kracht ontbinden in gegeven richtingen
stelde deze vraag op 18 oktober 2018 om 19:42. De kracht wordt hier ontbonden in 2 richtingen, een component langs lijn b-b en een component loodrecht hierop. Daartoe wordt eerst de kracht zelf ontbonden in een verticale en een horizontale component, deze componenten worden daarna ontbonden in de gevraagde richtingen.
Mijn vraag: Hoe is bepaald welke van de met rood onderstreepte getallen waar komen te staan? Waarom is bijvoorbeeld de lengte van de blauwe horizontale component 5 en niet 4 of 3?
Reacties
Wel een inzichtelijke manier maar zo omslachtig heb ik het nog niet eerder gezien.
Wat je ziet is dat men steeds het horizontaal/vertikale X,Y assenstelsel als tussenstap neemt: ontbind de originele kracht in (x,y) componenten. Ga vervolgens elk van die componenten nog eens ontbinden, maar nu langs de (b,b) as en eentje daar loodrecht op. Vectoren blijven hetzelfde, ongeacht de assen waarlangs je ze ontbindt. Tel dan alle (b,b) as delen bij elkaar (blauw en groen) en doe hetzelfde voor de component loodrecht op (b,b).
Bij het origineel bovenaan zie je een kracht F langs een lijn die blijkbaar een rechthoekige driehoek kan vormen met zijden met lengten 1 en 2. De schuine zijde (waarlangs F ligt) is dan √ (1 + 22 )= √5 volgens Pythagoras.
De x-component van kracht F is dan 1/√5 F. Weergegeven door de blauwe pijl.
Die blauwe pijl zie je rechts onder weer terug met dezelfde lengte. Nu wordt die ontbonden langs de b-b as en loodrecht daarop. Daar gelden zijdenverhoudingen als 3:4:5 omdat de schuine zijde weer berekend kan worden als √(32+42) = √25 = 5
Uitgedrukt in deze schuine zijde zijn beide rechthoekszijden van 3 en 4 dus 3/5 x 5 en 4/5 x 5
De blauwe pijl staat horizontaal. Lengte nog steeds 1/√5 F.
Nu moet je die ontbinden langs de bb-as en loodrecht daarop.
Wat je dan moet zien is dat er twee gelijkvormige driehoeken zijn, ABC en KLM (ze hebben beide dezelfde groottes van de drie hoeken) zodat ook voor de ontbinding van de blauwe vector weer verhoudingen van 3/5 x 5 en 4/5 x 5 zijn.
De vector ligt langs de schuine zijde KL en heeft dus lengte "5" tov van de zijden KM ("4") en KL ("3"). De component van de vector langs de bb-as (x-as) is dan langs KM en dus 4/5 van de lengte van de schuine zijde. Dus ook 4/5 van de kracht langs die schuine zijde. Ofwel de x-component van de blauwe vector met grootte 1/√5 F is dan
4/5 x 1/√5 F = 4/5 x 1/√5 F
Wat je ziet is dat men steeds het horizontaal/vertikale X,Y assenstelsel als tussenstap neemt: ontbind de originele kracht in (x,y) componenten. Ga vervolgens elk van die componenten nog eens ontbinden, maar nu langs de (b,b) as en eentje daar loodrecht op. Vectoren blijven hetzelfde, ongeacht de assen waarlangs je ze ontbindt. Tel dan alle (b,b) as delen bij elkaar (blauw en groen) en doe hetzelfde voor de component loodrecht op (b,b).
Bij het origineel bovenaan zie je een kracht F langs een lijn die blijkbaar een rechthoekige driehoek kan vormen met zijden met lengten 1 en 2. De schuine zijde (waarlangs F ligt) is dan √ (1 + 22 )= √5 volgens Pythagoras.
De x-component van kracht F is dan 1/√5 F. Weergegeven door de blauwe pijl.
Die blauwe pijl zie je rechts onder weer terug met dezelfde lengte. Nu wordt die ontbonden langs de b-b as en loodrecht daarop. Daar gelden zijdenverhoudingen als 3:4:5 omdat de schuine zijde weer berekend kan worden als √(32+42) = √25 = 5
Uitgedrukt in deze schuine zijde zijn beide rechthoekszijden van 3 en 4 dus 3/5 x 5 en 4/5 x 5
De blauwe pijl staat horizontaal. Lengte nog steeds 1/√5 F.
Nu moet je die ontbinden langs de bb-as en loodrecht daarop.
Wat je dan moet zien is dat er twee gelijkvormige driehoeken zijn, ABC en KLM (ze hebben beide dezelfde groottes van de drie hoeken) zodat ook voor de ontbinding van de blauwe vector weer verhoudingen van 3/5 x 5 en 4/5 x 5 zijn.
De vector ligt langs de schuine zijde KL en heeft dus lengte "5" tov van de zijden KM ("4") en KL ("3"). De component van de vector langs de bb-as (x-as) is dan langs KM en dus 4/5 van de lengte van de schuine zijde. Dus ook 4/5 van de kracht langs die schuine zijde. Ofwel de x-component van de blauwe vector met grootte 1/√5 F is dan
4/5 x 1/√5 F = 4/5 x 1/√5 F
Jimmy plaatste:
Kan deze kracht ook in 1 keer ontbonden worden langs de gevraagde richtingen?
een wiskundig berekende oplossing wordt dan ingewikkelder. En die is hier door die tussenstappen langs die richtingscoëfficiënten 1/2 en 3/4 weer eenvoudiger, maar dat is ook alleen maar omdat die richtingscoëfficiënten gebaseerd zijn op van die mooie ronde getallen.
Groet, Jan
De makkelijkste manier zou een regeltje uit de vectorrekening zijn:
nieuwe vectorcoordinaten = rotatiematrix x oude vectorcoordinaten
Maar zonder dat kan het ook (en doe je feitelijk hetzelfde maar "met het handje" en dan duurt het wat langer.
Stappen:
1) Bepaal de hoek die de kracht maakt met het oude (x,y) assenstelsel
2) Bepaal de rotatiehoek die het nieuwe assenstelsel (x,y) maakt het het oude
3) Alle hoeken in het nieuwe stelsel zijn gelijk aan de oude hoeken minus de rotatiehoek
4) En dan rekenen...
Uit bijgaande tekening zie je linksboven dat het nieuwe assenstelsel onder hoek φ gedraaid is en dat je die hoek kunt berekenen uit de sinus van die hoek (die 3/5 is).
Je kunt ook berekenen wat de hoek is die de vector in het oude stelsel met de y-as maakte (β) en in het nieuwe stelsel (α). Dan is α = β - φ
De rest is dan als kracht x sinus of cosinus van de hoek α te berekenen.
En dan vind je vanzelf dat de nieuwe x-component van de kracht 0,18 keer de hele kracht is.
En dat is hetzelfde als de waarde die je vindt in de door jou aangegeven methode waarbij de x-component gelijk is aan de som van -4/5 x 1/√5 F en + 6/5 x 1/√5 F = 2/5 x 1/√5 F = 0,18 F
nieuwe vectorcoordinaten = rotatiematrix x oude vectorcoordinaten
Maar zonder dat kan het ook (en doe je feitelijk hetzelfde maar "met het handje" en dan duurt het wat langer.
Stappen:
1) Bepaal de hoek die de kracht maakt met het oude (x,y) assenstelsel
2) Bepaal de rotatiehoek die het nieuwe assenstelsel (x,y) maakt het het oude
3) Alle hoeken in het nieuwe stelsel zijn gelijk aan de oude hoeken minus de rotatiehoek
4) En dan rekenen...
Uit bijgaande tekening zie je linksboven dat het nieuwe assenstelsel onder hoek φ gedraaid is en dat je die hoek kunt berekenen uit de sinus van die hoek (die 3/5 is).
Je kunt ook berekenen wat de hoek is die de vector in het oude stelsel met de y-as maakte (β) en in het nieuwe stelsel (α). Dan is α = β - φ
De rest is dan als kracht x sinus of cosinus van de hoek α te berekenen.
En dan vind je vanzelf dat de nieuwe x-component van de kracht 0,18 keer de hele kracht is.
En dat is hetzelfde als de waarde die je vindt in de door jou aangegeven methode waarbij de x-component gelijk is aan de som van -4/5 x 1/√5 F en + 6/5 x 1/√5 F = 2/5 x 1/√5 F = 0,18 F
Pure rotatie van assenstelsel over een hoek φ tegen de klok in geeft de nieuwe coordinaten x' en y' als:
x' = x cos φ + y sin φ
y' = - x sin φ + y cos φ
of in vector notatie
(dus voor een kloksgewijze rotatie is de hoek negatief!)
maar dat hoort of bij eindronde wiskunde-D of voor de wiskunde/natuurkunde student later...
x' = x cos φ + y sin φ
y' = - x sin φ + y cos φ
of in vector notatie
(dus voor een kloksgewijze rotatie is de hoek negatief!)
maar dat hoort of bij eindronde wiskunde-D of voor de wiskunde/natuurkunde student later...
