Quantumverschijnselen treden alleen op als het object dat je probeert te meten vrijwel even groot is als het middel waarmee je probeert te meten. Dan verstoort die meting het resultaat nogal.

Die verstoring is de "onzekerheid" in de meting. In de quantummechanica wordt dat met Δ aangeduid en is dus niet het verschil zoals in de gewone mechanica. De quantum Δ kun je beter als ± zien.
Een deeltje bevindt zich op positie x ± 1/2 Δx . Het zit dus "ergens rondom" x. Maar de positie is niet exact bekend.
Voor de impuls p van het deeltje geldt iets soortgelijks: p = mv maar kan ook 1/2 Δp meer of minder zijn.
Werner Heisenberg heeft kunnen afleiden dat die beide onzekerheden gekoppeld zijn: zijn "onzekerheidsrelatie":
Δx.Δp > h/(4π).  Nu is h een kleine waarde (orde 10^-34). De onzekerheden moeten dus heel klein zijn om iets van de quantummechanische verschijnselen te merken, want als product is het altijd groter dan 10^-34. Maar hoe dichter bij 10^-34 hoe meer het quantumaspect zich doet gelden. Ben je er ver vanaf (10^-22 of zo), dan kun je gerust de klassieke benadering gebruiken omdat de verschijnselen bij die grofheden in het niet vallen.

Voor grote voorwerpen (spijker) zal de positie met een meetlat nauwkeurig bepaald worden - tot op wellicht 10^-10 m (dus Δx onnauwkeurigheid van die ordegrootte). De snelheid (of impuls) kan ook vast tot op dat soort nauwkeurigheden worden bepaald. Maar dan is Δx.Δp >> h  en daarmee buiten het domein van de merkbare quantummechanica. 
Voor elektronen in een metaal geldt dat niet. Ook hun positie en impuls is niet nauwkeurig bepaald, maar de onzekerheid erin ligt meer in Δx.Δp ≈ h/(4π) en daardoor "zie" je de quantum aspecten.

Een ander aspect bij quantum mechanica is de "materiegolflengte". Dat heeft niks met golven te maken (er is geen frequentie en geen golfsnelheid) en alles met waarschijnlijkheid iets ergens te vinden. Op klassieke schaal denk je dan misschien aan een Gausische kromme voor de waarschijnlijkheidsverdeling. Bij quantum mechanica is die verdeling bepaald door de Schrodingervergelijking waarin massa en energie van een deeltje (of spijker) zit opgenomen. De oplossing lijkt soms om een sinus-achtige golf. Vandaar "golfvergelijking" of "golfmechanica" maar het heeft met golven dus niks te maken.
De "golflengte" wordt gegeven als de DeBroglie golflengte (de man had een slimme inval en kreeg de Nobelprijs maar had ook geen idee wat zo'n golf nu voorstelde: niks dus, alleen een waarschijnlijkheidsaanduiding zo later blijken):  λ = h/p = h/(mv). 
Als deze golflengte veel kleiner is dan het object dat erbij hoort (door invullen van m en v) dan kun je quantum mechanische verschijnselen ook vergeten. Dus voor een elektron geeft invullen een golflengte die ongeveer de grootte van het elektron vormen en "dus" zie je quantumaspecten. Bij een spijker van een paar gram is de golflengte miljoenen malen kleiner dan de lengte/grootte van de spijker: die zal geen quantumverschijnselen tonen. Ze zijn er wel, maar op spijker-grootte verwaarloosbaar. Het wordt weer anders als je een enkel atoom van die spijker apart kunt beschouwen (met zijn trillingen in het metaalrooster en de invloeden van al zijn buren). Maar op grote schaal "middelt" dat allemaal lekker uit en middelen de quantumaspecten ook uit. Heb je geen last van.

Zou een spijker zich gedragen als een deeltje dat wel quantumaspecten vertoont, dan zou (uit de Schrodingervergelijking) volgen dat de spijker maar bepaalde energiewaarden kan hebben (en daarmee ergens wel of niet zijn) en zou je een lijnenspectrum zien. Met energieverschillen die overeenkomen met de afzonderlijke energiewaarden die het spijkerdeeltje kan aannemen.
Een echt quantum-deeltje is bijv. het elektron rondom de waterstofkern: dat zie je duidelijk met Lyman/Balmer/Paschen lijnen in het waterstofspectrum heen- en weer springen.
De spijker... die gloeit (infrarood, rood, geel, witheet...) als je er energie aan toevoert. De energieverschillen van al die atomen tezamen (die trillen, elektronen laten springen enz) liggen zodicht bijeen dat het spectrum continue lijkt (en praktisch ook is). De afzonderlijke waarschijnlijkheidsverdelingen van al die atomen en deeltjes strijken de quantumhobbels glad in macroscopische gemiddelde waarden. Maar plaats 1 ijzerdeeltje apart en daar is ineens het ijzerlijnenspectrum.

Een TL balk heeft, zoals je correct opmerkt, een lijnenspectrum door de aangeslagen toestanden van het (ijle) gas in de bus. Echter, die fotonen worden opgenomen door de coating van de buiswand (dat witte spul) en dit materiaal zendt later de fotonen op andere (lagere) frequenties weer uit. En doet dat net als de spijker "gemiddeld" zodat de ene een rood foton, de ander een geel foton of blauw foton uitstraalt. Een soort continuum voor het oog. Maar kijk ernaar door een spectraaltralie en je zult zien dat de TL balk wel veel frequenties uitzendt maar niet alles. Het is zeker geen continuum. (Zelfde zie je als je "witte" LED lampen bekijkt: die zijn allesbehalve wit-continue zoals een gloeilamp vroeger was).

Dank voor uw antwoord. Dit is verduidelijkend maar ik heb nog wel een paar vraagjes.

Als deze golflengte veel kleiner is dan het object dat erbij hoort (door invullen van m en v) dan kun je quantum mechanische verschijnselen ook vergeten.  
Maar als de golflengte heel klein is, dan is zijn onwaarschijnlijkheid in plaats toch ook heel klein en zou het dan wel quantumverschijnselen tonen vanwege de onzekerheidsrelatie?

Zou een spijker zich gedragen als een deeltje dat wel quantumaspecten vertoont, dan zou (uit de Schrodingervergelijking) volgen dat de spijker maar bepaalde energiewaarden kan hebben (en daarmee ergens wel of niet zijn) en zou je een lijnenspectrum zien.

Hebben gasmoleculen in een tl-buis dan ook bepaalde energiewaarden waarbij deze moleculen van aangeslagen toestanden terugvallen naar lagere toestanden/grondtoestand?

En wat moet ik me eigenlijk voorstellen bij quantumaspecten/verschijnselen in deze context?

Veel dank.

>Maar als de golflengte heel klein is, dan is zijn onwaarschijnlijkheid in plaats toch ook heel klein en zou het dan wel quantumverschijnselen tonen vanwege de onzekerheidsrelatie?

Een kleine golflengte - ongeacht de waarschijnlijkheid (niet de on-waarschijnlijkheid) - geeft bij gelijke amplitude aan dat het deeltje overal een vrijwel gelijke kans van aantreffen heeft omdat de toppen van de golf vrijwel samenvallen. Golflengte heeft op zich niets te maken met de (on)nauwkeurigheid van de meting. Meting en waarschijnlijkheid staan los van elkaar. Wel "stort de golffunctie in" als een meting wordt gedaan. Net als bij een loterij: iedereen heeft een minieme kans te winnen, maar als wordt getrokken (gemeten) dan heeft 1 persoon gewonnen en de rest niet: het deeltje is ergens aangetroffen en elders dus niet.

>Hebben gasmoleculen in een tl-buis dan ook bepaalde energiewaarden waarbij deze moleculen van aangeslagen toestanden terugvallen naar lagere toestanden/grondtoestand?

Sommige TL buizen hebben kwikdamp en het gas straalt dus een kwiklijnenspectrum uit omdat de kwikatomen worden aangeslagen door de langssnellende elektronen die van de ene naar de andere kant van de buis versneld worden. De uitgestraalde fotonen horen bij de kwik-overgangen. Maar worden geabsorbeerd in de wand waar de atomen veel meer tussen-stappen kennen om terug te vallen zodat de meeste energieverschillen fotonen in het zichtbare licht geven (fluorescentie).

>En wat moet ik me eigenlijk voorstellen bij quantumaspecten/verschijnselen in deze context?
Atomen hebben maar bepaalde toegelaten energie-niveaus (gequantiseerd) en de absorptie/emissiefotonen dus ook. Daarnaast is niet duidelijk waar een elektron zich rondom de kern bevindt. Het is geen planeetmodel, maar meer een "wolk"model. de "s" banen zijn bolvormig, de "p" banen duppels en andere banen nog ingewikkelder.

Aha dank u. Ik heb echter nog een vraag: hoe kan het dat het de hele spijker moet zijn die de energiewaardes zou moeten hebben. Is het niet dat losse elektron die zich in een doosje bevindt en dus de energiewaardes moet hebben? Zou een logische verklaring dan zijn dat de orde van golflengte ongeveer moet zijn als het doosje om staande golven voor de energieniveaus te verkrijgen?

bedankt.

De spijker bestaat uit atomen en hun onderdelen. Elk afzonderlijk bekijken los van andere kernen kan (soms) met een doosjesmodel.

Maar als je atomen naast elkaar zet (en boven/onder elkaar) dan beinvloeden die elk het doosjesmodel van dat ene atoom. De energie- en krachtverhoudingen van de kern t.o.v. al zijn (verre) buren wordt ineens heel complex. Zo erg zelfs dat die heel discrete energieniveau's van een enkele kern en elektronen zeer dicht bijeen gaan liggen en bijna als continuum gezien kunnen worden. Voor de spijker als geheel (alle kernen/elektronen samen) zijn vrij continue energieniveau's beschikbaar en "vervalt" het doosjesmodel.
Zie bijgaande schematische tekening die aangeeft hoe een enkel energieniveau van een geisoleerd As atoom ineens in meerdere toegestane waarden uiteenrafelt als het in de buurt van andere atomen komt (kleinere "separation" d) in een As-rooster (As = Arseen). Die uiteenrafeling kan zulke kleine energie niveauverschillen geven dat ze als "band" worden gezien waarin (praktisch) alle energiewaarden zijn toegestaan. Daar komt ook meteen het begrip van "geleidingsband" vandaan: elektronen met allerlei energieen (meer dan hun "doosje/putjes"model zou toestaan).

Aha zo werkt het dus. Dat is een hele duidelijke verklaring voor vraag 40, maar ik zit nog steeds een beetje met vraag 39. U zei eerder dat de golflengte van de spijker heel klein is en daardoor zijn er geen quantumverschijnselen (volgt ook heel logisch uit uw redeneringen). Maar in het antwoordmodel gaan ze rekenen aan de golflengte van het elektron en daaruit concluderen. Vandaar mijn vraag over de golflengte van het elektron als staande golf in het doosje. Maar nu blijkt dus dat de spijker niet het doosje is maar de kern(en) waaraan dit elektron (hoe zwak die binding dan ook is met een losse elektron) gebonden is... Moeten we dan niet juist gaan rekenen aan de spijkers golflengte en niet die van het losse elektron waar ze 't over hebben.

Dank.

Vraag 39 zegt dat het elektron (met zijn massa en energie) een DeBroglie golflengte heeft (dus waarschijnlijkheid ergens te zijn of niet te zijn) die veel kleiner is dan de spijker. Maw. Er passen erg veel golflengtes in de lengte van de spijker. En omdat de amplitude de kans aangeeft zal die kans dus ongeveer overal even groot (of klein) zijn.
Als je een kleine "doos" hebt en daar een staande DeBroglie golf in past, dan zal de doos 1/2 golflengte, 1 golflengte, 3/2 golflengte enz (=n=1,2,3) zijn. Daarbij hoort een energie (E ∝ n² bij een doos) . Maar de golflengte van een elektron zou n=erg veel keer passen in de spijker. En daarmee zijn de mogelijke energieen ook vrijwel zo weinig van elkaar verschillend dat het continue lijkt. Niks quantum te merken. Maar het doosmodel gaat sowieso erg mank bij een spijker omdat het elektron in een zeer vreemde doos zit (zal misschien meer op een eierkarton lijken) door de vele atomen die ook invloed hebben op de doosvorm.

Quantumgedrag is merkbaar als:
- DeBroglie golflengte ongeveer de ruimte is waarbinnen het deeltje past (dan zijn er grote onderscheiden te zien in energie tussen de "aangeslagen" toestanden n=1,2,3,4...). Is de ruimte veel groter, dan lijken de niveau's erg op elkaar en vormen vrijwel een continuum
- De onzekerheidsrelatie van Heisenberg ΔxΔp > h/(4π) heeft bijna ≈ en geen > teken. Hoe groter t.o.v. h/(4π) hoe minder quantumgedrag merkbaar is.

Dus als een elektron door een hele brede spleet gaat zijn er eigenlijk vrijwel geen quantumverschijnselen merkbaar, aangezien +-x dan groot is en +-p dus niet per se aan een conditie moet voldoen?

En hoe zit het met dit : Als deze golflengte veel kleiner is dan het object dat erbij hoort (door invullen van m en v) dan kun je quantum mechanische verschijnselen ook vergeten. Dus voor een elektron geeft invullen een golflengte die ongeveer de grootte van het elektron vormen en "dus" zie je quantumaspecten. Geldt dit altijd ongeacht onzekerheidsrelatie/ deeltje in doosmodel?

We moeten in deze discussie wel het elektron onderscheiden van zijn waarschijnlijkheidsgolf. Zijn DeBroglie golflengte vergelijk je met de afmetingen van de doos waarin het elektron zich bevindt of de spleet waardoor hij kan gaan. De hoogte van de golfamplitude geeft de kans aan dat je het elektron daar kan aantreffen.

> Als deze golflengte [...] die ongeveer de grootte van het elektron vormen en "dus" zie je quantumaspecten
Dit komt met het eerder genoemde overeen. DeBoglie golflengte kleiner dan het object (zeker waar voor een spijker, niet voor een elektron) dan kun je de klassieke benadering gebruiken.

Het gaat niet helemaal op, maar als analogon kun je denken aan een muur met bakstenen. Dichtbij zie je de bakstenen (misschien een in detail), maar verderweg wordt het een egale bruine muur die net zo goed van geverfd hout had kunnen zijn. De details verdwijnen in het grote plaatje. Zoals quantum aspecten merkbaar zijn "met je neus er bovenop" (in de atomair grote zaken) maar niet op enige afstand (veel groter dan atomair).

Onzekerheid of golflengte (niet per se "en") zijn een reden wel/niet quantum eigenschappen te beschouwen. Net als snelheden onder 0,25 lichtsnelheid ook prima met Newtons klassieke mechanica kunnen worden afgehandeld ipv de relativiteitstheorie.
Voor het gewone leven gaan we traag genoeg en zijn we groot/grof genoeg om relativiteit en quantum mechanica te kunnen negeren.
(Maar processen in je DNA, de chemische verbindingen, je MP3 speler: daar doet quantum mechanica er wel toe - maar de processen daar gebeuren allemaal op atomaire schaal).

Is het dan niet ook goed om de debroglie-golflengte van de spijker te berekenen en dat die orde van grootte een factor 10^6 ofzo verschilt van grootte spijker, ipv. die van het elektron en dan vergelijken met lengte doos(= lengte spijker)?

Dag Harold,

Vraag 39 wordt besproken in het artikel "Quantumlesje (5)" (tijdschrift NVOX, november 2014)
http://amber.bonhoeffer.nl/~peter/Download/Quantum/NVOX/Meerdere%20elektronen%285%29.pdf

Van Bemmel en Koopman, de auteurs van het artikel, maken mijns inziens aannemelijk dat vraag 39 niet goed past in het Nederlandse centraal examen vwo natuurkunde. Vele vrije elektronen delen de ruimte in de spijker. Volgens het "uitsluitingsprincipe van Pauli" kunnen in deze ruimte slechts maximaal twee elektronen tegelijkertijd in dezelfde kwantumtoestand verkeren. Hoe de elektronen zich gedragen en wat we daarvan op macroscopische schaal merken (het licht van de gloeiende spijker), wordt mede bepaald door "Pauli". Het uitsluitingsprincipe behoort tot de kwantummechanica. Het antwoord in de syllabus dat "...hier geen kwantumverschijnselen te verwachten zijn", is daarom aanvechtbaar. "Pauli" staat echter niet in de syllabus. Daarom menen de auteurs van het artikel dat vraag 39 niet goed in een centraal examen past.

Overigens wordt in de natuurkunde vrijwel algemeen aanvaard dat we het gedrag van elektronen in sommige situaties goed kunnen beschrijven in termen van golfeigenschappen, zoals waarneembaar is bij buiging en interferentie. De golflengte die we aan een elektron kunnen toekennen, is zo'n golfeigenschap. In die zin kun je zeggen dat elektronen zich soms gedragen als een golven. Dat iets (elektron) zich in het ene experiment gedraagt als een deeltje en in het andere als een golf, wordt uitgedrukt met het begrip golf-deeltje-dualiteit (eindterm van subdomein F1 van het examenprogramma vwo). De vraag wat een golf "is" en wat een deeltje "is", laat ik over aan filosofen.

Met vriendelijke groet,
Jaap Koole

Dus ik heb na zitten te denken met meneer de Klerk over een vraag die in essentie fout is?... In ieder geval bedankt voor het naar boven brengen van dit artikel meneer Koole, ik had niet verwacht dat zoiets er was. Dan zal ik deze opgave maar laten rusten.

Dag Harold,

De moeite van jou en Theo is niet tevergeefs. Veel van wat je hebt bedacht, is gewoon geldig in andere opgaven met één deeltje in een doosje (of twee deeltjes). Het is dan zinvol om de debrogliegolflengte van het deeltje te vergelijken met de beschikbare ruimte. En het is zinvol om te constateren dat de energie E_n (Binas-formule) van het deeltje in een grote doos erg klein is, zodat de verschillen tussen de energieniveaus zeer klein zijn en je een continu spectrum mag verwachten.

De spijker-opgave is niet fout. Maar voor een goede uitwerking hebben we het uitsluitingspricipe nodig, en dat behoort niet tot de officiële ce-stof.

Over je voorlaatste bericht: het lijkt me niet zinvol om de debrogliegolflengte van de spijker te berekenen.

Met vriendelijke groet,
Jaap Koole

> het lijkt me niet zinvol om de debrogliegolflengte van de spijker te berekenen.

Mij wel, maar alleen om daaruit de conclusie te trekken dat λ <<< lengte spijker en "dus" de klassieke mechanica prima voldoet.

En eerderL
> Vele vrije elektronen delen de ruimte in de spijker. Volgens het "uitsluitingsprincipe van Pauli" kunnen in deze ruimte slechts maximaal twee elektronen tegelijkertijd in dezelfde kwantumtoestand verkeren.

Al die miljarden eletronen hebben niet dezelfde quantumtoestand maar elk een unieke: daarom gaat Pauli "op". Het zou fout zijn te denken dat in de spijker vanwege Pauli maar 2 elektronen zouden mogen passen in de "spijkerdoos".
Er zijn miljarden quantumtoestanden (rond miljarden atomen in de spijker) die ieder door een elektron kan worden ingenomen. Het "doosmodel" past niet bij een spijker. Het criterium voor "klassieke mechanica voldoet" uit de berekening van DeBroglie golflengte geeft dit nog eens aan.
En die golf: het is geen "klassieke" golf (geen snelheid, geen frequentie). Het is slechts een wiskundige vorm voor de kansberekening uit de Schrodingervergelijking die naast sinusgolf ook expotentieel en vele andere vormen kan hebben) . Er "trilt" en "golft" dus ook niks bij een bewegend elektron.