Aangezien de snelheid toeneemt bij het vallen (ideale geval: v = gt) en de luchtweerstand kwadratisch tegenwerkt ( F = kv²) mag je dus niet zomaar de energievergelijking opstellen. Dat mag wel, maar dan moet je een component voor Q voor de "verloren" luchtweerstand in de vorm van warmte meenemen: ΔE_z = ΔE_kin + Q
Die Q is de arbeid die de zwaartekracht in warmte omzette. Nu is W = F.s zoals je zelf aangeeft, maar F is niet constant over de afstand s. Maar als je elk stukje ds neemt waarin je F wel een vaste waarde kunt geven en dan al die stukjes bij elkaar telt dan kom je op Q uit: Q = W = ∫ F(s).ds.  Hierbij kun je dit ook omschrijven naar W = ∫ F(v) dv  omdat de kracht van de snelheid afhangt en de plek waar je bent langs de afstand s ook met een snelheid overeenkomt ( dv = ds/dt)

Dus dat je voor F.s = Q steeds dezelfde waarde vindt is niet zo gek. Over de hele val zal steeds dezelfde arbeid zijn verricht.
Je zou eens kunnen kijken hoe Q wel verandert door een andere pijl te nemen met grotere luchtweerstand (dikkere/bredere pijl).

Dag Florian, Theo

die "k" is natuurlijk wel vast te stellen uit  , als je uit je videometingen ook kunt halen vanaf welke hoogte de valsnelheid constant werd. ΔEk is vanaf dan 0, en s is gelijk aan de hoogte waarover de pijl constant valt.

Maar eigenlijk ben je met kanonnen op muggen aan het schieten
Eigenlijk heb je zo een beetje ingewikkelde krachtevenwichtvergelijking opgesteld. Vergeet energie en denk aan nettokracht. Hieronder eventueel een wiskundig bewijs dat je dat met die energievergelijking (mits correct gebruikt) over dat traject van constante snelheid via een dikke omweg toch ook al aan het doen bent. Lukt het je niet om een oplossing te bedenken via nettokracht, selecteer dan dat bewijs tussen de puntjes hieronder.

...........................................................................
         ΔEz = ΔEk + Fw·s
valsnelheid constant, dus ΔEk = 0
blijft over
          ΔEz =Fw·s
substitueer de formule voor ΔEz
        mgΔh = Fw·s
er geldt  Δh = s , deel die dus tegen elkaar weg
blijft over
         mg= Fw
omdat zwaartekracht Fz= mg blijven we over met
          Fz=Fw (bij constante valsnelheid = eindsnelheid)

En dat hadden we wel eerder kunnen bedenken, want als de snelheid van een voorwerp niet verandert moet de nettokracht 0 zijn. 
.........................................................................

Groet, Jan

Bedankt voor de reacties, beiden.

Het probleem is, Jan, dat de pijl in onze videometing geen constante snelheid behaalt, en ik ook niet denk dat we op een hoogte kunnen komen waarop dat wel gebeurt. Is er misschien een andere mogelijkheid om achter de waarde van 'k' te komen met onze huidige videometing waar je van weet? 

Florian

Een s/t diagram moet al makkelijk uit je videometingen te halen zijn?
Omzetten naar een v/t en vervolgens een a/t diagram? Want een verschil tussen die a en 9,81 m/s² is te wijten aan een wrijvingskracht.

Of een coach-of excelmodel bouwen voor een vallende pijl, en daarbij net zo lang aan je "k" zitten tweaken totdat je model een s/t diagram oplevert dat overeenkomt met het s/t diagram uit je video?

groet, Jan

Florian vraagt "een andere mogelijkheid om achter de waarde van 'k' te komen met onze huidige videometing". Tijdens de val heeft de pijl geen constante snelheid bereikt.

Bepaling van k bij een pijl is een uitdaging, omdat een pijl zo is gemaakt dat de beweging nauwelijks door de luchtwrijving wordt beïnvloed. Bij een goede pijl is k klein en bij een vrije val nul. Florian wil het verschil tussen klein en nul bepalen aan de hand van de videometing.

Florian heeft de eindsnelheid gemeten en hopelijk ook de valtijd en de valhoogte. Hij kan de val nabootsen met een model, bij voorbeeld met Coach, en zorgen dat het model stopt als de gemeten valhoogte wordt bereikt. Florian kan met het model via 'probeer en verbeter' de waarde van k zoeken zodat de eindsnelheid in een tabel van het model overeenkomt met de eindsnelheid volgens de videometing. (Dat is wellicht iets directer en kansrijker dan het door Jan voorgestelde gebruik van grafieken, omdat die weinig verschil tussen de pijl en een vrije val te zien zullen geven.)

Misschien is het lastig om de eindsnelheid nauwkeurig te bepalen, bij voorbeeld uit v_eind≈Δh/Δt van de twee laatste filmbeelden. Vage afbeeldingen van de pijl op een filmbeeld maken Δh onzeker. In dat geval zou ik de eindsnelheid vergeten en k in het model zo instellen dat de gemeten valtijd overeenkomt met de valtijd volgens de videometing. Een praktisch probleem kan zich voordoen als op de film het einde én het begin van de val zichtbaar moet zijn, terwijl daar een flinke afstand tussen zit.