Hallo Joris,

Het zijn allebei benaderingen, in een beperkt temperatuurbereik. Ik weet niet of er een "fundamentelere" formule is die geen benadering is.

Dat het een benadering is blijkt ook uit de waarden voor de temperatuur coëfficient, die verandert met de temperatuur.

Groet,
Willem
 

dag Joris,

ze zijn beide juist, of beide onjuist, net hoe je het bekijkt. 

in elk geval, R_t=R₀.(1+αt)   volgt wiskundig uit R_t=R₀.e^αt , zie hier:
https://en.wikipedia.org/wiki/Temperature_coefficient#Mathematical_derivation_of_temperature_coefficient_approximation

en het laatste woord in de titel van die link zegt dan verder alles, "approximation". Let daarbij ook op de disclaimer:
"And α is independent of T" (en dát is duidelijk NIET zo) .

Ik vond hier een tabel met werkelijke soortelijke weerstandswaarden voor een groot temperatuurbereik van zilver:
http://www.nist.gov/data/PDFfiles/jpcrd155.pdf

daar (blz 1260) vind je deze tabel:

Ik heb e.e.a in een rekenblad gegooid:



als uitgangspunt een zilveren weerstandje met een waarde van 100 Ω bij 0°C

in kolom G de soortelijke weerstand van zilver volgens de tabel in die PDF.
Een 2 x zo hoge soortelijke weerstand geeft voor een draad van gelijke lengte en doorsnede een 2 x zo hoge weerstand. Kolom G heb ik dus gebruikt om in kolom E de waarde te bepalen van een weerstandje dat bij 0°C een weerstand van 100 Ω zou hebben. 

Voor de berekeningen in de kolommen c en d nam ik voor α de BINAS-waarde van 0,0039/K.

Wat mij opvalt, en waar ik ook nog eens over na moet denken, is waarom die formule met die e-macht sneller gaat afwijken van de werkelijkheid (en idioot gaat afwijken bij grotere temperatuurverschillen) dan die lineaire die daaruit is afgeleid. Wiskundig is die e-machtformule de juiste, in de praktijk is de daaruit afgeleide lineaire blijkbaar beter bruikbaar over grotere temperatuurverschillen, althans voor zilver.

Je kunt vast en zeker voor een stof een empirische formule afleiden die de werkelijkheid heel aardig benadert, als je vaker met zo'n stof moet werken bij verschillende temperaturen. Anderzijds, waarom zou je? De tabel met empirische waarden waarop zo'n formule dan gebaseerd zou zijn is in de praktijk net zo handig in gebruik denk ik.  

Groet, Jan

Beste Jan

Hartelijk dank voor je uitgebreide antwoord. Een en ander begon met dat ik ergens de weerstand van wou meten en mijn universeel metertje een waarde gaf die ik niet kon plaatsen. Ik dacht die meter te kunnen controleren door de weerstand van een ouderwetse gloeilamp van 100 W te meten en te vergelijken met de berekende waarde (W=V.I en V=I.R) Klopte weer niet! Tot ik bedacht dat dat verhaaltje natuurlijk alleen maar opgaat met de weerstand van de hete wolfraamdraad, niet met de koude. Daarom zocht ik naar de formule voor de temperatuur afhankelijkheid. 
Het doet er nu natuurlijk al lang niet meer toe, maar ik raakte geïntrigeerd door die twee verschillende formules. Mijn wiskunde schiet te kort om in te zien dat de ene uit de andere kan worden afgeleid, maar dat zal een benadering zijn binnen een bepaald bereik. Want zoals je spreadsheet aantoont lopen de uitkomsten van beide formules na verloop van tijd (ik bedoel van temperatuur) flink uiteen. Dit is materie waar je niet makkelijk van uit de theorie vat op krijgt.
En inderdaad, als je nou echt het verloop van de weerstand met de temperatuur nodig hebt, kun je net zo goed een empirische tabel.
gebruiken, als die voorhanden is.
Nogmaals, hartelijk dank voor je reactie, 
met vriendelijke groet, Joris Meischke

e^x = 1 + x + x²/2 + x³/6 + ... + xⁿ/n! volgens Taylor reeks expansie. Bij grotere waarden van x zal 1+x niet meer voldoende zijn en zijn meer termen nodig.

Verhelderend, ook voor mij. Wat blijft hangen is: hoe komt het fysisch dat de weerstand (meestal) stijgt met T? Is 't, dat de energie die de lamp verbruikt - de spanning, ofwel de hoeveelheid energie per elektron per seconde - veel meer toeneemt dan de stroomsterkte en dus stijgt R=U/I?

Zie ook https://www.natuurkunde.nl/vraagbaak/66136

> fysisch dat de weerstand (meestal) stijgt met T

Weerstand is de moeite die ladingdragers (elektronen) moeten doen om door een draad te komen als overal de koper-atoomkernen in de weg zitten. Zie het als een kogel afschieten in een bos. Hoe groot is de kans dat de kogel nergens een boom raakt en aan de andere kant er weer uitkomt?
Als elektronen botsen staan ze een deel van hun bewegingsenergie af aan de kernen. Die gaan daardoor meer trillen. Daardoor worden ze effectief groter: de kans om links of rechts van hun stilstaande positie toch met een elektron te botsen neemt toe doordat ze heen- en weer bewegen.
Dat effect van trillen neemt toe naarmate meer botsingen hebben plaatsgevonden en de temperatuur toeneemt (=maat voor de heftigheid van de trillingen). Hogere temperatuur > grotere trillingen > meer botsingskans > hogere weerstand.

Voor de meeste materialen werkt dit zo. Er zijn er een paar (NTC's) waar het net andersom is. Door wat specifieke quantumomstandigheden groeperen de kernen zich meer in lijn waardoor er "zichtpaden" komen waarlangs de elektronen ongehinderd kunnen passeren en dus de weerstand afneemt. Maar de meeste materialen gedragen zich chaotisch en als PTC's en weerstand neemt toe bij oplopende temperatuur.

>Is 't, dat de energie die de lamp verbruikt - de spanning, ofwel de hoeveelheid energie per elektron per seconde - veel meer toeneemt dan de stroomsterkte en dus stijgt R=U/I?

Nee. Aangesloten op batterij of lichtnet blijft de spanning meestal hetzelfde. De energie per ladingsdrager is dat ook. Alleen het aantal ladingdragers (I) kan toenemen of afnemen als de weerstand R hetzelfde blijft. Maar dat is bij PTCs dus niet het geval. Hogere R, kleinere I. En vermogen (P=UI=U²/R neemt dan af)

Veel dank voor dit uitgebreide antwoord. Ik dacht: in metaal veel vrije elektronen dus geen botsingen, maar de metaal-ionen op de roosterposities trillen harder en maken het doorgaan toch lastiger, is het idee.