as aan de rand)
Hier moet ook c = 2/25 zijn (zelfde parabool) maar andere h₀.
Maar nu wel met de eis dat 
h(5) = 2 (zelfde hoogte tov dal op gelijke afstand van het dal)
h(5) = 2/25 . 25 + h₀ = 2
  =  2 + h₀ = 2  --> h₀ = 0
Dat geeft keuze A of C

Maar we kennen de waarde voor h(10) = 2/25 . 100 + 0 = 2 . 4 = 8
Daaraan voldoet alleen A


(de waarden zijn allemaal gekozen zodat de berekeningen goed uitkomen. Een sneller draaiende waterbak kan met de as in het midden bijv. precies in het midden droog staan. Dat betekent voor de as aan de rand dat een heel gebied vanaf de as droog staat en pas daarna dezelfde parabool volgt als bij as in het midden. Dan vind je waarden van h₀ < 0 en is de zichtbare parabool pas het stuk dat boven de bodem uitkomt)