>Is er dan geen krachtenevenwicht tussen de zwaartekracht, middelpuntzoekendekracht, spankracht en kracht van de armen waardoor zo een beweging niet mogelijk is?

Ik begrijp je vraag niet goed. Als iemand stilhangt in de ringen dan is de kracht waarmee de handen aan de ringen trekken gelijk aan de zwaartekracht.

Als je zou ronddraaien, dan is de kracht gelijk aan de zwaartekracht plus de kracht waardoor je ronddraait (middelpuntzoekend, F = mv²/r) - vectorieel opgeteld. Bij doorgang door het laagste punt (waar je zou stilhangen) is dat dan het gewicht PLUS de middelpuntzoekende kracht die je laat draaien.

Als je vraag is ingegeven door de 3e wet van Newton (actie = reactie, populair gezegd) dan heb je de wet niet goed begrepen. Er zijn steeds 2 krachten, even groot en tegengesteld, maar elke kracht werkt op een ander object.
De ringen bijv. oefenen een (span)kracht uit op de atleet. De atleet oefent een even grote kracht uit (gewicht) op de ringen.

De aarde trekt aan de atleet (zwaartekracht), de atleet even hard aan de aarde. Als hij loslaat gaan aarde en atleet op elkaar af. Alleen de versnelling (a = F/m) is voor de atleet veel groter en zichtbaar (hij valt) en de aarde met veel grotere massa, bijna nul.
Twee krachten volgens Newtons derde wet houdt dus niet in dat er niets beweegt. Alle krachten die OP de atleet werken bepalen of hij gaat bewegen, niet de krachten die hij zelf uitoefent (zoals gewicht). Als die krachten op de atleet opgeteld niet nul zijn, dan zal de atleet bewegen. Als F_mpz > F_gewicht dan is er een resultante en beweegt/schommelt/draait de atleet.