dag Abdoel,

bedenk dat voor vraag b) je energievergelijking ook een term voor (wrijvings)arbeid gaat bevatten, W = F·s
bedenk daarbij dat er een (wiskundige) relatie is tussen afstand s op een kwart cirkel en de hoogte h op diezelfde kwartcirkel, zodat je je vergelijking toch kunt oplossen voor h.
Ik  neem hierbij even aan dat punt B precies op het begin van de kwart cirkel ligt.

groet, Jan

Beste Jan,
Dat had ik wel door, maar het blokje komt niet per se tot het einde van de kwart cirkel, waardoor het verband tussen s en h lastig vast te leggen is. Ik had een verband door een hoek gevonden maar dan komt in me uiteindelijke vergelijkingen een arccos ((r-h)/r) en daarom kwam ik niet uit.

Groetjes,
Abdoel Wahid

Beschouw eens het blokje dat vanuit B een stukje van de cirkelboog opgaat. Vanuit het middelpunt gezien is die hoek bij B nog 0 graden, als die tot bovenaan zou komen 90 graden. Maar zover komt ie niet.
Je kunt de weglengte berekenen als deel van een hele cirkel. Een hele cirkel zou 360 graden zijn en s = 2πr . Als ik maar α graden ver kom, dan is mijn cirkelboogje ook maar het α/360 -ste deel van de omtrek 2πr.

De hoogte kun je nu wel berekenen. Kijk eens op onderstaande tekening en zie of je kunt uitvogelen hoe hoog h dan is. Er komt een cos α bij te pas...

Ja precies dit had ik gedaan. Er geldt dan:cos α= (r-h)/r
α x r= s  (α in radialen)

dus α= arccos((r-h)/r)

Ik krijg dan:

U_mech,voor= U_mech,na + W_Fw
0.5m₂v_2na²= m₂gh + F_w  x (r x arccos((r-h)/r) )

dag Abdoel,

Ik weet niet zeker of je gelijk hebt, ik zie je afleiding zo gauw niet. 
Ik pak het op een andere wijze aan, proberen die uiterste hoek vast te stellen, en stuit dan op een vergelijking die analytisch onoplosbaar is. Die zag ik eerlijk gezegd toen ik mijn eerdere reactie schreef niet aankomen....

Die ga ik dus numeriek moeten gaan benaderen. Ik zal hem zo eens in excel gooien.

Groet, Jan

Beste Jan,

Met de uitleg van Theo de Klerk en mijn reactie daarop kan je de afleiding wel inzien denk ik, zoniet dan kan ik wat extra uitleg over hoe ik eraan kom sturen.

mijn aanpak is:

½mv² = mgh + Fs
          = mg(R-Rcos(α)) + F(Rα)

Alle zwarte factoren zijn bekend. Oplossen voor alfa geeft me niet direct een hoogte, maar wel een hoek, die daarna eenvoudig is om te rekenen naar een hoogte, waardoor ik me mogelijk een gemene algebrablunder in het omschrijven van die vergelijking bespaar. Omdat e.e.a. toch numeriek opgelost gaat moeten worden is dat verder ook geen bezwaar lijkt me. 

groet, Jan

Beste Jan,

Het komt inderdaad veel eenvoudiger uit door de h te vervangen ipv de alfa, maar zou je kunnen uitleggen hoe ik de alfa kan berekenen hieruit? Ik kom namelijk niet eruit doordat er een cos alfa en gewoon een alfa is.

Groetjes,
Abdoel Wahid

dag Abdoel,

zoals ik eerder al schreef:

dat kun je doen door een techniek die je hopelijk bij wiskunde al eens leerde, en die op mijn school "inklemmen" heet: de vergelijking in je rekenmachine gooien en op basis van educated guess een alfa invullen. Uitkomst te laag? grotere alfa kiezen. Uitkomst te hoog? kleinere alfa kiezen.
En daarmee doorgaan totdat je alfa tot voldoende cijfers achter de komma nauwkeurig hebt.

Maar je kunt ook excel voor desnoods duizenden in kleine stapjes oplopende alfa's steeds diezelfde formule laten doorrekenen.

Ik kom dan uit bij 0,9664 radialen, wat me doorrekenend een hoogte van 86(,3) cm oplevert.

Groet, Jan

Beste Jan,

Bedankt voor de hulp. Ik heb dat niet gehad bij wiskunde, maar wij mogen niet werken met calculators waarin je vergelijkingen kan invoeren. Ik moet het dus gewoon door berekeningen en vergelijkingen zonder een calculator nodig te hebben op kunnen lossen.

Groeten, 
Abdoel Wahid

Ook in jouw eigen geval "zit" je met een α en cos α als je je hoogte h uitdrukt in R - R cos α.
En inderdaad is s = r.α als α in radialen staat. Dat had je goed en zag ik onterecht als gradenhoek aan...
Overigens geldt wel (heb ik aangepast) bij je dat
U_{kin B} = U_pot + W_wrijving   Beide energieen worden opgeteld, niet afgetrokken!

1/2 mv² = mg(R - R cos α) + F_w (R α)
Dat zou ik ook zo niet in α uitgedrukt krijgen - dan lijkt de numerieke benadering of inklemming van Jan nodig.

Opgave c wordt dan nog ingewikkelder, want F_w = μ F_N maar F_N verandert steeds van waarde als de hoek α groter wordt zodat opnieuw F_w een functie van α wordt... dus moet de hele boog s worden opgedeeld ik kleine stukjes ds waarbij F_w constant kan worden gedacht en de wrijvingsenergie daarbij dW = F_w ds . En dan alle beetjes dW bij elkaar tellen tot W (bereikt als alle beetjes ds tezamen s worden: integreren heet dat in de wiskunde)

Ik doe dat ook maar op een gewone Casio fx hoor

Eenvoudig voorbeeldje (rond een afbeelding die ik toevallig vond):

Stel je hebt de vergelijking 46/(x³+x) = 5 en je wilt die inklemmend benaderen.
educated guess ongeveer 2, type in:



Da's een beetje te weinig zoals je ziet. Via de terugtoets van die tweeën allebei een 1,9 maken, en dan kom je wat te hoog uit.
1,95 dan maar eens geprobeerd, enzovoort. Na een aantal pogingen heb je dan de waarde van x in een aantal decimalen nauwkeurig.
Niks geen grafische rekenmachine voor nodig.

groet, Jan

nog een andere optie is een taylorreeks, zoals kwam bovendrijven toen ik deze kwestie elders aankaartte:

http://www.wetenschapsforum.nl/index.php/topic/200832-een-hoek-en-zijn-cosinus-bij-elkaar-optellen/?p=1068699

groet, Jan 

Beste Jan,

Sorry ik dacht dat je gewoon de functie met variabelen in de calculator wilde zetten en dat het dan zelf het antwoord voor je zou uitrekenen. Voor deze som hebben we echter geen nummeriek oplossen en nog geen taylor reeks gehad, dus moet ik het op een andere manier kunnen oplossen.

Toch bedankt,

Groeten,
Abdoel Wahid

Ga niet verder op zoek, met "gewone" algebra is hier eenvoudigweg geen oplossing. Met de suggesties die je hierboven kreeg is het wiskundige arsenaal wel zo'n beetje uitgeput. Mijn eigen wiskunde is niet super, maar met de wiskunde van degenen die ik intussen raadpleegde ivm dit probleem is niks mis. Als die zeggen dat het niet anders kan dan zó, dan kan het niet anders dan zó. Ook een taylorreeks is een wiskundige manier van benadering, meer niet.

Zoals Theo al aankaartte, geval c) wordt nog een hele klap ingewikkelder, de wrijvingsterm in je energievergelijking wordt daar een "leuke" integraal, en zal uiteindelijk in combinatie met die hoogteterm óók niet analytisch oplosbaar zijn. 

Dus voordat je er verder energie in steekt, leg hem beter eerst terug bij je docent om te vragen wat nou eigenlijk de bedoeling is. Alsd die een betere aanapk heeft dan ben ik daar zéér benieuwd naar.

Inklemmen is een techniek die we in Nederland de vijftienjarige vmbo-leerlingen leren (mocht je Vlaming zijn, vergelijkbaar met 3e jaar TSO) voor zaken die (met hun wiskundekennis) wiskundig-analytisch niet oplosbaar zijn. Niks mis mee, zelfs de grootste wiskundigen moeten tot zoiets soms hun toevlucht nemen, simpelweg omdat er zaken zijn, zoals dit geval, die analytisch niet oplosbaar zijn. 

groet, Jan

Beste Jan,

Ja ik zag ook geen andere uitweg, sinds jullie er ook niet op een andere manier op kwamen. Dus heb het aan een andere begeleider gevraagd. Ik ben wel bekend met Taylorreeksen, maar voor deze som hoefden we dat niet te kennen. (De andere studenten kennen die namelijk nog niet). Ik ben ook benieuwd naar de aanpak die ze van ons hadden verwacht. Als het wat anders is, zal ik het zeker melden.

Groeten, 
Abdoel Wahid

Dag Abdoel,
Je schrijft dat je onderdeel b en c van de som niet kunt oplossen.
Gevraagd is de eindpositie van de massa's M1 en M2.
In de situatie van b en c (en a, trouwens) is punt B de eindpositie van M2.
Hoe we met de voorhanden zijnde gegevens zo'n specifiek punt als eindpositie van M1 kunnen bepalen, ontgaat me helaas.
Groet, Jaap

 Die "eindpositie" is een term die hierboven is geïnterpreteerd als verste of hoogste punt, en dan valt er nog wel (benaderend) aan te rekenen. Als dat geen juiste interpretatie is wordt de vraag of we strikvragen ("leg uit en bereken") mogen stellen voor 10 scorepunten. 
Misschien een leuke oefening met al de valkuilen, maar geen correct toetsmateriaal. 

Groet, Jan  

Dag Abdoel,
In situatie a botst M1 op t=10 s met 5 m/s tegen M2 en komt M1 voorlopig in punt B tot stilstand.
M2 gaat dan met 5 m/s de gebogen baan BC in en komt even later tot stilstand op de door jou berekende hoogte h=125/98=1,276 m. Doordat er geen wrijving is, blijft M2 hier niet liggen, maar herhaalt zich de beweging van M2 in omgekeerde volgorde. M2 botst even later in punt B tegen M1 en blijft daar liggen. Punt B is de eindpositie van M2.
M1 beweegt vanaf dat moment met 5 m/s vanuit punt B naar links. Met de beschikbare gegevens kunnen we niet een specifiek punt aanwijzen als eindpositie van M1. Dat zou wel kunnen als bij voorbeeld een 'eindtijd' gegeven was, behorend bij de gevraagde 'eindpositie'.
Groet, Jaap

Abdoel is al zes jaar verder... allang van school af

Dag Abdoel,
Ook in situatie b botst M1 op t=10 s met 5 m/s tegen M2 en komt M1 voorlopig in punt B tot stilstand.
M2 gaat dan met 5 m/s de gebogen baan BC op. Volgens de door Jan genoemde rekenwijze komt M2 door de remmende zwaartekracht en F_w=0,1 N tot stilstand bij α=0,974945 rad, op een hoogte h=0,878 m (met jouw g=9,8 m/s²; Jan rekende met g=10 m/s²).
De neerwaartse component van de zwaartekracht langs een raaklijn aan de boog is hier m·g·sin(α)=0,406 N. Dat is meer de wrijvingskracht, zodat M2 langs de boog omlaag begint te glijden.
Voor de terugweg tot punt B geldt ½·m·v_B²=m·g·(R–R·cos(α))–Fw·R·α →
½·0,050·v_B²=0,050·9,8·(2–2·cos(0,974945))–0,1·2·0,974945 → v_B=3,066 m/s
M2 botst in punt B tegen M1. M2 blijft hier liggen. Punt B is de eindpositie van M2.
Met wrijving legt M2 een kleinere afstand af met een kleinere snelheid, vergeleken met situatie a zonder wrijving. Per saldo duurt dat vrijwel even lang.
M1 beweegt na de tweede botsing met 3,066 m/s vanuit punt B naar links.
Een specifiek punt kan ik niet aanwijzen als eindpositie van M1.
De natuurkundige kern van de som is wat mij betreft de beweging langs de boog. De botsingen met een extra massa M1 lijken vooral een vehikel om ons te laten vaststellen of M2 al dalend punt B bereikt. Met een constante Fw≥0,1902 N gebeurt dat niet meer.
Groet, Jaap

Dag Abdoel,

Ook in situatie c botst M1 op t=10 s met 5 m/s tegen M2 en komt M1 voorlopig in punt B tot stilstand.
M2 gaat dan met 5 m/s de gebogen baan BC op. De wrijvingskracht is nu F_w=μ·F_n met μ=0,1 en F_n is de normaalkracht van de baan op de massa M2.
Zie de figuur van Theo van 16 september 2016 om 01.59 uur: F_n=m·g·cos(α)+m·v²/r
De door de wrijving ontwikkelde warmte, als M2 beweegt over een hoek Δα, is
ΔQ=F_w·Δs=(μ·Fn)·(r·Δα)=μ·m·(g·cos(α)+v²/r)·r·Δα
De som van alle porties ΔQ tot aan de (onbekende) hoogste α noemen we Q.
Het sommeren heet hier integreren, aangezien v verandert langs de boog.
De rekenwijze van b gebruikte de wet van behoud van energie E_k,begin=ΔE_z+Q om de waarde van α bij het hoogste punt te berekenen. Die α is in situatie c de bovengrens van de integratie van ΔQ. Helaas is v geen bekende functie van α (of h) en mijn wiskundekennis schiet tekort om te integratie uit te voeren. Met de wet van behoud van energie loop ik hier vast.

Daarom gooien we het over een andere boeg: de tweede wet van Newton m·a=F_res.
Wat betreft de versnelling en de krachten langs een raaklijn aan de boog is a=dv/dt en
F_res=F_z,raak+F_w=–m·g·sin(α)–μ·m·(g·cos(α)+v²/r) als M2 stijgt (v>0)
F_res=F_z,raak+F_w=–m·g·sin(α)+μ·m·(g·cos(α)+v²/r) als M2 daalt (v<0)
Herschrijven geeft dv=–(g·sin(α)+μ·(g·cos(α)+v²/r))·dt als M2 stijgt
Dit is bruikbaar in een numeriek (of dynamisch) model van de beweging van M2.
Als extra geeft het model het verloop van α, h en v in de tijd.
Een voorbeeld van zo'n model, gemaakt met Coach 6 en bruikbaar met Coach 7, staat in de bijlage. Het model moet zijn ingesteld op radialen als hoekeenheid. Het model is geschikt voor de situaties a, b en c door in het model de startwaarde q=1,2,3 te kiezen voor stituatie a,b,c.

Resultaat in situatie c
M2 bereikt zijn hoogste punt bij α=1,019 rad en h=0,951 m.
Evenals bij b is de component van de zwaartekracht langs de raaklijn aan de boog hier kleiner dan de wrijvingskracht, zodat M2 langs de boog omlaag begint te glijden. In weerwil van de wrijving bereikt M2 punt B met een snelheid van 3,645 m/s.
M2 botst in punt B tegen M1. M2 blijft hier liggen. Punt B is de eindpositie van M2.
M1 beweegt na de tweede botsing met 3,645 m/s vanuit punt B naar links.
Een specifiek punt kan ik niet aanwijzen als eindpositie van M1.

Nu de integratie van ΔQ me niet lukt, rijst de vraag of een andere analytische oplossing mogelijk is. Misschien met Lagrange-mechanica; die heb ik niet paraat. Situatie c lijkt me te hoog gegrepen voor het Nederlandse vwo. De som zou deel kunnen uitmaken van een eerstejaarstentamen mechanica aan de universiteit.

Groet, Jaap