I = intensiteit = vermogen per oppervlakte-eenheid = P/A
Dus P = I.A
En omdat I = σT⁴  is logischerwijze P = σT⁴ (4πr²) omdat het oppervlak A van een bol met straal r nu eenmaal 4πr² is

A stelt steeds het oppervlak voor, nooit een afstand tussen planeet en ster. Het oppervlak wordt wel bepaald door de straal r van de bol wiens oppervlak A je wilt weten.

Ja,  ik snap dat A het oppervlak voor stelt maar je krijgt voor beide formules een andere r  en daarmee een andere A. Dat wilde ik daarmee zeggen. Waarom mag je de A dan zomaar wegstrepen, zodat je dan krijgt:
P = I x A = σ x T4 x A --> I = σ x T4

Nee, de enige r die speelt is de straal van de ster die straalt.

Je streept verder niks weg: I = P/A  dus P = I.A:

>P = I x A = σ x T4 x A --> I = σ x T4
en dat klopt want I = P/A dus uit P = σ x T4 x A deel je door A...

Oke nu ben ik even in de war, want bij die opdracht over Sirius A gebruiken ze juist wel twee verschillende waarden voor r in beide formules. Bij: I = P/A met A: 4πr2 en r hierin de afstand tussen ''ster-planeet''. En bij 
P =  σ x T4 x A met A: 4πr2 en r hierin de straal van de ster.

Hebben we het nu over Sirius of over een reis naar de zon?

De bedoelde opgave die je in het begin noemt gaat over een hitteschild. Dan moet je twee zaken onderscheiden:
1) de zon straalt energie uit in alle richtingen. Elke seconde is dat het vermogen P dat het uitstraalt. BINAS 32C geeft hiervoor een waarde.
2) Dat vermogen wordt het heelal ingestraald in alle richtingen en dus uitgesmeerd over een steeds grotere bolvorm. De Solar Probe ligt op een bol met straal gelijk aan zijn afstand tot de zon. Dus de intensiteit die het ontvangt is I_sat = P_zon/A_{bol_vanaf_zon}  met A_{bol_vanaf_zon} = oppervlakte van de bol met straal r = afstand tot de zon.

De opgave stelt dat de satelliet een zwarte straler is. Dwz het straalt evenveel energie uit als dat het ontvangt. Dat doet het ook per seconde, dus het vermogen dat het uitstraalt is ook hetzelfde als het vermogen dat het ontvangt. Elke vierkante meter van de satelliet doet daaraan mee, dus de intensiteit (I_sat = P_sat/A_sat met A_sat = oppervlak satelliet) is over de hele satelliet gelijk.

Voor een zwarte straler geldt I = σT⁴  Dus aangezien je I_sat kent, ken je ook T_sat⁴ ...

Het is dus een kwestie van eerst bepalen hoeveel vermogen de zon op de plek van de satelliet uitstraalt en dit per m² te meten (zijnde intensiteit ter plekke).  Die intensiteit wordt door de satelliet opgenomen en uitgestraald. Daarvoor geldt de σT⁴ = I wet.

Dankuwel!

Ik snap het nu helemaal.